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  • 2021-07-01 发布

数学文卷·2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试(2017

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深圳市2017年高三年级第一次调研考试 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数为纯虚数,其中为虚数单位,则 ( )‎ A. -3 B. -2 C.2 D.3‎ ‎3. 袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.设,则大小关系正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 的内角的对边分别为,已知,则的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D.‎ ‎7.将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 ‎3倍,再向右平移个单位,得到的函数的一个对称中心是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 函数的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为的平面截该几何体,则截面面积为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的值为( )‎ A. 335 B.336 C. 337 D.338‎ ‎11. 已知棱长为2的正方体,球与该正方体的各个面相切,则平面截此球所得的截面的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 若在上存在最小值,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上 ‎13.已知向量,若,则 .‎ ‎14. 已知是锐角,且 .‎ ‎15.直线与圆相交于两点,若,则实数的取值范围是 .‎ ‎16.若实数满足不等式组,目标函数的最大值为12,最小值为0,则实数 .‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.设为数列的前项和,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎18. 如图,四边形为菱形,四边形为平行四边形,设与相交于点,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)若,求三棱锥的体积.‎ ‎19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”‎ 电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.‎ ‎(1)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式;‎ ‎(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求的值;‎ ‎(3)在满足(2)的条件下,估计1月份该市居民用户平均用电费用(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).‎ ‎20.已成椭圆的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是中点,且点的坐标为,当时,求直线的方程.‎ ‎21.已知函数是的导函数,为自然对数的底数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当时,证明:;‎ ‎(3)当时,判断函数零点的个数,并说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)写出曲线的普通方程和极坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线相交于点两点,且,求证:为定值,并求出这个定值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知.‎ ‎(1)当,解不等式;‎ ‎(2)对任意恒成立,求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12:DD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. 3‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)当时,,易得;‎ 当时,,‎ 整理得,‎ ‎∴,‎ ‎∴数列构成以首项为,公比为2等比数列,‎ ‎∴数列的通项公式;‎ ‎(2)由(1)知,则,‎ 则,①‎ ‎∴,②‎ 由①-②得:‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎18.解:(1)证明:‎ 连接,‎ ‎∵四边形为菱形,‎ ‎∵,‎ 在和中,‎ ‎,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴平面,‎ ‎∵平面,‎ ‎∴平面平面;‎ ‎(2)解法一:连接,∵面平面,∴,‎ 在平行四边形中,易知,‎ ‎∴,即,又因为为平面内的两条相交直线,所以平面,所以点到平面的距离为,‎ ‎∵,‎ ‎∴三棱锥的体积为.‎ 解法二:∵,∴点到平面的距离为点到平面的距离的两倍,所以,‎ 作,∵平面平面平面,‎ ‎∴,‎ ‎∴三棱锥的体积为.‎ ‎19.解析:(1)当时,;‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 所以与之间的函数解析式为:;‎ ‎(2)由(1)可知:当时,,则,‎ 结合频率分布直方图可知:,‎ ‎∴;‎ ‎(3)由题意可知:‎ 当时,,∴,‎ 当时,,∴,‎ 当时,,∴,‎ 当时,,∴,‎ 当时,,∴,‎ 当时,,∴,‎ 故.‎ ‎20.解:(1)由题意可知:,又,‎ ‎∴,所以椭圆的方程为;‎ ‎(2)①若直线的斜率不存在,此时为原点,满足,所以,方程为,‎ ‎②若直线的斜率存在,设其方程为,‎ 将直线方程与椭圆方程联立可得 ‎,即,‎ 可得,‎ 设,则,‎ 由可知,‎ 化简得,‎ 解得或,将结果代入验证,舍掉,‎ 此时,直线的方程为,‎ 综上所述,直线的方程为或.‎ ‎21.解(1)对函数求导得,‎ ‎,‎ ‎①当时,,故在上为减函数;‎ ‎②当时,解可得,故的减区间为,增区间为;‎ ‎(2) ,设,则,‎ 易知当时,,‎ ‎;‎ ‎(3)由(1)可知,当时,是先减再增的函数,‎ 其最小值为,‎ 而此时,且,故恰有两个零点,‎ ‎∵当时,;当时,;当时,‎ ‎,‎ ‎∴在两点分别取到极大值和极小值,且,‎ 由知,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,但当时,,则,不合题意,所以,故函数的图象与轴不可能有两个交点.‎ ‎∴函数只有一个零点.‎ ‎22.解:(1)曲线的普通方程为,‎ 极坐标方程为,‎ ‎∴所求的极坐标方程为;‎ ‎(2)不妨设设点的极坐标分别为,‎ 则,即,‎ ‎∴,即(定值).‎ ‎23.解:(1)当,,‎ 由可得,即,‎ 当时,原不等式等价于,即,∴,‎ 当时,原不等式等价于,即,∴,‎ 当时,原不等式等价于,即,∴,‎ 综上所述,不等式的解集为;‎ ‎(2)当时,,∴恒成立,‎ ‎∴,即,当时恒成立,‎ ‎∴的取值范围.‎