数学文卷·2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试（2017 12页

深圳市2017年高三年级第一次调研考试 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 （ ）‎ A． -3 B． -2 C．2 D．3‎ ‎3. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.设，则大小关系正确的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. 2 D．‎ ‎7.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 ‎3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 函数的图象大致是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）‎ A． 335 B．336 C. 337 D．338‎ ‎11. 已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 若在上存在最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.已知向量，若，则 ．‎ ‎14. 已知是锐角，且 ．‎ ‎15.直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.若实数满足不等式组，目标函数的最大值为12，最小值为0，则实数 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.设为数列的前项和，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎18. 如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，设与相交于点，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”‎ 电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.‎ ‎（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；‎ ‎（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求的值；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．‎ ‎20.已成椭圆的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是中点，且点的坐标为，当时，求直线的方程．‎ ‎21.已知函数是的导函数，为自然对数的底数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：；‎ ‎（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于点两点，且，求证：为定值，并求出这个定值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知．‎ ‎（1）当，解不等式；‎ ‎（2）对任意恒成立，求的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12：DD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. 3‎ 三、解答题 ‎17.解:（1）当时，，易得；‎ 当时，，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列构成以首项为，公比为2等比数列，‎ ‎∴数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）知，则，‎ 则，①‎ ‎∴，②‎ 由①-②得：‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎18.解：（1）证明：‎ 连接，‎ ‎∵四边形为菱形，‎ ‎∵，‎ 在和中，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面；‎ ‎（2）解法一：连接，∵面平面，∴，‎ 在平行四边形中，易知，‎ ‎∴，即，又因为为平面内的两条相交直线，所以平面，所以点到平面的距离为，‎ ‎∵，‎ ‎∴三棱锥的体积为.‎ 解法二：∵，∴点到平面的距离为点到平面的距离的两倍，所以，‎ 作，∵平面平面平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴三棱锥的体积为.‎ ‎19.解析：（1）当时，；‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以与之间的函数解析式为：；‎ ‎（2）由（1）可知：当时，，则，‎ 结合频率分布直方图可知：，‎ ‎∴；‎ ‎（3）由题意可知：‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 故.‎ ‎20.解：（1）由题意可知：，又，‎ ‎∴，所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）①若直线的斜率不存在，此时为原点，满足，所以，方程为，‎ ‎②若直线的斜率存在，设其方程为，‎ 将直线方程与椭圆方程联立可得 ‎，即，‎ 可得，‎ 设，则，‎ 由可知，‎ 化简得，‎ 解得或，将结果代入验证，舍掉，‎ 此时，直线的方程为，‎ 综上所述，直线的方程为或.‎ ‎21.解（1）对函数求导得，‎ ‎，‎ ‎①当时，，故在上为减函数；‎ ‎②当时，解可得，故的减区间为，增区间为；‎ ‎（2） ，设，则，‎ 易知当时，，‎ ‎；‎ ‎（3）由（1）可知，当时，是先减再增的函数，‎ 其最小值为，‎ 而此时，且，故恰有两个零点，‎ ‎∵当时，；当时，；当时，‎ ‎，‎ ‎∴在两点分别取到极大值和极小值，且，‎ 由知，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，但当时，，则，不合题意，所以，故函数的图象与轴不可能有两个交点.‎ ‎∴函数只有一个零点.‎ ‎22.解：（1）曲线的普通方程为，‎ 极坐标方程为，‎ ‎∴所求的极坐标方程为；‎ ‎（2）不妨设设点的极坐标分别为，‎ 则，即，‎ ‎∴，即（定值）.‎ ‎23.解：（1）当，，‎ 由可得，即，‎ 当时，原不等式等价于，即，∴，‎ 当时，原不等式等价于，即，∴，‎ 当时，原不等式等价于，即，∴，‎ 综上所述，不等式的解集为；‎ ‎（2）当时，，∴恒成立，‎ ‎∴，即，当时恒成立，‎ ‎∴的取值范围.‎