【数学】2020届一轮复习人教A版第56课平面向量的基本应用学案（江苏专用） 6页

第 56 课 平面向量的基本应用 1. 理解向量具有大小与方向的双重性质，会将向量的运算转化为代数运算. 2. 会用向量方法证明线线垂直、线线平行；会用向量求长度、夹角等问题. 3. 会用向量方法解决平面几何、解析几何、三角函数、数列中的有关问题. 4. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 1. 阅读：必修 4 第 91～92 页. 2. 解悟：①向量在物理学中的应用；②用向量求角度和长度；③你能否画一个几何图形来 解释教材第 91 页例 2？④重解第 91 页例 2，体会方法和规范. 3. 践习：在教材空白处，完成第 92～93 页练习第 2、3、8 题；第 93 页习题第 4、6、7 题. 基础诊断 1. 已知|a|＝|b|＝|a－2b|＝1，则|a＋2b|＝ . 解析：由题意得 a2＝1，b2＝1，a2－4a·b＋4b2＝1，所以 a·b＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2 ＝1＋4＋4＝9，所以|a＋2b|＝3. 2. 设 a，b 是两个非零向量，则“a·b<0”是“a，b 的夹角为钝角”的 必要不充分 条 件. 解析：当 a，b 的夹角为 180°时，a·b＝－|a|·|b|<0 成立，但 a，b 的夹角是钝角不成立， 故充分性不成立；若 a·b 的夹角为钝角，即π 2<θ<π，则 cos θ<0，所以 a·b<0 成立，故必要性 成立，所以“a·b<0”是“a，b 的夹角为钝角”的必要不充分条件. 3. 若平面四边形 ABCD 满足AB→ ＋CD→ ＝0，(AB→ －AD→ )·AC→ ＝0，则该四边形一定是 菱 形 . 解析：因为AB→ ＋CD→ ＝0，即AB→ ＝DC→ ，所以四边形 ABCD 是平行四边形.又因为(AB→ － AD→ )·AC→ ＝0，所以DB→ ·AC→ ＝0，所以 DB⊥AC，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该 四边形一定是菱形. 4. 若正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，F 为 AD 的中点，则AE→ ·CF→＝ － 4 . 解析：如图建立平面直角坐标系，则点 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2).因为 E 为 CD 的中点，F 为 AD 的中点，所以 E(1，2)，F(0，1)，所以AE→ ＝(1，2)，CF→＝(－2，－ 1)，所以AE→ ·CF→＝(1，2)·(－2，－1)＝－4. 范例导航 考向❶ 向量的数量积 例 1 在△ABO 中，已知 P 为线段 AB 上一点，OP→＝xOA→ ＋yOB→ . (1) 若BP→＝PA→，求 x 和 y 的值. (2) 若BP→＝3PA→，|OA→ |＝4，|OB→ |＝2，且OA→ 与OB→ 的夹角为 60°时， 求OP→·AB→ 的值. 解析：(1) 因为BP→＝PA→， 所以BO→ ＋OP→＝PO→＋OA→ ，即 2OP→＝OB→ ＋OA→ ， 所以OP→＝1 2OA→ ＋1 2OB→ ，即 x＝y＝1 2. (2) 因为BP→＝3PA→， 所以BO→ ＋OP→＝3PO→＋3OA→ ，即 4OP→＝OB→ ＋3OA→ ，所以OP→＝3 4OA→ ＋1 4OB→ ， 所以 x＝3 4 ，y＝1 4. OP→·AB→ ＝ 3 4OA→ ＋1 4OB→ ·(OB→ －OA→ ) ＝1 4|OB→ |2－3 4|OA→ |2＋1 2OA→ ·OB→ ＝－9. 已知|OA→ |＝|OB→ |＝ 2，且OA→ ·OB→ ＝1.若点C满足|OA→ ＋CB→ |＝1，则|OC→ |的取值范围是 [ 6 －1， 6＋1] . 解析：因为OA→ ·OB→ ＝1，所以 cos〈OA→ ·OB→ 〉＝ OA→ ·OB→ |OA→ |·|OB→ | ＝1 2 ，所以OA→ 与OB→ 的夹角为π 3. 设OA→ ＝( 2，0)，OB→ ＝ 2 2 ， 6 2 ，OA→ ＋OB→ ＝OD→ ，则OD→ ＝ 3 2 2 ， 6 2 ，所以|OD→ |＝ 6.因为 |OA→ ＋CB→ |＝1，所以|OA→ ＋OB→ －OC→ |＝1，即|OD→ －OC→ |＝|CD→ |＝1，所以 C 在以 D 为圆心，1 为半径的圆上，所以|OC→ |的最小值为 6－1，|OC→ |的最大值是 6＋1，所以|OC→ |的取值范围 是[ 6－1， 6＋1]. 