数学文卷·2017届北京市朝阳区高三第一次（3月）综合练习（2017 11页

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 ‎ 数学测试题（文史类） 2017.3‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）若满足 则的最大值为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出 开始 输入m,n 是 结束 输出a 否 a能被n整除？‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）已知直线过定点 , 则“直线与圆相切”是“直线的斜率为”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（5）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）设抛物线的焦点为,准线为，为抛物线上一点，，为垂足.‎ 如果直线的斜率为，那么 ‎ （A） （B） 16 （C） （D）‎ ‎（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是 侧视图 ‎0.5‎ 俯视图 ‎1‎ 正视图 ‎1‎ ‎0.5‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）如图，三个开关控制着号四盏灯．若开关控制着号灯（即按一下开关,号灯亮，再按一下开关,号灯熄灭），同样，开关控制着号灯，开关控制着号灯．开始时，四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是 ‎（A）只需要按开关可以将四盏灯全部熄灭 ‎（B）只需要按开关可以将四盏灯全部熄灭 ‎（C）按开关可以将四盏灯全部熄灭 ‎（D）按开关无法将四盏灯全部熄灭 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9）复数在复平面内对应的点的坐标是_______.‎ ‎（10）已知为等差数列，为其前项和．若，，则数列的公差 ，通项公式 ． ‎ ‎（11）已知函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 . ‎ ‎（12）在△中，，，，则____，_____.‎ ‎（13）为了促销某电子产品，商场进行降价，设，，，有三种降价方案：‎ ‎ 方案①：先降，再降；‎ ‎ 方案②：先降，再降；‎ ‎ 方案③：一次性降价.‎ ‎ 则降价幅度最小的方案是_________.（填出正确的序号）‎ ‎（14） 如图，，，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有个不同的点，设（），则 ________. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期；‎ ‎(Ⅱ)求函数在上的单调递增区间.‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 已知数列满足设，.‎ ‎ （Ⅰ）证明是等比数列； ‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和． ‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 某校高三年级共有学生195人，其中女生105人，男生90人.现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13人进行问卷调查．设其中某项问题的选择分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．‎ 同意 不同意 合计 女学生 ‎4‎ 男学生 ‎2‎ ‎　 （Ⅰ）完成上述统计表；‎ ‎　 （Ⅱ）根据上表的数据估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数； ‎ ‎（Ⅲ） 从被抽取的女生中随机选取2人进行访谈，求选取的2名女生中至少有一人选择“同意”的概率． ‎ ‎（18）（本小题满分14分）‎ P A B C D E 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点.‎ ‎ （Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）在平面内是否存在，使得直 ‎ 线平面，请说明理由.‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 过点的直线与椭圆相交于两点,自分别向直线作垂线，垂足分别为. ‎ ‎（Ⅰ）当直线的斜率为1时，求线段的中点坐标；‎ ‎（Ⅱ）记，的面积分别为，.设，求的取值范围.‎ ‎（20）（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线 在点处的切线与直线垂直，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若在区间内存在唯一的极值点，求的值；‎ ‎（Ⅲ）用 表示m,n中的较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围.‎ 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学测试题答案（文史类） 2017.3‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ 答案 C B C B C A D D 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ 题号 ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎（11）‎ ‎（12）‎ ‎（13）‎ ‎（14）‎ 答案 ‎ ②‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ)因为 ‎，‎ 所以函数的最小正周期为. …………………………………6分 ‎(Ⅱ)令得，‎ ‎ ，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 又因为，‎ 所以函数在上的单调递增区间是和.……………13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由，得．‎ ‎ 所以，即 又因为，‎ 所以数列是以1为首项，公比为的等比数列．……………………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 则数列的前项和 ‎． …………………………………13分 ‎（17）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）统计表如下：‎ 同意 不同意 合计 女学生 ‎4‎ ‎3‎ ‎7‎ 男学生 ‎4‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎ ……………………………………………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）高三年级学生该项问题选择“同意”的人数估计有 ‎（人）． ………………………7分 ‎（Ⅲ）设“同意”的4名女生分别为，“不同意”的3名女生分别为．‎ 从7人中随机选出2人的情况有 ‎ ，共21种结果．‎ 其中2人都选择“不同意”的情况有，共3种结果．‎ 设2名女生中至少有一人选择“同意”为事件，‎ 所求概率 ． ………………………13分 ‎（18）（本小题满分14分）‎ 证明：（Ⅰ）因为平面平面， ‎ ‎ 平面平面，‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 所以平面.‎ ‎ 则. …………………5分 ‎（Ⅱ）由已知，BCED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，‎ P B C D M E A 又，，所以四边形BCDE是正方形，‎ 连接，所以，‎ 又因为，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以，则.‎ 由（Ⅰ）知平面，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 则平面，‎ 且平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎…………………10分 ‎（Ⅲ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点. 理由如下：由已知，BCED，且BC＝ED.‎ 所以四边形BCDE是平行四边形，所以，即，‎ 又平面，平面，‎ ‎ 所以平面.‎ ‎ ………………………………………………………………14分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）依题意，直线的方程为，由，得.‎ 设，线段的中点为，‎ 则，，‎ ‎.所以. ………………6分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，由 得，显然.‎ 设,则,.‎ ‎.‎ 因为 ‎.‎ 因为，‎ 所以实数的取值范围是. ………………………………………14分 ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：‎ ‎(Ⅰ) 易得，，所以， ‎ 依题意，，解得； …………………………3分 ‎（Ⅱ）因为，‎ ‎ 则.设，‎ 则.‎ 令，得.‎ 则由，得，为增函数；‎ 由，得，为减函数；‎ 而，.‎ 则在上有且只有一个零点，‎ 且在上，为减函数；‎ 在上，为为增函数.‎ 所以为极值点，此时.‎ 又，，‎ 则在上有且只有一个零点，‎ 且在上，为增函数；‎ 在上，为减函数.‎ 所以为极值点，此时.‎ 综上或. ……………………9分 ‎ ‎（Ⅲ）（1）当时，，依题意，，不满足条件；‎ ‎ （2）当时，，，‎ ①若，即，则是的一个零点；‎ ②若，即，则不是的零点；‎ ‎ （3）当时，，所以此时只需考虑函数在上零点的情况.因为，所以 ①当时，，在上单调递增.‎ 又，所以 ‎（i）当时，，在上无零点；‎ ‎（ii）当时，，‎ 又，‎ 所以此时在上恰有一个零点；‎ ②当时，令，得.‎ 由，得；‎ 由，得；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 因为，‎ ‎,‎ 所以此时在上恰有一个零点；‎ 综上，. ………………………………13分