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高二下学期入学考试 ‎19 届 高二文科数学试题 说明：1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 ‎120 分钟．‎ ‎2．将第 I 卷的答案代表字母和第 II 卷的答案填在答题表（答题卡）中．‎ 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）‎ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．不等式 x 2 + x - 2 ³ 0 的解集是（ ）‎ A．{x | x £ -2 或 x ³ 1}‎ ‎B．{x | x ³ 1}‎ ‎C．{x | x £ -2}‎ ‎D．{x | -2 £ x £ 1}‎ ‎2．如果命题 p 是假命题，命题 q 是真命题，则下列错．误．的是（ ）‎ A．“ Øp ”是真命题 B．“ Øq ”是真命题 C．“ p∧q”是假命题 D．“p∨q”是真命题 ‎3．命题“ "x Î R ， e x > x2 ”的否定是（ ）‎ A．不存在 x Î R ，使 e x > x2‎ ‎B． $x0‎ ‎Î R ，使 ex0 < x2‎ C． $x0 Î R ，使 e ‎x0 £ x2‎ ‎D． "x Î R ，使 e x ‎£ x2‎ ‎4．“ 2 < m < 5 ”是“方程 x ‎y 2‎ + = 1 表示椭圆”的( )‎ m - 2 5 - m A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知等比数列{an }中， a1 = a8 = 3 ，则其前 n 项和 Sn 为 ( )‎ ‎3‎ A． (3n - 1) ‎2‎ ‎‎ B． n 2‎ ‎‎ C． 3n ‎‎ D． 3n ì2x- y£ 0‎ ï ï ‎6．若x, y满足 íx+ y£ 3‎ îx³ 0‎ ‎‎ ‎，则 2x+ y的最大值为( )‎ A．0 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．函数 f ( x) = xe x 在点 A(0, f (0)) 处的切线斜率为 ( )‎ A．0 B． -1‎ ‎C．1 D． e ‎8．DABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ．已知 sin B + sin A(sin C - cos C ) = 0 ，‎ a = 2, c = π A．‎ ‎12‎ ‎2 ，则 C = ( )‎ π B．‎ ‎6‎ ‎‎ π π C． D．‎ ‎4 3‎ x ‎9．若双曲线 ‎2 y 2‎ - ‎‎ = 1 的一条渐近线方程为 y = ‎7 x ，它的一个顶点到较近焦点的距 a2 b2 3‎ 离为 1，则双曲线的方程为 ( )‎ x2 y 2‎ A． - = 1‎ ‎x2 y 2‎ B． - = 1‎ ‎x2 y 2‎ C． - = 1‎ ‎x2 y 2‎ D． - = 1‎ ‎7 9 16 9 9 7‎ ‎9 16‎ ‎10．海洋中有 A, B, C 三座灯塔．其中 A、B 之间距离为 a ，在 A 处观察 B ，其方向是南 偏东 40o ，观察 C ，其方向是南偏东 70o ，在 B 处現察 C ，其方向是北偏东 65o ， B、C 之间的距离是 ( )‎ A． a B． 2a ‎1‎ C． a ‎2‎ ‎D． 2 a ‎2‎ ‎11．若函数 f ( x) = (k 2 + 1) ln x - x 2 在区间（1，+¥ ）上是减函数，则实数 k 的取值范围 是( )‎ A．[－1，1] B．[ - ‎2 ， 2 ] C．(-¥, -1] U [1, +¥)‎ ‎D．(-¥, - ‎2 ] U [ 2 , +¥)‎ ‎12．已知 x > 0 ， y > 0 ，且 2 + 1 = 1 ，若 x + 2 y ³ m 恒成立，则实数 m 的取值范围 x y ‎( )‎ A． (-¥, 8]‎ ‎B． (-¥, 8)‎ ‎C．[8, +¥)‎ ‎D． (8, +¥)‎ 第 II 卷（非选择题，共 90 分）‎ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．‎ ‎13．已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ，过其焦点且斜率为 -1 的直线交抛物线于 A、B 两点， 若线段 AB 的中点的纵坐标为 -2 ，则 p = ．‎ ‎1‎ ‎14．数列{an } 满足 an +1 = ‎1 - an ‎, a8 = 2 ，则 a1 = ．‎ ‎15． a 为函数 f ( x) = x 3 -12x 的极小值点，则 a = ．‎ ‎16．已知函数 f ( x ) = {‎ 是 ．‎ ‎x , x > 0‎ x2 - 4x, x £ 0‎ ‎‎ ‎，若 f ( x ) ³ ax -1 恒成立，则实数 a 的取值范围 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分 10 分)‎ 已知等差数列 {an }的前 n 项和为 Sn ， 且满足 a3 = 6 ， S11 = 132‎ ‎（Ⅰ）求 {an }的通项公式；‎ ì 1 ü ‎（Ⅱ）求数列 í ‎ý 的前 n 项和Tn ．‎ î Sn þ ‎18．（本小题满分 12 分）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，‎ 已知曲线 C 的极坐标方程为 rsin2 q = 2a cosq (a > 0) ，过点 P(-2, -4) 的直线 l 的参数 ì x = -2 + í 方程为 ï ï y = -4 + ïî ‎2 t,‎ ‎2‎ ‎2 t ‎2‎ ‎‎ ‎（ t 为参数），直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若 | PA | × | PB |=| AB |2 ，求 a 的值．‎ ‎19．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = x × ln x ．‎ ‎（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间；‎ ‎1‎ ‎（Ⅱ）若对于任意 x Î[ , e] ，都有 f ( x) ³ ax - 1，求实数 a 的取值范围．‎ e ‎20．（本小题满分 12 分）‎ 在 DABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ，且 cos A + cos B = sin C ．‎ a b c ‎（I）证明： sin Asin B = sin C ；‎ ‎（II）若 b2 + c2 - a2 = 6 bc ，求 tan B ．‎ ‎5‎ ‎21．（本小题满分 12 分）‎ 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千．件．，需另投入成本为 C( x) ，当年 产 量 不 足 80 千 件 时 ， C( x) = x2 + 10x （ 万 元 ）． 当 年 产量不 小 于 80 千 件 时 ，‎ C( x) = 51x +-1450 （万元），每件商品售价为 0．05 万元，通过市场分析，该 ‎ ‎ ‎ ‎ 厂生产的商品能全部售完．‎ ‎（Ⅰ）写出年利润 L(x) （万元）关于年产量 x （千．件．）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）年产量为多少千．件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ ‎22．（本小题满分 12 分）‎ 已知椭圆 C :‎ ‎x 2 y 2‎ + ‎‎ = 1 ，直线 l : x + y - 2 = 0 与椭圆 C 相交于 P ，Q 两点，与 x 轴 ‎3m m 交于点 B ，点 P, Q 与点 B 不重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；‎ ‎（Ⅱ）当 SDOPQ = 2 时，求椭圆 C 的方程．‎