人教A版理科数学课时试题及解析（67）数学证明 6页

课时作业(六十七)　[第67讲　数学证明]‎ ‎[时间：45分钟　分值：100分]‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于‎1”‎时，反证时假设正确的是(　　)‎ A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于1‎ B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1‎ C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于1‎ D．以上都不对 ‎2． 在△ABC中，已知sinA＋cosA＝，则△ABC的形状是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎3．设a，b，c均为正实数，那么a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都不大于2‎ B．都不小于2‎ C．至少有一个不大于2‎ D．至少有一个不小于2‎ ‎4．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．‎ ‎5． 一个质点从A出发依次沿图中线段到达B、C、D、E、F、G、H、I、J各点，最后又回到A(如图K67－1所示)，其中：AB⊥BC，AB∥CD∥EF∥HG∥IJ，BC∥DE∥FG∥HI∥JA.欲知此质点所走路程，至少需要测量n条线段的长度，则n＝(　　)‎ 图K67－1‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎6． 已知＝ad－bc，则＋＋…＋＝(　　)‎ A．－2 008 B．2 008‎ C．2 010 D．－2 010‎ ‎7． △ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，cosA、cosB、cosC成等差数列，则△ABC为(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎8． 已知关于x的不等式<0的解集为M，且3∈M,5∉M，则实数a的取值范围为(　　)‎ A.∪(9,25) B.∪(9,25]‎ C.∪[9,25) D.∪[9,25]‎ ‎9．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：‎ ‎①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；‎ ‎②a>b与a1，n∈N)个点，每个图形总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝________.‎ 图K67－2‎ ‎12． 若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为________．‎ ‎13． 如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．‎ ‎14．(10分)已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.‎ ‎15. (13分)试比较nn＋1与(n＋1)n(n∈N*)的大小．‎ 当n＝1时，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)；‎ 当n＝2时，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)；‎ 当n＝3时，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)；‎ 当n＝4时，有nn＋1________(n＋1)n(填＞、＝或＜)．‎ 猜想一个一般性结论，并加以证明．‎ ‎16．(12分)数列{an}(n∈N*)中，a1＝0，an＋1是函数fn(x)＝x3－(3an＋n2)x2＋3n2anx的极小值点，求通项an.‎ 课时作业(六十七)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．B　[解析] “不可能都大于‎1”‎的否定是“都大于‎1”‎，故选B.‎ ‎2．C　[解析] 由sinA＋cosA＝，得，(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝，∴sinAcosA<0.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sinA>0，cosA<0，∴A∈.故选C.‎ ‎3．D　[解析] 因为a＋＋b＋＋c＋≥6，故选D.‎ ‎4．x0，∴<0，∴x20，y>0，∴x，(1－b)c>，(1－c)a>，‎ 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>.①‎ 又(1－a)a≤2＝，‎ ‎(1－b)b≤，(1－c)c≤.‎ 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，‎ 与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．‎ ‎15．[解答] <　<　>　>　‎ 结论：当n≥3时，nn＋1>(n＋1)n(n∈N*)恒成立．‎ 证明：①当n＝3时，34＝81>64＝43成立；‎ ‎②假设当n＝k(k≥3)时成立，即kk＋1>(k＋1)k成立，即>1，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎∵＝(k＋1)·k＋1>(k＋1)·k＋1＝>1，‎ ‎∴(k＋1)k＋2>(k＋2)k＋1，即当n＝k＋1时也成立．‎ ‎∴当n≥3时，nn＋1>(n＋1)n(n∈N*)恒成立．‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[思路] 先求导，再分类讨论求出an＋1的关系式，最后运用“归纳——猜想——证明”的思想求通项an.‎ ‎[解答] 易知f′n(x)＝x2－(3an＋n2)x＋3n2an＝(x－3an)(x－n2)，‎ 令f′n(x)＝0，得x＝3an或x＝n2，‎ ‎(1)若3an0，fn(x)单调递增；‎ 当3ann2时，f′n(x)>0，fn(x)单调递增，‎ 故fn(x)在x＝n2时，取得极小值．‎ ‎(2)若3an>n2，仿(1)可得，fn(x)在x＝3an时取得极小值．‎ ‎(3)若3an＝n2，f′n(x)≥0，fn(x)无极值．‎ 因a1＝0，则‎3a1<12，由(1)知，a2＝12＝1.‎ 因‎3a2＝3<22，由(1)知a3＝22＝4，‎ 因‎3a3＝12>32，由(2)知a4＝‎3a3＝3×4，‎ 因‎3a4＝36>42，由(2)知a5＝‎3a4＝32×4，‎ 由此猜想：当n≥3时，an＝4×3n－3.‎ 下面用数学归纳法证明：当n≥3时，3an>n2.‎ 事实上，当n＝3时，由前面的讨论知结论成立．‎ 假设当n＝k(k≥3)时，3ak>k2成立，则由(2)知ak＋1＝3ak>k2，从而3ak＋1－(k＋1)2>3k2－(k＋1)2＝2k(k－2)＋2k－1>0，‎ 所以3ak＋1>(k＋1)2.‎ 故当n≥3时，an＝4×3n－3，‎ 于是由(2)知，当n≥3时，an＋1＝3an，而a3＝4，‎ 因此an＝4×3n－3，‎ 综上所述，an＝