2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：11-1 随机事件、古典概型与几何概型（讲解部分） 19页

专题十一　概率与统计 11.1 　随机事件、古典概型与几何概型 高考理数 考点一    随机事件的概率 考点清单 考向基础 1.随机事件的频率与概率 (1)频数与频率:在相同的条件 S 下进行 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现, 称 n 次试验中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 f n ( A )=   为事件 A 出现的频率. (2)概率:对于给定的随机事件 A ,如果随着试验次数 n 的增加,事件 A 发生的 频率 f n ( A )稳定在某个常数上 ,则把这个常数记作 P ( A ),称为事件 A 的概率. 2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 一般地,对于事件 A 与事件 B ,如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这 时称事件 B 包含事件 A (或称事件 A 包含于事件 B ) B ⊇ A (或 A ⊆ B ) 相等关系 一般地,若 A ⊆ B 且 B ⊆ A ,则称事件 A 与事件 B 相等 A = B 并事件 (或和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则称此事件为事 件 A 与事件 B 的 并事件(或和事件) A ∪ B (或 A + B ) 交事件 (或积事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称该事件为事件 A 与事件 B 的 交事件(或积事件) A ∩ B (或 AB ) 互斥事件 若 A ∩ B 为不可能事件,那么称事件 A 与事件 B 互斥 A ∩ B = ⌀ 对立事件 若 A ∩ B 为不可能事件,而 A ∪ B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为 对立 事件 A ∩ B = ⌀ , P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )=1 【知识拓展】 互斥事件与对立事件的区别与联系: 　　互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系,互斥事件是不可能同时 发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者 必须有一个发生.因此,对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对 立事件. 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0 ≤ P ( A ) ≤ 1. (2)必然事件的概率 P ( E )=1. (3)不可能事件的概率 P ( F )=0. (4)概率的加法公式: 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B ). (5)对立事件的概率: 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P ( A )+ P ( B )=1. 考向突破 考向    求互斥事件、对立事件的概率 例     (2019辽宁沈阳教学质量监测(三),6)我国古代有着辉煌的数学研究成 果.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》 …… 《缉古算 经》等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文 献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中 选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一 部是魏晋南北朝时期专著的概率为   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　     C.   　　　　    D.   解析　 设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件 A , 由题意知 P (   )=   =   , 因此 P ( A )=1- P (   )=1-   =   , 故选A. 答案     A 考点二    古典概型 考向基础 1.古典概型的两个特点 (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 (1)在基本事件总数为 n 的古典概型中,每个基本事件发生的概率都是相等 的,即每个基本事件的概率都是   . (2)对于古典概型,事件 A 发生的概率为 P ( A )=   . 考向突破 考向    古典概型的概率 例     (2019福建厦门一模,5)《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易 经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组 成(“   ”表示一根阳线,“   ”表示一根阴线),从八卦中任取两卦, 这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　    C.   　　　　    D.   解析 　观察八卦图可知,含有3根阴线的共有1卦,含有3根阳线的共有1卦, 含有2根阴线1根阳线的共有3卦,含有1根阴线2根阳线的共有3卦,故从八卦 中任取两卦,这两卦的六根线恰有三根阳线和三根阴线的概率为   =   .故选D. 答案     D 考点三    几何概型 考向基础 1.几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比 例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2.几何概型的特点 (1) 无限性 :即在一次试验中,基本事件的个数是无限的. (2) 等可能性 :即每个基本事件发生的可能性相等. 3.几何概型的计算公式 设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域 Ω ,事件 A 所对应的区 域用 A 表示( A ⊆ Ω ),则 P ( A )=   . 考向突破 考向    几何概型的概率 例     (2020届山西大同开学考试,14)中国象棋是中华文化的瑰宝,中国象棋 棋盘上的“米”字形方框叫做九宫,取意后天八卦中的九星方位图.现有一 张中国象棋棋盘如图所示.若在该棋盘矩形区城内(其中楚河汉界宽度等 于每个小格的边长)随机取一点,该点落在九宫内的概率是 　　　     .   解析 　整个棋盘的面积为9 × 8=72,九宫的面积为2 × 2+2 × 2=8,则随机取一 点,该点落在九宫内的概率 P =   =   . 答案        方法1      古典概型概率的求法 1.古典概型概率的求解步骤   方法技巧 2.基本事件个数的确定方法 (1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. (2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标 法. (3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. (4)运用排列组合知识计算. 例1     (2019安徽合肥第一次教学质量检测,10)某商场进行购物摸奖活动, 规则如下:在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球,每次 摸奖需要同时取出两个小球,每位顾客最多有两次摸奖机会,并规定:若第 一次取出的两球号码连号,则中奖,摸奖结束;若第一次未中奖,则将这两个 小球放回后进行第二次摸球,若与第一次取出的两个小球号码相同,则为中 奖.按照这样的规则摸奖,中奖的概率为   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　    C.   　　　　    D.   解题导引   解析 　由题意可知分两种情况:①摸到连号小球的概率 P 1 =   =   ;②摸到与 第一次所摸到的小球同号的概率 P 2 =   ·   =   ,∴中奖的概率 P = P 1 + P 2 =   +   =   .故选C. 答案     C 方法2      几何概型概率的求法 1.判断试验是不是几何概型,要切实理解并掌握几何概型的两个基本特点: 无限性和等可能性. 2.求解几何概型概率的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围. 当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算;当考察对 象在某块区域时,用面积比计算;当考察对象在某个空间时,用体积比计算. 例2     (2018湖北黄冈、黄石等八市3月联考,6)若张三每天的工作时间在6 小时至9小时之间随机均匀分布,则张三连续两天平均工作时间不少于7小 时的概率是   (　　) A.   　　　　    B.   　　　　    C.   　　　　    D.   解析 　设第一天工作的时间为 x 小时,第二天工作的时间为 y 小时,则   因为连续两天平均工作时间不少于7小时,所以   ≥ 7,即 x + y ≥ 1 4.   表示的区域面积为9,其中满足 x + y ≥ 14的区域面积为9-   × 2 × 2= 7,∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是   ,故选D.   答案     D