数学卷·2018届四川省成都市崇庆中学高二下学期开学数学试卷（文科） （解析版） 27页

‎2016-2017学年四川省成都市崇庆中学高二（下）开学数学试卷（文科） ‎ ‎　 ‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） ‎ ‎1．市疾病控制中心今日对我校高二学生进行了某项健康调查，调查的方法是采取分层抽样的方法抽取样本．我校高二学生共有2000人，抽取了一人200人的样本，样本中男生103人，请问我校共有女生（　　） ‎ A．970 B．1030 C．997 D．206‎ ‎2．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（　　） ‎ A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1‎ ‎3．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为2，则a=（　　） ‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎4．点M在矩形ABCD内运动，其中AB=2，BC=1，则动点M到顶点A的距离|AM|≤1的概率为（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的 （　　） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎6．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（　　） ‎ A．相切 B．相离 ‎ C．相交 D．与k的取值有关 ‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（　　） ‎ ‎ ‎ A． B． C．0 D．‎ ‎8．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　） ‎ ‎ ‎ A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8‎ ‎9．若关于x，y的不等式组（k≠0）表示的平面区域形状是直角三角形，则该区域的面积为（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知命题p：向量=（1，2）与向量=（2，k）的夹角为锐角的充要条件是k＞﹣1；命题q：函数f（x）=是偶函数，下列是真命题的是（　　） ‎ A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2‎ ‎，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（　　） ‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎　 ‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在题中横线上） ‎ ‎13．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为　　的学生． ‎ ‎14．如图，在边长为3m的正方形中随机撒3000粒豆子，有800粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为　　m2． ‎ ‎ ‎ ‎15．已知A（0，1），B（﹣，0），C（﹣，2），则△ABC内切圆的圆心到直线y=﹣x+1的距离为　　． ‎ ‎16．若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值为　　． ‎ ‎　 ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，17题10分，其余每小题10分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.） ‎ ‎17．设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+a|＜1}． ‎ ‎（1）若a=3，求A∪B； ‎ ‎（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． ‎ ‎18．某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）．某学校食堂提供的伙食以食物A和食物B为主，1千克食物A含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物B含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元． ‎ ‎（Ⅰ）如果某学生只吃食物A，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由； ‎ ‎（Ⅱ）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物A和食物B各多少千克？并求出最低需要花费的钱数． ‎ ‎19．从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]． ‎ ‎ ‎ ‎（1）求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数； ‎ ‎（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率． ‎ ‎20．2016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）： ‎ 月收入（百元）‎ 赞成人数 ‎[15，25）‎ ‎8‎ ‎[25，35）‎ ‎7‎ ‎[35，45）‎ ‎10‎ ‎[45，55）‎ ‎6‎ ‎[55，65）‎ ‎2‎ ‎[65，75）‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入； ‎ ‎（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成的概率． ‎ ‎ ‎ ‎21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆+=1上的一点，从原点O向圆R（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=12作两条切线，分别交椭圆于P，Q两点． ‎ ‎（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程； ‎ ‎（2）若直线OP，OQ的斜率存在，分别记为k1，k2，求k1k2的值． ‎ ‎ ‎ ‎22．