数学卷·2018届广西南宁市宾阳中学高二下学期开学数学试卷（理科） （解析版） 20页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高二（下）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中有且只有一个正确.）‎ ‎1．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n∉N*，f（n）＞n ‎2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（　　）‎ A．30° B．30°或105° C．60° D．60°或120°‎ ‎4．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（　　）‎ A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x ‎5．设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（　　）‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎7．已知++=0，||=2，||=3，||=，则向量与的夹角为（　　）‎ A．60° B．45° C．30° D．以上都不对 ‎8．已知动点P在曲线2y2﹣x=0上移动，则点A（﹣2，0）与点P连线中点的轨迹方程是（　　）‎ A．y=2x2 B．y=8x2 C．x=4y2﹣1 D．y=4x2﹣‎ ‎9．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎10．已知椭圆方程为=1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（　　）‎ A． =1 B． =1‎ C． +=1 D． =1‎ ‎11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎12．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡题中横线上）‎ ‎13．设实数x，y满足，则的最大值是　　．‎ ‎14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　　米．‎ ‎15．双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F1，F2‎ 为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=　　．‎ ‎16．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤2；‎ ‎（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，bccosA=3．‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）若，求a的值．‎ ‎19．已知直线y=x﹣2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB．‎ ‎（2）求|AB|．‎ ‎20．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎21．如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2所示五棱锥P﹣ABFED，且AP=，‎ ‎（1）求证：BD⊥平面POA；‎ ‎（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．‎ ‎22．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．‎ ‎（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高二（下）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中有且只有一个正确.）‎ ‎1．命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n∉N*，f（n）＞n ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．‎ ‎【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，‎ ‎∴a＜b成立，‎ 由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，‎ 所以根据充分必要条件的定义可的判断：‎ a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎　‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=‎ ‎，B=45°，则角A=（　　）‎ A．30° B．30°或105° C．60° D．60°或120°‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a大于b，根据大边对大角，得到A大于B，由B的度数及三角形内角可得出角A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．‎ ‎【解答】解：由a=，b=，B=45°，‎ 根据正弦定理=得：sinA===，‎ 由a=＞b=，得到A∈（45°，180°），‎ 则角A=60°或120°．‎ 故选D ‎　‎ ‎4．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（　　）‎ A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线方程，算出它的右焦点为F（4，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=8，从而得出该抛物线的标准方程．‎ ‎【解答】解析　由双曲线方程﹣=1，可知其焦点在x轴上，由a2=16，得a=4，∴该双曲 线右顶点的坐标是（4，0），∴抛物线的焦点为F（4，0）．设抛物线的标准方程为y2=‎ ‎2px（p＞0），则由=4，得p=8，故所求抛物线的标准方程为y2=16x．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．‎ ‎【解答】解：等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，‎ ‎∴a2=a1q=2a1，S4==15a1，‎ ‎∴=，‎ 故选：B 由S1+S2+…+Sn=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，‎ 当n=1时，a1=a1，‎ 当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），‎ 若a1＜a3＜a2，‎ ‎　‎ ‎6．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（　　）‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=2，‎ ‎∴=1‎ ‎∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）‎ 故选C ‎　‎ ‎7．已知++=0，||=2，||=3，||=，则向量与的夹角为（　　）‎ A．60° B．45° C．30° D．以上都不对 ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】把已知向量等式变形，两边平方后展开数量积公式得答案．‎ ‎【解答】解：∵++=0，且||=2，||=3，||=，‎ ‎∴，设向量与的夹角为θ，‎ 则=，‎ 即19=4+2×2×3×cosθ+9，‎ ‎∴cosθ=，则θ=60°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知动点P在曲线2y2﹣x=0上移动，则点A（﹣2，0）与点P连线中点的轨迹方程是（　　）‎ A．y=2x2 B．y=8x2 C．x=4y2﹣1 D．y=4x2﹣‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设出点A（﹣2，0）与点P连线中点的坐标，利用中点坐标公式可得P（2x，2y+‎ ‎1），根据动点P在曲线上移动，代入方程即可求得点A（﹣2，0）与点P连线中点的轨迹方程 ‎【解答】解：设点A（﹣2，0）与点P连线中点坐标为（x，y），‎ 则由中点坐标公式可得P（2x+2，2y），‎ ‎∵动点P在曲线2y2﹣x=0上移动，‎ ‎∴2（2y）2﹣（2x+2）=0‎ 即x=4y2﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．‎ ‎【分析】根据条件可判断△ABC为正三角形，利用投影为公式计算．‎ ‎【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∴△ABC为正三角形，‎ ‎∴•=2×2cos60°=2‎ ‎∴在方向上的投影为==1，‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．已知椭圆方程为=1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（　　）‎ A． =1 B． =1‎ C． +=1 D． =1‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得，．两式相减可得： +=0．把x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==，代入上式可得：a2=3b2．又c=4，c2=a2﹣b2，联立解得即可．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得，．‎ 两式相减可得： +=0．‎ 由x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==，代入上式可得：‎ ‎=0，化为a2=3b2．‎ 又c=4，c2=a2﹣b2，联立解得a2=24，b2=8．‎ ‎∴椭圆的方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．‎ ‎【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，‎ ‎∵=4，‎ ‎∴|PQ|=3d，‎ ‎∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，‎ ‎∵F（2，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），‎ 与y2=8x联立可得x=1，‎ ‎∴|QF|=d=1+2=3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．