2017-2018学年河北省卓越联盟高二下学期第三次月考数学（理）试题-解析版 16页

绝密★启用前 河北省卓越联盟2017-2018学年高二下学期第三次月考数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数满足（为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据复数的模长公式以及复数的运算法则进行化简求解即可．‎ 详解：（﹣2﹣i）z=|3+4i|==5，‎ 则z==﹣=﹣=﹣=﹣=﹣2+i，‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查复数的计算，熟练运用复数的模长公式以及复数的除法运算是解决本题的关键．‎ ‎2．关于相关关系，下列说法不正确的是（ ）‎ A. 相关关系是一种非确定关系 B. 相关关系越大，两个变量的相关性越强 C. 当两个变量相关且相关系数时，表明两个变量正相关 D. 相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据相关系数的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可得结果.‎ 详解：对于，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，正确；‎ 对于，只有两个变量为正相关时，相关关系越大，两个变量的相关性越强，错误；‎ 对于，当两个变量相关且相关系数时，说明两个变量正相关，正确；‎ 对于，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，正确，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查了相关系数的定义与性质的应用问题，意在考查对基本概念的理解，属于简单题.‎ ‎3．已知随机变量的分布列为下表，则的标准差为（ ）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ A. 0.95 B. C. 0.7 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先利用期望公式，求得Eξ=3.2，再利用方差公式，求得方差，进而可得ξ的标准差．‎ 详解：由题意，Eξ=1×0.4+3×0.1+5×（1﹣0.4﹣0.1）=3.2‎ ‎∴方差为：（1﹣3.2）2×0.4+（3﹣3.2）2×0.1+（5﹣3.2）2×0.5=1.936+0.004+1.62=3.56‎ ‎∴ξ的标准差为 故选：D．‎ 点睛：本题考查随机变量ξ的期望、方差与标准差，熟练运用公式是解决问题的关键．‎ ‎4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排列种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有种排法，再将两位老师插入9个空中，共有种排法，根据分步计数原理得到结果．‎ 详解：用插空法解决的排列组合问题，‎ 将所有学生先排列，有种排法，‎ 然后将两位老师插入9个空中，‎ 共有种排法，‎ ‎∴一共有种排法。‎ 故选：A．‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎5．已知定积分，且为偶函数，则（ ）‎ A. 0 B. 8 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据定积分的几何意义知，定积分的值∫﹣66f（x）dx是f（x）的图象与x轴所围成的平面图形的面积的代数和，结合偶函数的图象的对称性即可解决问题．‎ 详解：原式= +∫06f（x）dx．‎ ‎∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，‎ ‎∴对应的面积相等，则∫﹣66f（x）dx=8×2=16．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查定积分以及定积分的几何意义，属于基础题．‎ ‎6．某同学每次投篮命中的概率为，则他连续投篮3次，第3次才投中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用相互独立概率乘法公式计算即可.‎ 详解：∵每次投篮命中的概率为，‎ ‎∴连续投篮3次，第3次才投中的概率为 故选：B 点睛：求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ‎①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．‎ ‎②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．‎ ‎7．随机变量，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：画出正态分布N（0，22）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．‎ 详解：由随机变量量X～N（0，22），可知正态密度曲线关于y轴对称，‎ 而P（﹣2＜X≤0）=a，‎ ‎∴P（X≤﹣2）=﹣a，‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解，属于基础题．‎ ‎8．某小学庆“六一”晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目必须排在前两位，节目不能排在第一位，节目必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）‎ A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意知A的位置影响B的排列，分两类：A在第一位和A不在第一位，根据分类计数原理得到结果．‎ 详解：由题意知A的位置影响B的排列，所以要分两类：‎ 一类为A排在第一位，C排在最后一位，则其余4个节目共有A44=24种，‎ 另一类A排在第二位，C排在最后一位，从3，4，5位中排B，其余3个节目排在剩下的3个位置，共有A31A33=18种，‎ ‎∴故编排方案共有24+18=42种，‎ 故答案为：42‎ 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率..‎ ‎9．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，， ‎ ‎∴ ‎ 故选:B ‎10．展开式中的系数为 A. 15 B. 20 C. 30 D. 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，则展开式中含的项为 ‎，展开式中含的项为，故的系数为，选C.‎ ‎【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.‎ ‎11．在独立性检验中，统计量有三个临界值：2.706，3.841和6.635.