已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=； ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当=λ且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围． ‎ ‎　 ‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年四川省成都市崇庆中学高二（下）开学数学试卷（文科） ‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎　 ‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） ‎ ‎1．市疾病控制中心今日对我校高二学生进行了某项健康调查，调查的方法是采取分层抽样的方法抽取样本．我校高二学生共有2000人，抽取了一人200人的样本，样本中男生103人，请问我校共有女生（　　） ‎ A．970 B．1030 C．997 D．206‎ ‎【考点】分层抽样方法． ‎ ‎【分析】求出样本容量中女生的人数，再计算总体中女生数为多少． ‎ ‎【解答】解：∵样本容量为200，女生为200﹣103=97， ‎ 且分层抽样的抽取比例为=， ‎ ‎∴总体中女生数为97×10=970人． ‎ 故选：A． ‎ ‎【点评】本题考查了分层抽样的定义与应用问题，是基础题目． ‎ ‎　 ‎ ‎2．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（　　） ‎ A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1‎ ‎【考点】命题的否定． ‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． ‎ ‎【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是∃x∈R，cosx≤1， ‎ 故选：D． ‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． ‎ ‎　 ‎ ‎3．已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为2，则a=（　　） ‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质． ‎ ‎【分析】将抛物线方程转化成标准方程，则2p=，由焦点到准线的距离d=p==2，即可求得a的值． ‎ ‎【解答】解：抛物线x2=y（a＞0），焦点在y轴的正半轴，即2p=， ‎ 由焦点到准线的距离d=p==2， ‎ 则a=， ‎ 故选C． ‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查转化思想，属于基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎4．点M在矩形ABCD内运动，其中AB=2，BC=1，则动点M到顶点A的距离|AM|≤1的概率为（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型． ‎ ‎【分析】根据已知条件，求出满足条件的矩形ABCD的面积，以及动点M到顶点A的距离|AM|≤1对应的平面区域面积，代入几何概型计算公式加以计算，可得所求概率． ‎ ‎【解答】解：矩形ABCD的面积为2×1=2． ‎ 动点M到顶点A的距离|AM|≤1的平面区域，是以A为圆心半径等于1的圆，其面积为． ‎ ‎∴动点M到顶点A的距离|AM|≤1的概率P=． ‎ 故选：B． ‎ ‎【点评】本题给出矩形ABCD内的动点M，求|AM|≤1的概率．着重考查了正方形与扇形的面积公式、几何概型计算公式等知识点， ‎ ‎　 ‎ ‎5．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的 （　　） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ ‎【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理即可得出． ‎ ‎【解答】解：，不共线的两个向量，若命题p：＞0，则＞0⇔夹角是锐角， ‎ 因此命题p是命题q成立的充要条件． ‎ 故选：C． ‎ ‎【点评】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ ‎　 ‎ ‎6．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（　　） ‎ A．相切 B．相离 ‎ C．相交 D．与k的取值有关 ‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系． ‎ ‎【分析】求出圆C：x2+y2=2的圆心C（0，0），半径r=，再求出圆心C（0，0）到直线l：x﹣ky﹣1=0的距离，从而得到直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2相交． ‎ ‎【解答】解：圆C：x2+y2=2的圆心C（0，0），半径r=， ‎ 圆心C（0，0）到直线l：x﹣ky﹣1=0的距离d=， ‎ ‎∴直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2相交． ‎ 故选：C． ‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用． ‎ ‎　 ‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（　　） ‎ ‎ ‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【考点】程序框图． ‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． ‎ ‎【解答】解：当i=1时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=2； ‎ 当i=2时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3； ‎ 当i=3时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3； ‎ 当i=4时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=5； ‎ 当i=5时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=6； ‎ 当i=6时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=7； ‎ 当i=7时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=8； ‎ 当i=8时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=9； ‎ 当i=9时，执行完循环体后：S=，不满足继续循环的条件， ‎ 故输出结果为， ‎ 故选：A ‎ ‎【点评】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎8．