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  • 2021-07-01 发布

数学理卷·2017届河北省武邑中学高三下学期一模考试(2017

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河北省武邑中学2017届高三下学期一模考试 数学(理)试题 第Ⅰ卷 选择题(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设复数满足(为虚数单位),则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列函数中,既是偶函数,又在区间上单调递增的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.若变量满足不等式组,且的最大值为7,则实数的值为( )‎ A.1 B.7 C. -1 D.-7‎ ‎6.甲乙和其他4名同学合影留念,站成两排三列,且甲乙两人不在同一排也不在同一列,则这6名同学的站队方法有( )‎ A. 144种 B.180种 C. 288种 D.360种 ‎7.在中,,点是边上的动点,且,,,则当取得最大值时,的值为( )‎ A. B. 3 C. D.‎ ‎8.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”‎ ‎,执行该程序框图,若输入分别为17,14,则输出的=( )‎ A. 4 B.3 C. 2 D.1‎ ‎9.已知一个简单几何的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在区间内随机取两个数分别记为,则函数有零点的概率( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在平面直角坐标系中,双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点,则的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.定义:如果函数在上存在满足,,‎ 则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 非选择题(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知角的始边与轴非负半轴重合,终边在射线上,则 .‎ ‎14. 的展开式中的系数为 .(用数字作答)‎ ‎15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8......,该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”,则 ‎ .‎ ‎16.已知①当时,,则 .‎ 当时,若有三个不等实数根,且它们成等差数列,则___________.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知数列中,其前项和为,且满足,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记,若数列为递增数列,求的取值范围.‎ ‎18. 某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的1200个数据(数据均在区间内)中,按照5%的比例进行分层抽样,统计结果按,,,,分组,整理如下图:‎ ‎(1)写出频率分布直方图(图乙)中的值:记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售的方差分别为,,试比较与的大小(只需写出结论);‎ ‎(2)从甲种酸奶机日销量在区间的数据样本中抽取3个,记在内的数据个数为,求的分布列;‎ ‎(3)估计1200个日销售量数据中,数据在区间中的个数.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,. ‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若,求与所成角的余弦值:‎ ‎(3)当平面与平面垂直时,求的长.‎ ‎20.已知椭圆过点且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线与椭圆交于、两点,以为对角线作正方形,记直线与轴的交点为,问、两点间距离是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由.‎ ‎21.设函数,,.‎ ‎(1)当时,求函数在点处的切线方程;‎ ‎(2)若函数有两个零点,试求的取值范围;‎ ‎(3)证明.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点在上,点在上,求的最小值及此时点的直角坐标.‎ 23. 选修4-5:不等式选讲 已知关于的不等式的解集为.‎ ‎(1)求的最大值;‎ ‎(2)已知,,,且,求的最小值及此时,,的值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12:‎ 二、填空题 ‎13. 14.70 15.1 16. 4,‎ 三、解答题 ‎17.解:(1),,‎ ‎,,‎ ‎ .‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 数列为递增数列,,即.‎ 令,则,‎ 为递增数列,,即的取值范围为.‎ ‎18.解(1)由图(乙)知,解得,.‎ ‎(2)的所有可能取值1,2,3.‎ 则,,,‎ 其分布列如下:‎ (1) 由图(甲)知,甲种酸奶的数据共抽取个,‎ 其中有4个数据在区间内,又因为分层抽样共抽取了个数据,‎ 乙种酸奶的数据共抽取个,‎ 由(I)知,乙种酸奶的日销量数据在内的频率为,‎ 故乙种酸奶的日常销量数据在区间内有个.‎ 故抽取的个数据,共有个数据在区间内.‎ 所以,在1200个数据中,在区间内的数据有160个.‎ ‎19.(1)因为四边形是菱形,所以,又因为平面,所以.又,所以平面PAC.‎ ‎(2)设.因为,.所以,,如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,‎ 则,,,所以,,.‎ 设与所成角为,则.‎ ‎(3)由(2)知,设.则,设平面的法向量,则,所以,令,则,,所以.‎ 同理,平面的法向量.‎ 因为平面平面,所以,即,解得.所以.‎ ‎20.解:(1)设椭圆的半焦距为.因为点在椭圆上,所以.故.‎ 又因为,所以,.所以椭圆的标准方程为:.‎ ‎(Ⅱ)设,,线段中点为.‎ 联立 和,得:.由,可得.‎ 所以,.‎ 所以中点为.‎ 弦长,‎ 又直线与轴的交点,‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以、两点间距离为定值.‎ ‎21.【解析】(Ⅰ)函数的定义域是,.‎ 当时,,.‎ 所以函数在点处的切线方程为.‎ 即.‎ ‎(Ⅱ)函数的定义域为,由已知得.‎ ‎①当时,函数只有一个零点;‎ ‎②当,因为,‎ 当时,;当时,.‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增.‎ 又,,‎ 因为,所以,所以,所以 取,显然且 所以,.‎ 由零点存在性定理及函数的单调性知,函数有两个零点.‎ ‎③当时,由,得,或.‎ 当,则.‎ 当变化时,,变化情况如下表:‎ 注意到,所以函数至多有一个零点,不符合题意.‎ 当,则,在单调递增,函数至多有一个零点,不符合题意.‎ 若,则.‎ 当变化时,,变化情况如下表:‎ 注意到当,时,,,所以函数至多有一个零点,不符合题意.‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎(Ⅲ)证明:.‎ 设,其定义域为,则证明即可.‎ 因为,取,则,且.‎ 又因为,所以函数在上单增.‎ 所以有唯一的实根,且.‎ 当时,;当时,.‎ 所以函数的最小值为.‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎22.解:(1)的普通方程为,的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离.‎ 当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.‎ ‎23.解:(1)因为,‎ 当或时取等号,‎ 令所以或.‎ 解得或,‎ 的最大值为1.‎ ‎(2).‎ 由柯西不等式,,‎ ‎,等号当且仅当,且时成立.‎ 即当且仅当,,时,的最小值为.‎