当时，有90%的把握说明两个事件有关；当时，有95%的把握说明两个事件有关，当时，有99%的把握说明两个事件有关，当时，认为两个事件无关.在一项打鼾与心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算.根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（ ）‎ A. 有95%的把握认为两者有关 B. 约95%的打鼾者患心脏病 C. 有99%的把握认为两者有关 D. 约99%的打鼾者患心脏病 ‎【答案】C ‎【解析】分析：是一个独立性检验理论分析题，根据K2的值，同所给的临界值表中进行比较，可以得到有99%的把握认为打鼾与心脏病有关．‎ 详解：∵计算得K2=20.87．‎ 有20.87＞6.635，‎ ‎∵当K2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，‎ 故选：C．‎ 点睛：考查独立性检验的应用，是一个典型的问题，注意解题时数字运算要认真，不要出错，本题不需要运算直接考查临界值对应的概率的意义．‎ ‎12．若函数不存在极值点，下列对值判断正确的是（ ）‎ A. 不存在 B. 存在唯一的一个 C. 恰好两个 D. 存在无数多个 ‎【答案】B ‎【解析】分析：函数不存在极值点，即不存在可变零点.‎ 详解：∵函数 ‎∴‎ 又y单调递增，零点为，单调递增，‎ 若不存在极值点，‎ 则也是的零点，即，‎ 故选：B 点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，‎ 所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．‎ ‎（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据随机变量X服从二项分布X～B（n，p），EX=np，计算即可．‎ 详解：随机变量X服从二项分布，‎ 所以EX=np=5×=．‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题重点考查了n次独立重复实验的期望的计算问题，属于基础题．‎ ‎14．小张同学拿到一个随机变量的概率分布列如下表，然后要计算的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能判定这两个“？”处的数值相同.据此，小张给出了正确答案__________．‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎？‎ ‎！‎ ‎？‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：设“？”为x，“！”为y，利用离散型的随机变量的分布列的性质可得2x+y=1，再利用数学期望的计算公式即可得出．‎ 详解：设“？”为x，“！”为y，由离散型的随机变量的分布列的性质可得2x+y=1．‎ ‎∴Eξ=2×x+4y+6x=4（2x+y）=4．‎ 故答案为：4‎ 点睛：注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.‎ ‎15．已知函数在上不单调，则实数的取值集合是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调⇔f'（x）=0在（﹣1，1）上有实根，且无重根，结合二次函数在（﹣1，1）上的图象求解．‎ 详解：∵f（x）=x3﹣（a﹣3）x2﹣a（2a﹣3）x+b，‎ ‎∴f'（x）=x2﹣（a﹣3）x﹣a（2a﹣3）‎ 若函数f（x）在（﹣1，1）上不单调，则方程f'（x）=0在（﹣1，1）上有实根，且无重根 由f'（x）=0，得x1=﹣a，x2=2a﹣3，‎ ‎∴﹣1＜﹣a＜1或﹣1＜2a﹣3＜1，‎ ‎∴﹣1＜a＜1或1＜a＜2，‎ 又﹣a≠2a﹣3，∴a≠1．‎ ‎∴实数a的取值范围为﹣1＜a＜1或1＜a＜2．‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，函数f（x）在（﹣1，1）上不单调，则方程f'（x）=0在（﹣1，1）上有实根，且无重根，是解题的关键．‎ ‎16．设一次试验成功的概率为，进行100次独立重复试验，当__________时，成功次数的标准差最大，其最大值是__________．‎ ‎【答案】 5‎ ‎【解析】分析：根据独立重复试验的方差公式，可以表示出方差，因为要求成功次数的标准差的值最大时对应的概率，所以需要求出方差取得最大值时概率的值，利用均值不等式来求最值，得到结果．‎ 详解：由独立重复试验的方差公式可以得到 Dξ=npq≤n（）2=，（q=1﹣p）‎ 等号在p=q=时成立，‎ ‎∴Dξ=100×=25，σξ==5．‎ 故答案为：；5‎ 点睛：本题是一个综合题，考查独立重复试验的方差公式，方差和标准差之间的关系，基本不等式在求最值中的应用，独立重复试验不好判断，它是指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某校为了分析本校高中生的性别与是否喜欢数学之间的关系，在高中生中随机地抽取了90名学生调查，得到了如下列联表：‎ 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 ‎30‎ ‎①‎ ‎45‎ 女 ‎②‎ ‎25‎ ‎45‎ 总计 ‎③‎ ‎④‎ ‎90‎ ‎（1）求①②③④处分别对应的值；‎ ‎（2）能有多大把握认为“高中生的性别与喜欢数学”有关？‎ 附：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ .‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）根据列联表的特征，可得到①②③④处分别对应的值；（2）由列联表中的数据，利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.‎ 详解：（1）①②③④处分别对应的值分别为15，20，50，40；‎ ‎（2）∵ ,‎ 又,‎ ‎∴ 有超过的把握，认为“高中生的性别与喜欢数学”有关.‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎18．袋中有20个大小相同的球，其中标有号码0的球有10个，标有号码的球有个，其中1，2，3，4.现从袋中任取1球，表示所取球的号码.‎ ‎（1）求的分布列、均值和方差；‎ ‎（2）若，且，，求，的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）或 ‎【解析】 分析：（1）由题设知X的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，‎ 计算数学期望E（X）和方差D（X）；‎ ‎（2）根据方差与均值的计算公式，列出方程组求得a、b的值．‎ 详解：（1）可能取值有，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎∴ ；‎ ‎（2）∵ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 或.