‎ ‎【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，‎ 可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．‎ 则m、n所成角的正弦值为：．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡题中横线上）‎ ‎13．设实数x，y满足，则的最大值是　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率，从而可求出的最大值．‎ ‎【解答】解：根据实数x，y满足，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率 当过点A（1，）时斜率最大，最大值为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为　2　米．‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．‎ ‎【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，‎ 将A（2，﹣2）代入x2=my，‎ 得m=﹣2‎ ‎∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，‎ 故水面宽为2m．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由两直线垂直的条件可得渐近线的斜率为2，即有b=2a，再求c=a，运用双曲线的定义和条件，解得三角形 AF2F1的三边，再由余弦定理，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由于双曲线的一条渐近线y=x与直线x+2y+1=0垂直，‎ 则一条渐近线的斜率为2，‎ 即有b=2a，c=a，‎ ‎|F1A|=2|F2A|，且由双曲线的定义，可得|F1A|﹣|F2A|=2a，‎ 解得，|F1A|=4a，|F2A|=2a，‎ 又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得 cos∠AF2F1==，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎16．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞‎ ‎0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，‎ 由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），‎ 由2|AB|=3|BC|，可得 ‎2•=3•2c，即为2b2=3ac，‎ 由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，‎ 解得e=2（负的舍去）．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤2；‎ ‎（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）化简绝对值不等式，通过两个函数的图象求出不等式的解集．‎ ‎（2）利用（1）的图象直接求出满足f（x）≤ax﹣1实数a的取值范围即可．‎ ‎【解答】解（1），‎ 由图象可得f（x）≤2的解集为﹣‎ ‎（2）函数y=ax﹣1，的图象是经过点（0，﹣1）的直线，‎ 由图象可得﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos=，bccosA=3．‎ ‎（Ⅰ）求△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）若，求a的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosA，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，结合bccosA=3，可求bc=5，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎（Ⅱ）由bc=5，又b+c=，由余弦定理即可解得a的值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵cos=，‎ ‎∴cos A=2cos2﹣1=，sin A=，‎ 又bccosA=3，‎ ‎∴bc=5，‎ ‎∴S△ABC=bcsinA=2．…‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=5，又b+c=，‎ 由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos A=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=16，‎ ‎∴a=4． …‎ ‎　‎ ‎19．已知直线y=x﹣2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB．‎ ‎（2）求|AB|．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（1）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，求得y1y2及x1x2，由•=x1x2+y1y2=0，即可证明OA⊥OB；‎ ‎（2）利用弦长公式即可求得|AB|．‎ ‎【解答】解：（1）证明：设A（x1，y1 ），B（x2，y2），‎ 则，整理得：y2﹣2y﹣4=0，‎ ‎∴y1+y2=2，y1y2=﹣4‎ ‎∴x1x2=（y1+2）（y2+2）=y1y2+2（y1+y2）+4=4，‎ 由•=x1x2+y1y2=4+（﹣4）=0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴OA⊥OB．‎ ‎（2）由（1）可知：x1+x2=（y1+2）+（y2+2）=y1+y2+4=6，‎ ‎|AB|=•=•=2，‎ ‎∴|AB|=2．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求出bn=，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．‎ ‎∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．‎ 解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），‎ 解得q=2，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；‎ ‎（2）Sn==2n﹣1，‎ ‎∴bn===﹣，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+﹣=﹣=1﹣．‎ ‎　‎ ‎21．如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2所示五棱锥P﹣ABFED，且AP=，‎ ‎（1）求证：BD⊥平面POA；‎ ‎（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）证明PO⊥BD，AO⊥BD，可得BD⊥平面APO，‎ ‎（2）以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立坐标系，则O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，），B（，2，0），求出平面OAP的一个法向量，平面ABP的一个法向量即可 ‎【解答】证明：（1）PO⊥EF，AO⊥EF，所以EF⊥平面POA，因为BD∥EF ‎∴BD⊥平面POA 则PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO⊂平面APO，PO⊂平面APO，‎ ‎∴BD⊥平面APO，‎ ‎（2）因为AP=，可证PO⊥AO，所以EF，PO，AO互相垂直 以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立坐标系，‎ 则O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，），B（，2，0），‎ 设=（x，y，z）为平面OAP的一个法向量，‎ 则=（0，1，0），=（x，y，z）为平面ABP的一个法向量，‎ ‎=（﹣2，2，0），=（﹣3，0，），‎ 则，令x=1，则y=，z=3，‎ 则=（1，，3）…．cosθ==，∴tanθ=‎ ‎∴二面角B﹣AP﹣O的正切值为 ‎　‎ ‎22．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．‎ ‎（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2）若l过点（‎ ‎，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率．‎ ‎【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．‎ ‎（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），‎ 将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，‎ 则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，‎ 则x1+x2=，则xM==，yM=kxM+b=，‎ 于是直线OM的斜率kOM==，‎ 即kOM•k=﹣9，‎ ‎∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．‎ ‎（2）四边形OAPB能为平行四边形．‎ ‎∵直线l过点（，m），‎ ‎∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，‎ 即k2m2＞9b2﹣9m2，‎ ‎∵b=m﹣m，‎ ‎∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，‎ 即k2＞k2﹣6k，‎ 即6k＞0，‎ 则k＞0，‎ ‎∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，‎ 由（1）知OM的方程为y=x，‎ 设P的横坐标为xP，‎ 由得，即xP=，‎ 将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，‎ 即l的方程为y=kx+，‎ 将y=x，代入y=kx+，‎ 得kx+=x 解得xM=，‎ 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，‎ 于是=2×，‎ 解得k1=4﹣或k2=4+，‎ ‎∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，‎ ‎∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．‎