数学卷·2018届河南省南阳市六校高二下学期第二次联考数学试卷（解析版） 13页

‎2016-2017学年河南省南阳市六校高二下学期第二次联考数学 一、选择题：共12题 ‎1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应 A.从东边上山 B.从西边上山 C.从南边上山 D.从北边上山 ‎【答案】D ‎【解析】本题考查分类加法、分步乘法计数原理.从东边上山共种;从西边上山共种;从南边上山共种;从北边上山共种;所以应从北边上山.选D.‎ ‎ ‎ ‎2．从集合中任取两个互不相等的数组成复数,其中虚数有(  )个 A.36 B.30 C.25 D.20‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查复数的概念.若复数为虚数,则,则的取法有5种,的取法有5种,所以复数为虚数共个.选C.‎ ‎ ‎ ‎3．设为实数,,满足(是复数的共轭复数),则 A.-1 B.-2 C.2 D.1‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查复数的概念与运算.由题意得=,而,所以=0,解得=1.选D.‎ ‎ ‎ ‎4．已知为常数),则 A.恒为0 B.恒为正 C.恒为负 D.取值不定 ‎【答案】A ‎【解析】本题考查定积分.因为为奇函数,所以.选A.‎ ‎ ‎ ‎5．随机变量服从二项分布,且,则等于 A. B. C.1 D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查二项分布.因为,所以,解得.即等于.选B.‎ ‎ ‎ ‎6．(1)已知，求证，用反证法证明此命题时，可假设；‎ ‎(2)已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1.用反证法证明此命题时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1.‎ 以下结论正确的是 A.(1)与(2)的假设都错误 B.(1)与(2)的假设都正确 C.(1)的假设正确，(2)的假设错误 D.(1)的假设错误，(2)的假设正确 ‎【答案】D ‎【解析】反证法证明问题的第一步是“假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立”，而命题(1)结论的反面应为“”；对命题(2)，其结论的反面为“方程的两根的绝对值至少有一根的绝对值大于或等于1”.故选D.‎ ‎ ‎ ‎7．在4次独立试验中,事件出现的概率相同,若事件至少发生1次的概率是,则事件在一次试验中出现的概率是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查n次独立重复试验.令事件在一次试验中出现的概率为,则在4次独立试验中事件都未出现的概率为,解得.选A.‎ ‎ ‎ ‎8．下列说法正确的个数是 ‎①分类变量与的随机变量越大,说明“与有关系”的可信度越大 ‎②以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则的值分别是和0.3‎ ‎③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中,,则.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查回归直线与独立性检验.分类变量与的随机变量越大,说明“与有关系”的可信度越大,①正确;===,所以=4,,所以的值分别是和0.3,②正确;回归直线=过点,即3=,解得,即③正确.所以正确的个数是3.选D.‎ ‎ ‎ ‎9．在二项式的展开式中,各项系数之和为,各项二项式系数之和为,且,则展开式中常数项的值为 A.18 B.12 C.9 D.6‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查二项式定理.令,可得各项系数之和;各项二项式系数之和;而=,解得;所以,其通项=,令,可得展开式中常数项为.选C.‎ ‎【备注】二项展开式的通项公式：.‎ ‎ ‎ ‎10．大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的四个家庭各有两个小孩共8人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 ‎【答案】B ‎【解析】本题考查排列组合.若乘坐甲车的4名小孩恰有户家庭的孪生姐妹,共种;若乘坐甲车的4名小孩没有户家庭的孪生姐妹,共种;所以所求的乘坐方式共有+=24种.选B.‎ ‎ ‎ ‎11．为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai∈(0,1)(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0a1,h1=h0a2,‎ 运算规则为:00=0,01=1,10=1,11=0.例如原信息为111,则传输信息为01111,传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是 A.11010 B.01100 C.10111 D.00011‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于选项C,传输信息是10111,对应的原来的信息是011,由题目里的约定计算h0=01=1,而h1=h0a2=11=0,这时传输信息应是10110.‎ ‎ ‎ ‎12．已知函数=存在两个极值点.则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.因为函数存在两个极值点,则===0有二不等根;即函数与的图像有2个交点;k,则,所以;=,解得;即当时,与相切,此时有1个交点;而与的图像有2个交点,所以;即实数的取值范围是.选B.‎ 二、填空题：共4题 ‎13．已知在上可导,,则         .‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】本题考查复合函数求导.由题意得=,所以==0.‎ ‎ ‎ ‎14．在某次联考数学测试中,学生成绩服从正态分布,若在内的概率为0.6,则落在内的概率为         .‎ ‎【答案】0.2‎ ‎【解析】本题考查正态分布.因为在内的概率为0.6,所以在内的概率为0.3,所以落在内的概率为0.5-0.3=0.2.‎ ‎ ‎ ‎15．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入袋中的概率为         .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查n次独立重复试验.由题意得:当小球一直向左或向右落下时,才会落入B袋,即;所以小球落入袋中的概率.