考向❷ 向量的模 例 2 已知OA→ ＝(λcosα，λsinα)(λ≠0)，OB→ ＝(－sinβ，cosβ)，其中 O 为坐标原点. (1) 若α－β＝π 6 且λ＝1，求OA→ 与OB→ 的夹角θ； (2) 若|BA→ |≥2|OB→ |对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围. 解析：(1) 当λ＝1 时，OA→ ＝(cosα，sinα)， 故|OA→ |＝ cos2α＋sin2α＝1， |OB→ |＝ （－sinβ）2＋cos2β＝1. 因为OA→ ·OB→ ＝cosα·(－sinβ)＋sinα cosβ ＝sin(α－β)＝sinπ 6 ＝1 2 ， 所以 cosθ＝ OA→ ·OB→ |OA→ |·|OB→ | ＝1 2. 因为θ∈[0，π]， 所以θ＝π 3. (2) BA→ ＝OA→ －OB→ ＝(λcosα＋sinβ，λsinα－cosβ)，故|BA→ |≥2|OB→ |对任意实数α，β都成立， 即(λcosα＋sinβ)2＋(λsinα－cosβ)2≥4 对任意实数α，β都成立， 整理得λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4 对任意实数α，β都成立，即 2λsin(β－α)≥3－λ2 对任意实 数α，β都成立. 因为－1≤sin(β－α)≤1， 所以 λ>0， λ2＋1－2λ≥4 或 λ<0， λ2＋1＋2λ≥4， 解得λ≥3 或λ≤－3， 所以实数λ的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞). 已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a，b 是相互垂直的单位向量，且(a－c)·( 3b －c)＝1，则|c|的最大值为 2＋1 Ｗ. 解析：因为 a，b 是相互垂直的单位向量，不妨设 a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，所 以 a－c＝(1－x，－y)， 3b－c＝(－x， 3－y).因为(a－c)·( 3b－c)＝1，所以 x2－x＋y2－ 3y ＝1，即 x－1 2 2 ＋ y－ 3 2 2 ＝2，所以 c 的轨迹是以 1 2 ， 3 2 为圆心， 2为半径的圆，所以圆 心到原点的距离为 1，所以|c|的最大值为 1＋ 2. 考向❸ 共线问题 例 3 设 a，b 是不共线的两个非零向量. (1) 若OA→ ＝2a－b，OB→ ＝3a＋b，OC→ ＝a－3b，求证：A，B，C 三点共线； (2) 若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值； (3) 设OM→ ＝ma，ON→ ＝nb，OP→ ＝θa＋βb，其中 m，n，θ，β均为实数，m≠0，n≠0，若 M，P，N 三点共线，求证：θ m ＋β n ＝1. 解析：(1) 因为AB→＝OB→ －OA→ ＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，BC→＝OC→ －OB→ ＝(a－3b)－(3a ＋b)＝－2a－4b＝－2AB→， 所以AB→与BC→共线. 又因为AB→与BC→有公共端点 B， 所以 A，B，C 三点共线. (2) 因为 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，所以存在实数λ，使得 8a＋kb＝λ(ka＋2b).所以(8－λk)a ＋(k－2λ)b＝0. 因为 a 与 b 不共线，所以 8－λk＝0， k－2λ＝0. 所以 8＝2λ2，所以λ＝±2， 所以 k＝2λ＝±4. (3) 因为 M，P，N 三点共线，所以存在实数λ，使得MP→ ＝λPN→. 所以OP→ －OM→ ＝λ(ON→ －OP→ )，即OP→ ＝OM→ ＋λON→ 1＋λ ＝ m 1＋λ a＋ λn 1＋λ b. 因为 a，b 不共线，所以 θ＝ m 1＋λ ， β＝ λn 1＋λ . 所以θ m ＋β n ＝ 1 1＋λ ＋ λ 1＋λ ＝1. 自测反馈 1. 在平行四边形 ABCD 中，|AB→ |＝2， AB→ |AB→ | ＋ AD→ |AD→ | ＝ 3 AC→ |AC→ | ，则其面积为 2 3 . 解析：因为 AB→ |AB→ | ＋ AD→ |AD→ | ＝ 3 AC→ |AC→ | ，所以 AB→ |AB→ | ＋ AD→ |AD→ | 2 ＝3 AC→ |AC→ | 2 ，即 1＋1＋2cosA＝3，所 以 cosA＝1 2.因为 0