• 140.50 KB
  • 2021-07-01 发布

2021高考数学一轮复习课后限时集训38基本不等式理北师大版

  • 8页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
课后限时集训38‎ 基本不等式 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.(多选题)下列不等式证明过程正确的是(  )‎ A.若a,b∈R,则+≥2=2‎ B.若x>1,y>1,则lg x+lg y≥2 C.若x<0,则x+≥2=-4‎ D.若x<0,则2x+2-x>2=2‎ BD [A错误,∵a、b不满足同号,故不能用基本不等式;B正确,∵lg x和lg y一定是正实数,故可用基本不等式; C错误,∵x和不是正实数,故不能直接利用基本不等式;D正确,∵2x和2-x都是正实数,故2x+2-x>2=2成立,当且仅当2x=2-x相等时(即x=0时),等号成立,故选BD.]‎ ‎2.设0<x<2,则函数y=的最大值为(  )‎ A.2   B.    ‎ C.     D. D [∵0<x<2,∴4-2x>0,‎ ‎∴x(4-2x)=×2x(4-2x)≤×2=×4=2.‎ 当且仅当2x=4-2x,即x=1时等号成立.‎ 即函数y=的最大值为.]‎ ‎3.若正数m,n满足‎2m+n=1,则+的最小值为(  )‎ A.3+2 B.3+ C.2+2 D.3‎ A [因为‎2m+n=1,‎ 所以+=·(‎2m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,‎ 即n=m时等号成立,所以+的最小值为3+2,故选A.]‎ ‎4.(2019·长沙模拟)若a>0,b>0,a+b=ab,则a+b的最小值为(  )‎ 8‎ A.2 B.4‎ C.6 D.8‎ B [法一:(直接法)由于a+b=ab≤,因此a+b≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故选B.‎ 法二:(常数代换法)由题意,得+=1,所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,故选B.]‎ ‎5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为(  )‎ A.≥(a>0,b>0)‎ B.a2+b2≥2(a>0,b>0)‎ C.≤(a>0,b>0)‎ D.≤(a>0,b>0)‎ D [由AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=,又OC=OB-BC=-b=,‎ 则FC2=OC2+OF2=+=,‎ 再根据题图知FO≤FC,即≤,当且仅当a=b时取等号.故选D.]‎ 二、填空题 ‎6.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.‎  [∵对任意x>0,≤a恒成立,‎ ‎∴对x∈(0,+∞),a≥max,‎ 而对x∈(0,+∞),=≤=,‎ 当且仅当x=时等号成立,‎ 8‎ ‎∴a≥.]‎ ‎7.如图,已知正方形OABC,其中OA=a(a>1),函数y=3x2交BC于点P,函数y=x交AB于点Q,当|AQ|+|CP|最小时,则a的值为________.‎  [由题意得:P点坐标为,Q点坐标为,|AQ|+|CP|=+≥2,‎ 当且仅当a=时,取最小值.]‎ ‎8.(2019·天津高考)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为________.‎  [===2+.‎ 因为x>0,y>0,x+2y=4,‎ 所以x+2y=4≥2,‎ 即≤2,0<xy≤2,当且仅当x=2y=2时等号成立.‎ 所以2+≥2+5×=,‎ 所以的最小值为.]‎ 三、解答题 ‎9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:‎ ‎(1)xy的最小值;‎ ‎(2)x+y的最小值.‎ ‎[解] (1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,‎ 则1=+≥2 =,得xy≥64,‎ 当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立.‎ 故xy的最小值为64.‎ 8‎ ‎(2)法一:(消元法)由2x+8y-xy=0,得x=,‎ 因为x>0,y>0,所以y>2,‎ 则x+y=y+=(y-2)++10≥18,‎ 当且仅当y-2=,即y=6,x=12时等号成立.‎ 故x+y的最小值为18.‎ 法二:(常数代换法)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 则x+y=·(x+y)‎ ‎=10++ ‎≥10+2 =18,‎ 当且仅当y=6,x=12时等号成立,‎ 故x+y的最小值为18.‎ ‎10.某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).‎ ‎(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;‎ ‎(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?‎ ‎[解] (1)由题意知,当m=0时,x=1,‎ ‎∴1=3-k,k=2,∴x=3-,‎ 每万件产品的销售价格为1.5×(万元),‎ ‎∴2020年的利润y=1.5x×-8-16x-m=4+8x-m=4+8-m=-+29(m≥0).‎ ‎(2)∵m≥0时,+(m+1)≥2=8,‎ ‎∴y≤-8+29=21,‎ 8‎ 当且仅当=m+1,即m=3(万元)时,ymax=21(万元).‎ 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.‎ ‎1.已知函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,则的最小值是(  )‎ A.10 B.9‎ C.8 D.3 B [由函数f(x)=ax2+bx,得f′(x)=2ax+b,‎ 由函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线斜率为2,‎ 所以f′(1)=‎2a+b=2,‎ 所以=+=(‎2a+b)‎ ‎=≥=(10+8)=9,‎ 当且仅当=,即a=,b=时等号成立,‎ 所以的最小值为9,故选B.]‎ ‎2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,b=4,则△ABC面积的最大值为(  )‎ A.4 B.2 C.3 D. A [∵=,‎ ‎∴(‎2a-c)cos B=bcos C,‎ 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,‎ ‎∴2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C ‎=sin(B+C)=sin A.‎ 又sin A≠0,∴cos B=.‎ ‎∵03,y>3).‎ ‎(2)S=1 808-3x-× ‎=1 808-≤1 808-2 8‎ ‎=1 808-240=1 568,‎ 当且仅当3x=,即x=40时等号成立,S取得最大值,此时y==45,‎ 所以当x=40,y=45时,S取得最大值.‎ ‎1.在△ABC中,点P满足=2,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若=m,=n(m>0,n>0),则m+2n的最小值为(  )‎ A.3 B.4‎ C. D. A [∵=+ ‎=+(-)‎ ‎=+=+,‎ ‎∵M,P,N 三点共线,∴+=1,‎ ‎∴m+2n=(m+2n) ‎=+++≥+2=+=3,‎ 当且仅当m=n=1时等号成立.]‎ ‎2.(2019·定州期中)已知函数f(x)=log2(-x),若对任意的正数a,b,满足f(a)+f(3b-1)=0,则+的最小值为(  )‎ A.6 B.8‎ C.12 D.24‎ C [易知函数f(x)=log2(-x)的定义域为R,‎ 又f(x)=log2(-x)=log2,‎ 所以f(x)为R上的减函数.‎ 又f(-x)=log2(+x),所以f(x)=-f(-x),‎ 即f(x)为奇函数,‎ 因为f(a)+f(3b-1)=0,所以f(a)=f(1-3b),‎ 所以a=1-3b,即a+3b=1,‎ 8‎ 所以+=(a+3b)=++6,‎ 因为+≥2=6,‎ 所以+=(a+3b)=++6≥12(当且仅当a=,b=时,等号成立),故选C.]‎ 8‎

相关文档