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  • 2021-07-01 发布

人教A版理科数学课时试题及解析(67)数学证明

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课时作业(六十七) [第67讲 数学证明]‎ ‎[时间:45分钟 分值:100分]‎ ‎                   ‎ ‎1. 在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2),求证a(2-b)、b(2-c)、c(2-a)不可能都大于‎1”‎时,反证时假设正确的是(  )‎ A.假设a(2-b)、b(2-c)、c(2-a)都小于1‎ B.假设a(2-b)、b(2-c)、c(2-a)都大于1‎ C.假设a(2-b)、b(2-c)、c(2-a)都不大于1‎ D.以上都不对 ‎2. 在△ABC中,已知sinA+cosA=,则△ABC的形状是(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 ‎3.设a,b,c均为正实数,那么a+,b+,c+(  )‎ A.都不大于2‎ B.都不小于2‎ C.至少有一个不大于2‎ D.至少有一个不小于2‎ ‎4.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是________.‎ ‎5. 一个质点从A出发依次沿图中线段到达B、C、D、E、F、G、H、I、J各点,最后又回到A(如图K67-1所示),其中:AB⊥BC,AB∥CD∥EF∥HG∥IJ,BC∥DE∥FG∥HI∥JA.欲知此质点所走路程,至少需要测量n条线段的长度,则n=(  )‎ 图K67-1‎ A.2 B.‎3 C.4 D.5‎ ‎6. 已知=ad-bc,则++…+=(  )‎ A.-2 008 B.2 008‎ C.2 010 D.-2 010‎ ‎7. △ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a、b、c成等比数列,cosA、cosB、cosC成等差数列,则△ABC为(  )‎ A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 ‎8. 已知关于x的不等式<0的解集为M,且3∈M,5∉M,则实数a的取值范围为(  )‎ A.∪(9,25) B.∪(9,25]‎ C.∪[9,25) D.∪[9,25]‎ ‎9.若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:‎ ‎①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;‎ ‎②a>b与a1,n∈N)个点,每个图形总的点数记为an,则+++…+=________.‎ 图K67-2‎ ‎12. 若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为________.‎ ‎13. 如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有≤f.若y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是________.‎ ‎14.(10分)已知a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.‎ ‎15. (13分)试比较nn+1与(n+1)n(n∈N*)的大小.‎ 当n=1时,有nn+1________(n+1)n(填>、=或<);‎ 当n=2时,有nn+1________(n+1)n(填>、=或<);‎ 当n=3时,有nn+1________(n+1)n(填>、=或<);‎ 当n=4时,有nn+1________(n+1)n(填>、=或<).‎ 猜想一个一般性结论,并加以证明.‎ ‎16.(12分)数列{an}(n∈N*)中,a1=0,an+1是函数fn(x)=x3-(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点,求通项an.‎ 课时作业(六十七)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1.B [解析] “不可能都大于‎1”‎的否定是“都大于‎1”‎,故选B.‎ ‎2.C [解析] 由sinA+cosA=,得,(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=,∴sinAcosA<0.‎ ‎∵A∈(0,π),∴sinA>0,cosA<0,∴A∈.故选C.‎ ‎3.D [解析] 因为a++b++c+≥6,故选D.‎ ‎4.x0,∴<0,∴x20,y>0,∴x,(1-b)c>,(1-c)a>,‎ 三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>.①‎ 又(1-a)a≤2=,‎ ‎(1-b)b≤,(1-c)c≤.‎ 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,‎ 与①式矛盾,即假设不成立,故结论正确.‎ ‎15.[解答] < < > > ‎ 结论:当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.‎ 证明:①当n=3时,34=81>64=43成立;‎ ‎②假设当n=k(k≥3)时成立,即kk+1>(k+1)k成立,即>1,‎ 则当n=k+1时,‎ ‎∵=(k+1)·k+1>(k+1)·k+1=>1,‎ ‎∴(k+1)k+2>(k+2)k+1,即当n=k+1时也成立.‎ ‎∴当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16.[思路] 先求导,再分类讨论求出an+1的关系式,最后运用“归纳——猜想——证明”的思想求通项an.‎ ‎[解答] 易知f′n(x)=x2-(3an+n2)x+3n2an=(x-3an)(x-n2),‎ 令f′n(x)=0,得x=3an或x=n2,‎ ‎(1)若3an0,fn(x)单调递增;‎ 当3ann2时,f′n(x)>0,fn(x)单调递增,‎ 故fn(x)在x=n2时,取得极小值.‎ ‎(2)若3an>n2,仿(1)可得,fn(x)在x=3an时取得极小值.‎ ‎(3)若3an=n2,f′n(x)≥0,fn(x)无极值.‎ 因a1=0,则‎3a1<12,由(1)知,a2=12=1.‎ 因‎3a2=3<22,由(1)知a3=22=4,‎ 因‎3a3=12>32,由(2)知a4=‎3a3=3×4,‎ 因‎3a4=36>42,由(2)知a5=‎3a4=32×4,‎ 由此猜想:当n≥3时,an=4×3n-3.‎ 下面用数学归纳法证明:当n≥3时,3an>n2.‎ 事实上,当n=3时,由前面的讨论知结论成立.‎ 假设当n=k(k≥3)时,3ak>k2成立,则由(2)知ak+1=3ak>k2,从而3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0,‎ 所以3ak+1>(k+1)2.‎ 故当n≥3时,an=4×3n-3,‎ 于是由(2)知,当n≥3时,an+1=3an,而a3=4,‎ 因此an=4×3n-3,‎ 综上所述,an=

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