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　） ‎ ‎ ‎ A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8‎ ‎【考点】茎叶图． ‎ ‎【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可． ‎ ‎【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8； ‎ ‎∴y=8； ‎ 甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15， ‎ ‎∴x=5． ‎ 故选：C． ‎ ‎【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． ‎ ‎　 ‎ ‎9．若关于x，y的不等式组（k≠0）表示的平面区域形状是直角三角形，则该区域的面积为（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划． ‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域是直角三角形，求出k=2，结合三角形的面积公式即可得到结论． ‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， ‎ 直线kx﹣y+1=0，过定点A（0，1）， ‎ ‎∵k≠0， ‎ ‎∴若平面区域形状是直角三角形， ‎ 则必有kx﹣y+1=0与直线y=﹣x垂直时， ‎ 此时， ‎ 此时k=2，即直线方程为2x﹣y+1=0， ‎ 由得，即C（﹣，）， ‎ 此时△AOC的面积S==， ‎ 故选：D． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，以及直线垂直的等价条件，利用数形结合是解决本题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎10．已知命题p：向量=（1，2）与向量=（2，k）的夹角为锐角的充要条件是k＞﹣1；命题q：函数f（x）=是偶函数，下列是真命题的是（　　） ‎ A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． ‎ ‎【分析】‎ 先根据向量的数量判断命题p为假命题，再根据偶函数的定义判断出命题q为真命题，最后根据复合命题的真假判断即可． ‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，2）与向量=（2，k）的夹角为锐角， ‎ ‎∴=2+2k＞0，解得k＞﹣1， ‎ 当k=4时， =，则与共线， ‎ 即向量=（1，2）与向量=（2，k）的夹角为锐角的充要条件是k＞﹣1且k≠4， ‎ ‎∴命题p为假命题， ‎ ‎∵函数f（x）=， ‎ ‎∴f（﹣x）===f（x）， ‎ ‎∴f（x）为偶函数， ‎ ‎∴命题q为真命题， ‎ ‎∴￢p∧q为真命题， ‎ 故选：B． ‎ ‎【点评】本题考查了向量的夹角公式和偶函数的定义，因复合命题的判断，属于中档题． ‎ ‎　 ‎ ‎11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质． ‎ ‎【分析】根据三角形的面积建立方程关系，建立a，b，c的关系进行求解即可得到结论． ‎ ‎【解答】解：设B（0，B），则|A1A2|=2a， ‎ ‎∵三角形A1A2B的面积为b2， ‎ ‎∴S==ab=b2， ‎ 即a=b， ‎ 则离心率e====， ‎ 故选：B． ‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据三角形的面积建立方程关系进行求解是解决本题的关键． ‎ ‎　 ‎ ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（　　） ‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【考点】双曲线的简单性质． ‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值． ‎ ‎【解答】解：∵双曲线， ‎ ‎∴双曲线的渐近线方程是y=±x ‎ 又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣， ‎ 故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以， ‎ ‎∴则， ‎ A，B两点的纵坐标分别是y=±=， ‎ 又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线 ‎ ‎∴，得p=2． ‎ 故选C． ‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错． ‎ ‎　 ‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在题中横线上） ‎ ‎13．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为　37　的学生． ‎ ‎【考点】系统抽样方法． ‎ ‎【分析】由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大（8﹣3）×5，由此能求出结果． ‎ ‎【解答】解：这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号， ‎ 在第三组中抽得号码为12的学生， ‎ 则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5=37． ‎ 故答案为：37． ‎ ‎【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样． ‎ ‎　 ‎ ‎14．