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- 2021-07-01 发布
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深圳市2017年高三年级第一次调研考试
数学(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,则( )
A. B. C. D.
2.若复数为纯虚数,其中为虚数单位,则 ( )
A. -3 B. -2 C.2 D.3
3. 袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )
A. B. C. D.
4.设,则大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
5. 的内角的对边分别为,已知,则的面积为( )
A. B. C. D.
6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. 2 D.
7.将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的
3倍,再向右平移个单位,得到的函数的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
8. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为的平面截该几何体,则截面面积为 ( )
A. B. C. D.
10. 执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的值为( )
A. 335 B.336 C. 337 D.338
11. 已知棱长为2的正方体,球与该正方体的各个面相切,则平面截此球所得的截面的面积为( )
A. B. C. D.
12. 若在上存在最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.已知向量,若,则 .
14. 已知是锐角,且 .
15.直线与圆相交于两点,若,则实数的取值范围是 .
16.若实数满足不等式组,目标函数的最大值为12,最小值为0,则实数 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设为数列的前项和,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18. 如图,四边形为菱形,四边形为平行四边形,设与相交于点,.
(1)证明:平面平面;
(2)若,求三棱锥的体积.
19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”
电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.
(1)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式;
(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求的值;
(3)在满足(2)的条件下,估计1月份该市居民用户平均用电费用(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
20.已成椭圆的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点的直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是中点,且点的坐标为,当时,求直线的方程.
21.已知函数是的导函数,为自然对数的底数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:;
(3)当时,判断函数零点的个数,并说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线的普通方程和极坐标方程;
(2)若直线与曲线相交于点两点,且,求证:为定值,并求出这个定值.
23.选修4-5:不等式选讲
已知.
(1)当,解不等式;
(2)对任意恒成立,求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12:DD
二、填空题
13. 14. 15. 16. 3
三、解答题
17.解:(1)当时,,易得;
当时,,
整理得,
∴,
∴数列构成以首项为,公比为2等比数列,
∴数列的通项公式;
(2)由(1)知,则,
则,①
∴,②
由①-②得:
,
∴.
18.解:(1)证明:
连接,
∵四边形为菱形,
∵,
在和中,
,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴平面,
∵平面,
∴平面平面;
(2)解法一:连接,∵面平面,∴,
在平行四边形中,易知,
∴,即,又因为为平面内的两条相交直线,所以平面,所以点到平面的距离为,
∵,
∴三棱锥的体积为.
解法二:∵,∴点到平面的距离为点到平面的距离的两倍,所以,
作,∵平面平面平面,
∴,
∴三棱锥的体积为.
19.解析:(1)当时,;
当时,,
当时,,
所以与之间的函数解析式为:;
(2)由(1)可知:当时,,则,
结合频率分布直方图可知:,
∴;
(3)由题意可知:
当时,,∴,
当时,,∴,
当时,,∴,
当时,,∴,
当时,,∴,
当时,,∴,
故.
20.解:(1)由题意可知:,又,
∴,所以椭圆的方程为;
(2)①若直线的斜率不存在,此时为原点,满足,所以,方程为,
②若直线的斜率存在,设其方程为,
将直线方程与椭圆方程联立可得
,即,
可得,
设,则,
由可知,
化简得,
解得或,将结果代入验证,舍掉,
此时,直线的方程为,
综上所述,直线的方程为或.
21.解(1)对函数求导得,
,
①当时,,故在上为减函数;
②当时,解可得,故的减区间为,增区间为;
(2) ,设,则,
易知当时,,
;
(3)由(1)可知,当时,是先减再增的函数,
其最小值为,
而此时,且,故恰有两个零点,
∵当时,;当时,;当时,
,
∴在两点分别取到极大值和极小值,且,
由知,
∴,
∵,∴,但当时,,则,不合题意,所以,故函数的图象与轴不可能有两个交点.
∴函数只有一个零点.
22.解:(1)曲线的普通方程为,
极坐标方程为,
∴所求的极坐标方程为;
(2)不妨设设点的极坐标分别为,
则,即,
∴,即(定值).
23.解:(1)当,,
由可得,即,
当时,原不等式等价于,即,∴,
当时,原不等式等价于,即,∴,
当时,原不等式等价于,即,∴,
综上所述,不等式的解集为;
(2)当时,,∴恒成立,
∴,即,当时恒成立,
∴的取值范围.