数学理卷·2017届河北省武邑中学高三下学期一模考试（2017 11页

河北省武邑中学2017届高三下学期一模考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设复数满足（为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.若变量满足不等式组，且的最大值为7，则实数的值为（ ）‎ A．1 B．7 C. -1 D．-7‎ ‎6.甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ）‎ A． 144种 B．180种 C. 288种 D．360种 ‎7.在中，，点是边上的动点，且,,，则当取得最大值时，的值为( )‎ A． B． 3 C. D．‎ ‎8.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”‎ ‎，执行该程序框图，若输入分别为17,14，则输出的=( )‎ A． 4 B．3 C. 2 D．1‎ ‎9.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.在区间内随机取两个数分别记为,则函数有零点的概率（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.定义：如果函数在上存在满足，，‎ 则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知角的始边与轴非负半轴重合，终边在射线上,则 ．‎ ‎14. 的展开式中的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8......,该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则 ‎ ．‎ ‎16.已知①当时，,则 .‎ 当时，若有三个不等实数根，且它们成等差数列，则___________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列中，其前项和为，且满足，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)记，若数列为递增数列，求的取值范围.‎ ‎18. 某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按，，，，分组，整理如下图：‎ ‎(1)写出频率分布直方图（图乙）中的值：记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；‎ ‎(2)从甲种酸奶机日销量在区间的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为，求的分布列；‎ ‎(3)估计1200个日销售量数据中，数据在区间中的个数.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，. ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求与所成角的余弦值：‎ ‎（3）当平面与平面垂直时，求的长.‎ ‎20.已知椭圆过点且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.‎ ‎21.设函数，，.‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个零点，试求的取值范围；‎ ‎（3）证明.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标.‎ 23. 选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）已知，，，且,求的最小值及此时，，的值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14.70 15.1 16. 4，‎ 三、解答题 ‎17.解：（1），，‎ ‎，，‎ ‎ .‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 数列为递增数列，，即.‎ 令，则，‎ 为递增数列，，即的取值范围为.‎ ‎18.解（1）由图（乙）知，解得，.‎ ‎（2）的所有可能取值1，2，3.‎ 则，，，‎ 其分布列如下：‎ (1) 由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取个，‎ 其中有4个数据在区间内，又因为分层抽样共抽取了个数据，‎ 乙种酸奶的数据共抽取个，‎ 由（I）知，乙种酸奶的日销量数据在内的频率为,‎ 故乙种酸奶的日常销量数据在区间内有个.‎ 故抽取的个数据，共有个数据在区间内.‎ 所以，在1200个数据中，在区间内的数据有160个.‎ ‎19.（1）因为四边形是菱形,所以，又因为平面，所以.又，所以平面PAC.‎ ‎（2）设.因为,.所以，，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，所以，，.‎ 设与所成角为，则.‎ ‎（3）由（2）知，设.则，设平面的法向量，则，所以，令，则，，所以.‎ 同理，平面的法向量.‎ 因为平面平面，所以，即，解得.所以.‎ ‎20.解：（1）设椭圆的半焦距为.因为点在椭圆上，所以.故.‎ 又因为，所以，.所以椭圆的标准方程为：.‎ ‎（Ⅱ）设，，线段中点为.‎ 联立 和，得：.由，可得.‎ 所以，.‎ 所以中点为.‎ 弦长，‎ 又直线与轴的交点，‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以、两点间距离为定值.‎ ‎21.【解析】（Ⅰ）函数的定义域是，.‎ 当时，，.‎ 所以函数在点处的切线方程为.‎ 即.‎ ‎（Ⅱ）函数的定义域为，由已知得.‎ ‎①当时，函数只有一个零点；‎ ‎②当，因为，‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 又，，‎ 因为，所以，所以，所以 取，显然且 所以，.‎ 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.‎ ‎③当时，由，得，或.‎ 当，则.‎ 当变化时，，变化情况如下表：‎ 注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意.‎ 当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意.‎ 若，则.‎ 当变化时，，变化情况如下表：‎ 注意到当，时，，，所以函数至多有一个零点，不符合题意.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎（Ⅲ）证明：.‎ 设，其定义域为，则证明即可.‎ 因为，取，则，且.‎ 又因为，所以函数在上单增.‎ 所以有唯一的实根，且.‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数的最小值为.‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎22.解：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离.‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ ‎23.解：（1）因为，‎ 当或时取等号，‎ 令所以或.‎ 解得或，‎ 的最大值为1.‎ ‎（2）.‎ 由柯西不等式，，‎ ‎，等号当且仅当，且时成立.‎ 即当且仅当，，时，的最小值为.‎