如图，在边长为3m的正方形中随机撒3000粒豆子，有800粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为　2.4　m2． ‎ ‎ ‎ ‎【考点】几何概型． ‎ ‎【分析】根据几何槪型的概率几何意义，即可得到关于阴影部分面积的等式解之即可． ‎ ‎【解答】解：正方形的面积S=3×3=9，设阴影部分的面积为S， ‎ ‎∵随机撒3000粒豆子，有800粒落到阴影部分， ‎ ‎∴几何槪型的概率公式进行估计得， ‎ 即S=2.4m2； ‎ 故答案为：2.4． ‎ ‎【点评】本题主要考查几何槪型的概率的几何意义的应用，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础． ‎ ‎　 ‎ ‎15．已知A（0，1），B（﹣，0），C（﹣，2），则△ABC内切圆的圆心到直线y=﹣x+1的距离为　1　． ‎ ‎【考点】点到直线的距离公式． ‎ ‎【分析】由三角形的三个顶点坐标求出内切圆的圆心，再由点到直线的距离公式求得答案． ‎ ‎【解答】解：∵A（0，1），B（﹣，0），C（﹣，2）， ‎ ‎∴AB的中点坐标为（﹣，）， ‎ 又kAB==， ‎ ‎∴AB的垂直平分线的斜率为k=﹣， ‎ 则AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x+）， ‎ 又BC的垂直平分线方程为y=1， ‎ 代入上式得：△ABC外接圆的圆心， ‎ 也是内切圆的圆心I（﹣，1）， ‎ 则I到直线y=﹣x+1的距离为 ‎ d==1． ‎ 故答案为：1． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了三角形内切圆圆心的求法问题，也考查了点到直线距离公式的应用问题，是综合性题目． ‎ ‎　 ‎ ‎16．若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最小值为　﹣　． ‎ ‎【考点】简单线性规划． ‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可． ‎ ‎【解答】解：由z=x﹣2y得y=， ‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： ‎ 平移直线y=， ‎ 由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小， ‎ 由，解得，即A（，） ‎ 代入目标函数z=x﹣2y， ‎ 得z=﹣=﹣﹣3=﹣． ‎ ‎∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣． ‎ 故答案为：﹣． ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． ‎ ‎　 ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，17题10分，其余每小题10分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.） ‎ ‎17．设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+a|＜1}． ‎ ‎（1）若a=3，求A∪B； ‎ ‎（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． ‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；并集及其运算． ‎ ‎【分析】（1）通过解不等式，求出集合A、B，从而求出其并集即可；（2）问题转化为集合B是集合A的真子集，得到关于a的不等式组，解出即可． ‎ ‎【解答】解：（1）解不等式x2+2x﹣3＜0， ‎ 得﹣3＜x＜1，即A=（﹣3，1），… ‎ 当a=3时，由|x+3|＜1， ‎ 解得﹣4＜x＜﹣2，即集合B=（﹣4，﹣2），… ‎ 所以A∪B=（﹣4，1）；… ‎ ‎（2）因为p是q成立的必要不充分条件， ‎ 所以集合B是集合A的真子集… ‎ 又集合A=（﹣3，1），B=（﹣a﹣1，﹣a+1），… ‎ 所以或，… ‎ 解得0≤a≤2， ‎ 即实数a的取值范围是0≤a≤2… ‎ ‎【点评】本题考查了解不等式问题，考查充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题． ‎ ‎　 ‎ ‎18．某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）．某学校食堂提供的伙食以食物A和食物B为主，1千克食物A含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物B含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元． ‎ ‎（Ⅰ）如果某学生只吃食物A，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由； ‎ ‎（Ⅱ）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物A和食物B各多少千克？并求出最低需要花费的钱数． ‎ ‎【考点】简单线性规划的应用． ‎ ‎【分析】（Ⅰ）如果学生只吃食物Axkg，从而得不等式组，是否有解即可； ‎ ‎（Ⅱ）由题意，设学生每天吃食物Axkg，食物Bykg；从而得到目标函数z=20x+15y；线性约束条件 ‎，从而利用线性规划求解即可． ‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如果学生只吃食物Axkg， ‎ 则， ‎ 无解， ‎ 故不符合营养学家的建议； ‎ ‎（Ⅱ）由题意，设学生每天吃食物Axkg，食物Bykg； ‎ 则z=20x+15y； ‎ ‎ ‎ 作平面区域如下， ‎ ‎， ‎ 由解得，x=，y=； ‎ 故z=20×+15×=22； ‎ 答：学生每天吃0.8千克食物A，0.4千克食物B，既能符合营养学家的建议又花费最少． ‎ 最低需要花费22元． ‎ ‎【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于中档题． ‎ ‎　 ‎ ‎19．从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]． ‎ ‎ ‎ ‎（1）求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数； ‎ ‎（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率． ‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． ‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图中频率之和为1，能求出a，估计该校成绩在120分以上人数即可； ‎ ‎（2）根据概率公式计算即可． ‎ ‎【解答】解：（1）由0.025+0.05+0.075+0.1+0.2+0.25+10a=1，得a=0.03成绩在120分以上的人频率为0.3+0.25+0.075=0.625，估计该校成绩在120分以上人数为1200×0.625=750人， ‎ ‎（2）成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内学生人数分别为2人和3人，从中抽出2人的基本事件总数为10种，其中这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10的事件数为4，所求概率为p==． ‎ ‎【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力． ‎ ‎　 ‎ ‎20．