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  • 2021-07-01 发布

高中数学 第三章 章末综合训练 新人教A版选修2-2

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选修2-2 3章末综合训练 一、选择题 ‎1.复数i3(1+i)2=(  )‎ A.2     B.-‎2 ‎    ‎ C.2i     D.-2i ‎[答案] A ‎[解析] 考查复数代数形式的运算.‎ i3(1+i)2=-i·(2i)=2.‎ ‎2.对于下列四个命题:‎ ‎①任何复数的绝对值都是非负数.‎ ‎②如果复数z1=i,z2=-i,z3=-i,z4=2-i,那么这些复数的对应点共圆.‎ ‎③|cosθ+isinθ|的最大值是,最小值为0.‎ ‎④x轴是复平面的实轴,y轴是虚轴.‎ 其中正确的有(  )‎ A.0个    B.1个   ‎ C.2个    D.3个 ‎[答案] D ‎[解析] ①正确.因为若z∈R,则|z|≥0,若z=a+bi(b≠0,a,b∈R),则|z|=>0.②正确.因为|z1|=,|z2|==,|z3|=,|z4|=,这些复数的对应点均在以原点为圆心,为半径的圆上.③错误.因为|cosθ+isinθ|==1为定值,最大、最小值相等都阿是1.④正确.故应选D.‎ ‎3.(2010·陕西理,2)复数z=在复平面上对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎[答案] A ‎[解析] z==+i,对应点在第一象限.‎ ‎4.设复数z=(a+i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上,则实数a的值是(  )‎ A.-1 B.1 ‎ C. D.- ‎[答案] A ‎[解析] z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,据条件有 ,∴a=-1.‎ ‎5.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为(  )‎ A.1 B.±1 ‎ C.-1 D.-2‎ ‎[答案] A ‎[解析] 解法1:由x2-1=0得,x=±1,当x=-1时,x2+3x+2=0,不合题意,当x=1时,满足,故选A.‎ 解法2:检验法:x=1时,原复数为6i满足,排除C、D;‎ x=-1时,原复数为0不满足,排除B,故选A.‎ 二、填空题 ‎6.若z1=1-i,z2=3-5i,在复平面上与z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,则Z1,Z2的距离为________.‎ ‎[答案] 2 ‎[解析] 由z1=1-i,z2=3-5i知 Z1(1,-1),Z2(3,-5),由两点间的距离公式得:d==2.‎ ‎7.已知复数z满足z+(1+2i)=10-3i,则z=______________.‎ ‎[答案] 9-5i ‎[解析] ∵z+(1+2i)=10-3i ‎∴z=10-3i-(1+2i)=(10-1)+(-3-2)i ‎=9-5i.‎ ‎8.已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,则z1·z2的实部最大值为________,虚部最大值为________.‎ ‎[答案]   ‎[解析] z1·z2=(cosθ-i)·(sinθ+i)‎ ‎=(cosθsinθ+1)+i(cosθ-sinθ)‎ 实部cosθsinθ+1=1+sin2θ≤,最大值为,‎ 虚部cosθ-sinθ=cos≤,最大值为.‎ 三、解答题 ‎9.设存在复数z同时满足下列条件:‎ ‎(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限;‎ ‎(2)z·+2iz=8+ai (a∈R),试求a的取值范围.‎ ‎[解析] 设z=x+yi (x、y∈R),‎ 由(1)得x<0,y>0.‎ 由(2)得x2+y2+2i(x+yi)=8+ai.‎ 即x2+y2-2y+2xi=8+ai.‎ 由复数相等得, 解得-6≤a<0.‎ ‎10.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.‎ ‎(1)求z的实部的取值范围;‎ ‎(2)设u=,求证:u是纯虚数.‎ ‎(3)求ω-u2的最小值.‎ ‎[分析] 本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用,考查学生解综合题的能力.‎ ‎[解析] (1)设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0),‎ 则ω=z+=a+bi+ ‎=+i.‎ ‎∵ω∈R,∴b-=0.‎ ‎∵b≠0,∴a2+b2=1.‎ 此时ω=‎2a,又-1<ω<2,‎ ‎∴-1<‎2a<2⇔-0.‎ ‎∴2-3‎ ‎≥2·2-3=1.‎ 当且仅当a+1=,即a=0时取“=”号,‎ 故ω-u2的最小值为1.‎ ‎[点评] 本题表面上是考查复数的有关概念,但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力,考查均值不等式的应用,综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的方向.‎

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