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- 2021-07-01 发布
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2019高二期末试卷
数学(理科) 2018.6
参考公式:方差
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.设为虚数单位,复数,则的模 ▲ .
2.一根木棍长为5米,若将其任意锯为两段,则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为 ▲ .
3.命题“若,则复数为纯虚数”的逆命题是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)
4.已知一组数据为2,3,4,5,6,则这组数据的方差为 ▲ .
5.将一颗骰子抛掷两次,用表示向上点数之和,则的概率为 ▲ .
6.用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人,则该校学生总数为 ▲ .
7.函数在点处切线方程为,则= ▲ .
8.若的展开式中所有二项式系数和为64,则展开式中的常数项是 ▲ .
i←1
S←0
While i<8
S←3i+S
i←i+2
End While
Print S
第9题
9.根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为 ▲ .
10.若,
则= ▲ .
11.已知∈R,设命题P:;
命题Q:函数只有一个零点.
则使“PQ”为假命题的实数的取值范围为 ▲ .
12.有编号分别为1,2,3,4,5的5个黑色小球和编号分别为1,2,3,4,5的5个白色小球,若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球,则有 ▲ 种不同的选法.
8
13.……
……
观察下列等式:
请你归纳出一般性结论 ▲ .
14.乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,则的最大值为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,以为极点,为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,直线的参数方程是(为参数).求直线被曲线截得的弦长.
16.(本小题满分14分)
A1
BA
DCBA
O
(第16题)
EBA
B1
A1
CBA
C1
D1
在棱长为的正方体中,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=λEO.
(1)若λ=1,求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;
(2)若平面CDE⊥平面CD1O,求λ的值.
8
17.(本小题满分14分)
已知,
(1)求的值;
(2)若且,求的值;
(3)求证:.
18.(本小题满分16分)
某抛掷骰子游戏中,规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子,若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷,其中抛掷骰子不成功得0分,第1次成功得3分,第2次成功得3分,第3次成功得4分.游戏规则如下:抛掷1枚骰子,第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功,第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功,第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量表示该游戏者所得分数.
(1)求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率;
(2)求随机变量的分布列和数学期望.
8
19.(本小题满分16分)
已知函数
(1)若在区间上是单调递增函数,求实数的取值范围;
(2)若在处有极值10,求的值;
(3)若对任意的,有恒成立,求实数的取值范围.
20.(本小题满分16分)
把圆分成个扇形,设用4种颜色给这些扇形染色,每个扇形恰染一种颜色,并且要求相邻扇形的颜色互不相同,设共有种方法.
(1)写出,的值;
(2)猜想,并用数学归纳法证明。
8
南京市六校联合体高二期末试卷数学(理科)参考答案
一、填空题
1. 2.. 3. 真 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12.
13. 14.
二、解答题
15.曲线的直角坐标方程是…………4分
直线的普通方程是…………………8分
圆心到直线的距离……………………11分
弦长为…………………………………………14分
16.解(1以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(1,0,0),,,D1(0,0,1),
E,
于是,.
由cos==.
所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为. ………6分
(2)设平面CD1O的向量为m=(x1,y1,z1),由m·=0,m·=0
得 取x1=1,得y1=z1=1,即m=(1,1,1) . ………8分
由D1E=λEO,则E,=.10分
8
又设平面CDE的法向量为n=(x2,y2,z2),由n·=0,n·=0.
得 取x2=2,得z2=-λ,即n=(-2,0,λ) .12分
因为平面CDE⊥平面CD1F,所以m·n=0,得λ=2. ……14分
17(1)令,则=0,又
所以………………………………………………………………4分
(2)由,解得,所以 ………………9分
(3)
………………………………………………………………14分
18.⑴该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为、、,该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件.
则;
答:该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为………………………………6分
(2)由题意可知,的可能取值为、、、、,
, ,
,
,
,
8
所以的分布列为
………………………………………………14分
所以的数学期望…………………16分
19解:(1) f'(x)=3x2+2mx,由f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数得,
当x≥1时,3x2+2mx≥0恒成立,即m≥-x恒成立,
解得m≥-;………………………………4分
(2),由题或
当时,,无极值,舍去.
所以…………………………8分(没有舍扣2分)
(3)由对任意的x1,x2∈[-1,1],有| f(x1)-f(x2)|≤2恒成立,得fmax(x)-fmin(x)≤2.
且| f(1)-f(0)|≤2,| f(-1)-f(0)|≤2,解得m∈[-1,1],…………10分
①当m=0时,f'(x)≥0,f(x)在[-1,1]上单调递增,
fmax(x)-fmin(x)= | f(1)-f(-1)|≤2成立.……………………………11分
②当m∈(0,1]时,令f'(x)<0,得x∈(-m,0),则f(x)在(-m,0)上单调递减;
同理f(x)在(-1,-m),(0,1)上单调递增,
f(-m)= m3+m2,f(1)= m2+m+1,下面比较这两者的大小,
令h(m)=f(-m)-f(1)= m3-m-1,m∈[0,1],
h'(m)= m2-1<0,则h(m)在(0,1] 上为减函数,h(m)≤h(0)=-1<0,
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故f(-m)<f(1),又f(-1)= m-1+m2≤m2=f(0),仅当m=1时取等号.
所以fmax(x)-fmin(x)= f(1)-f(-1)=2成立.
③同理当m∈[-1 ,0)时,fmax(x)-fmin(x)= f(1)-f(-1)=2成立.
综上得m∈[-1 ,1].…………………………16分
20.解:(1)…………2+4=6分
(2).当时,首先,对于第1个扇形,有4种不同的染法,由于第2个扇形的颜色与的颜色不同,所以,对于有3种不同的染法,类似地,对扇形,…,均有3种染法.对于扇形,用与不同的3种颜色染色,但是,这样也包括了它与扇形颜色相同的情况,而扇形与扇形颜色相同的不同染色方法数就是,于是可得
…………………………10分
猜想…………………………12分
① 当时,左边,右边,所以等式成立
② 假设时,,
则时,
即时,等式也成立
综上…………………………16分
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