‎ ‎ ‎ ‎16．考虑函数与函数的图像关系,计算:         .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】本题考查定积分.因为与的图像关于对称;令,可得;由图可得===1.即1.‎ ‎ ‎ 三、解答题：共6题 ‎17．已知,在的展开式中,第二项系数是第三项系数的.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎【答案】(1)由题得,解得 ‎==++,‎ 令,得；又令,得.‎ 所以 ‎【解析】本题考查二项式定理.(1)由题得,解得;=,展开,赋值法求得=64-1.‎ ‎ ‎ ‎18．国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地.目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出.某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:‎ ‎(1)根据已有数据,把表格数据填写完整;‎ ‎(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?‎ ‎(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位教师的概率.‎ 附:.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)‎ 所以能在犯错误的概率不超过5﹪的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关 ‎(3)记5人为abcde,其中a b表示教师,从5人任意抽3人的所有等可能事件是:‎ abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde共10个,其中至多一位教师有7个基本事件:     acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde,所以所求概率是.‎ ‎【解析】本题考查独立性检验,古典概型.(1)列出2×2列联表;(2)求得,所以能在犯错误的概率不超过5﹪的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关;(3)枚举法:所有等可能事件10个,所求基本事件7个,所以所求概率是.‎ ‎ ‎ ‎19．5名男生4名女生站成一排,求满足下列条件的排法:‎ ‎(1)女生都不相邻有多少种排法?‎ ‎(2)男生甲、乙、丙排序一定(只考虑位置的前后顺序),有多少种排法?‎ ‎(3)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法?‎ ‎【答案】(1)任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,‎ 共有=(种)不同排法.‎ ‎(2)9人的所有排列方法有种,其中甲、乙、丙的排序有种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,‎ 所以甲、乙、丙排序一定的排法有(种)．‎ ‎(3)甲不在首位,按甲的排法分类:‎ 若甲在末位,则有种排法,若甲不在末位,则甲有种排法,乙有种排法,其余有种排法,‎ 综上共有(+)＝287280(种)排法.‎ ‎(或者)-2+=287280(种)(或者)-2=287280(种)‎ ‎【解析】本题考查排列组合.(1)由题意得:有=(种)不同排法.(2)所有排列有种,甲、乙、丙的排序有种,所以甲、乙、丙排序一定的排法有(种);(3)按甲的排法分类:共有(+)＝287280(种)排法.‎ ‎ ‎ ‎20．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.‎ ‎(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;‎ ‎(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为随机变量,求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)设事件为“两手所取的球不同色”,则=‎ ‎(2)依题意,的可能取值为.‎ 左手所取的两球颜色相同的概率为 右手所取的两球颜色相同的概率为 ‎   ‎ 所以的分布列为:‎ ‎.‎ ‎【解析】本题考查随机事件的概率,随机变量的分布列与数学期望.(1)由题意得=;(2)求出概率,列出的分布列,求得.‎ ‎ ‎ ‎21．已知数列满足,‎ ‎(1)求，，，；‎ ‎(2)归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；‎ ‎(3)求证能被15整除.‎ ‎【答案】(1)，，，‎ ‎(2)归纳猜想出通项公式,‎ ‎①当时，，成立 ‎②假设时成立，即,‎ 则当时，由 得：‎ 所以时也成立；‎ 综合①②，对等式都成立，从而得证.‎ ‎(3)由(2)知 而 展开:,被15除余数为0，‎ 故被整除 ‎【解析】主要考查数学归纳法与二项式定理的应用. (1)令n为1，2，3，4分别代入递推公式求解; (2)根据(1)的结论猜想，然后利用数学归纳法的解题步骤证明; (3)利用二项式定理可得,可知结果.‎ ‎ ‎ ‎22．已知函数/ (为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为-1.‎ ‎(1)求的值及函数的极值;‎ ‎(2)证明:当时,;‎ ‎(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.‎ ‎【答案】(1)由,得.‎ 又,得.‎ 所以.令,得.‎ 当时,单调递减;当时,单调递增.‎ 所以当时,取得极小值无极大值.‎ ‎(2)令,则.‎ 由(1)得,故在R上单调递增,‎ 又,因此,当时,,即.‎ ‎(3)解法一:①若,则.又由(2)知,当时,.‎ 所以当时,.取,当时,恒有.‎ ‎②若,令,要使不等式成立,只要成立.‎ 而要使成立,则只要,只要成立.‎ 令,则.‎ 所以当时,在内单调递增.‎ 取,所以在内单调递增.‎ 又=.‎ 易.所以.‎ 即存在,当时,恒.‎ 综上,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有.‎ 解法二:对任意给定的正数c,取 由(2)知,当x>0时,,所以 当时,‎ 因此,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有 ‎【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.(1)由,得.所以求导得的极小值无极大值.(2)构造函数,求导可证;(3)分类讨论,求导得:.‎