‎ 点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.‎ ‎19．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．‎ ‎（1）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率；‎ ‎（2）求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）0．24‎ ‎（2）‎ ξ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ P ‎ ‎0．24 ‎ ‎0．76 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）要想求事件的概率，由“函数为上的奇函数”可知，将问题转化为“当时的概率”. 又因为表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，可将问题分为两种情况：该学生选修三门功课或三门功课都没选.不管哪种情况，都需要知道该学生选修甲、乙、丙的概率.所以，首先要求出该学生选修甲、乙、丙的概率.由题意可设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为、、，联立方程组求解.再根据问题的两种情况进行求解.‎ ‎(2)因为表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，分析可得以下2类对立事件：当选修三门功课或三门功课都没选时，；选修其中的一门时，.由（1）知时的概率为，则时的概率为.可将的分布列写出，再计算出数学期望.‎ 试题解析：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为、、.‎ 依题意得 解得 ‎（1）若函数为的奇函数，则.‎ 当时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.‎ 事件的概率为.‎ ‎（2）依题意知或，则的分布列为 由（1）知 的数学期望为 考点：1、对立事件，互斥事件，独立事件；2、函数的奇偶性；3、方程组的解法4、离散型随机变量的概率与数学期望．‎ 视频 ‎20．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价（单位：元）和销售量（单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：‎ 销售单价/元 ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ ‎11‎ 销售量/万件 ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎（1）根据表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在内，已知该产品的成本是元/件（其中），那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）‎ 参考数据：，.‎ 参考公式：，.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）根据表格计算，进而根据公式得到，从而得到关于的回归方程；‎ ‎（2）利润，即求二次函数的最值.‎ 详解：（1）∵ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴关于的回归方程为；‎ ‎（2）利润，，‎ ‎∵ ，该二次函数的对称轴方程，‎ ‎∴ ① 当，即时，函数在上单调递增，当时取得最大值；‎ ‎② ，即时，当时取得最大值；‎ ‎∴ 当时，该产品的销售单价为元时能获得最大利润；当时，该产品的销售单价为元时能获得最大利润．‎ 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎21．某中学在“三关心”（即关心家庭、关心学校、关心社会）的专题中，对个税起征点问题进行了学习调查.学校决定从高一年级800人，高二年级1000人，高三年级800人中按分层抽样的方法共抽取13人进行谈话，其中认为个税起征点为3000元的有3人，认为个税起征点为4000元的有6人，认为个税起征点为 5000元的有4人.‎ ‎（1）求高一年级、高二年级、高三年级分别抽取多少人？‎ ‎（2）从13人中选出3人，求至少有1人认为个税起征点为4000元的概率；‎ ‎（3）记从13人中选出3人中认为个税起征点为4000元的人数为，求的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（1）4人、5人、4人；（2）；（3）分布列见解析，‎ ‎【解析】分析：(1)根据分层抽样定义按比例抽取即可；‎ ‎（2）利用对立事件概率公式即可求出至少有1人认为个税起征点为4000元的概率；‎ ‎（3）的所有可能取值有，明确相应的概率值，即可得到的分布列与数学期望.‎ 详解：（1）∵ ，‎ ‎∴ 按分层抽样的方法共抽取13人进行谈话，高一年级、高二年级、高三年级分别抽取4人、5人、4人；‎ ‎（2）记“从13人中选出3人，至少有1人认为个税起征点为4000元”为事件，则， ‎ ‎∴ 从13人中选出3人，求至少有1人认为个税起征点为4000元的概率为；‎ ‎（3）的所有可能取值有，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ ‎∴ 的分布列为 数学期望．‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.‎ ‎22．已知为函数的一个极值点.‎ ‎（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若方程有且只有一个实数根，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意,求得实数的值，，解导不等式明确函数的单调性；‎ ‎（2）方程有且只有一个实数根，等价于有且只有一个实数根，即的图象与有且只有一个公共点即可.‎ 详解：（1），．‎ ‎．‎ ‎∵ 为函数的一个极值点，‎ ‎∴ ，‎ 故，．‎ 令，解得或．‎ ‎∴ 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；‎ ‎（2）方程，‎ 整理得．因为，所以有 ‎．‎ 令，则．‎ 令，，故在上是增函数．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 当时，，即，单调递减；‎ 当时，，即，单调递增；‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ 当或时，，‎ ‎∴ 方程有且只有一个实数根时，实数．‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