2016年5月20日，针对部分“二线城市”房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）： ‎ 月收入（百元）‎ 赞成人数 ‎[15，25）‎ ‎8‎ ‎[25，35）‎ ‎7‎ ‎[35，45）‎ ‎10‎ ‎[45，55）‎ ‎6‎ ‎[55，65）‎ ‎2‎ ‎[65，75）‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的中位数和平均月收入； ‎ ‎（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[65，75）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成的概率． ‎ ‎ ‎ ‎【考点】频率分布直方图． ‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据中位数的两边频率相等，列出方程即可求出中位数； ‎ 利用频率分布直方图中各小矩形的底边中点坐标×对应的频率，再求和，即得平均数； ‎ ‎（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值． ‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设中位数为x，由直方图知： ‎ ‎10×0.015+10×0.015+（x﹣35）×0.025=0.5， ‎ 解得x=43； ‎ 平均数为=（20×0.015+30×0.015+40×0.025+50×0.02+60×0.015+70×0.01）×10=43.5； ‎ ‎∴这60人的平均月收入约为43.5百元；… ‎ ‎（Ⅱ）月收入为（单位：百元）在[65，75）的人数为： ‎ ‎60×10×0.01=6人，… ‎ 由表格赞成人数2人，则不赞成的4人为： ‎ 记不赞成的人为：a，b，c，d；赞成人数为：A，B ‎ 则从这6人中随机地选取2人一共有15种结果如下： ‎ ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB；… ‎ 其中被选取的2人都不赞成的结果有6种结果如下： ‎ ab，ac，ad，bc，bd，cd；… ‎ 记事件A：“被选取的2人都不赞成”， ‎ 则：P（A）===； ‎ 故被选取的2人都不赞成的概率为．… ‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目． ‎ ‎　 ‎ ‎21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆+=1上的一点，从原点O向圆R（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=12作两条切线，分别交椭圆于P，Q两点． ‎ ‎（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程； ‎ ‎（2）若直线OP，OQ的斜率存在，分别记为k1，k2，求k1k2的值． ‎ ‎ ‎ ‎【考点】椭圆的简单性质． ‎ ‎【分析】（1）利用切线的性质可求出|OR|=2，又R在椭圆上．列方程组解出R点坐标； ‎ ‎（2）根据R到OP，OQ的距离为2得出k1，k2为某个一元二次方程的解，根据距离公式得出这个一元二次方程，结合R为椭圆上的点得出k1k2的值． ‎ ‎【解答】解：（1）圆R的半径r=2， ‎ ‎∵OP⊥OQ，∴|OR|=r=2，∴x02+y02=24， ‎ 又点R在椭圆C上，∴， ‎ 联立，解得． ‎ ‎∴圆R的方程为 （x﹣2）2+（y﹣2）2=12． ‎ ‎（2）直线OP方程为：k1x﹣y=0，直线OQ的方程为：k2x﹣y=0． ‎ ‎∵OP，OQ为圆R的切线， ‎ ‎∴=2，． ‎ ‎∴k1，k2为方程的两根， ‎ ‎∴， ‎ ‎∵点R在椭圆C上，∴，即， ‎ ‎∴． ‎ ‎【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，圆的切线的性质，距离公式的应用，属于中档题． ‎ ‎　 ‎ ‎22．已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=； ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当=λ且满足≤λ≤时，求△‎ AOB面积S的取值范围． ‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． ‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的标准方程． ‎ ‎（Ⅱ）由圆O与直线l相切，和m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此能求出△AOB面积S的取值范围． ‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵ +=，∴点M是线段PF2的中点， ‎ ‎∴OM是△PF1F2的中位线， ‎ 又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2 ‎ ‎∴，解得a2=2，b2=1，c2=1， ‎ ‎∴椭圆的标准方程为=1． ‎ ‎（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴，即m2=k2+1， ‎ 由，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ‎ ‎∵直线l与椭圆交于两个不同点， ‎ ‎∴△＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）， ‎ 则x1+x2=﹣，， ‎ y1y2=（kx1+m）（kx2+m） ‎ ‎= ‎ ‎=， ‎ ‎=x1x2+y1y2==λ， ‎ ‎∴，∴，解得：， ‎ S=S△AOB= ‎ ‎= ‎ ‎=， ‎ 设μ=k4+k2，则， ‎ S=，， ‎ ‎∵S关于μ在[]上单调递增， ‎ S（）=，S（2）=． ‎ ‎∴． ‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用。‎