四川省眉山市仁寿县第一中学校北校区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 18页

www.ks5u.com 仁寿一中北校区2019级高一（上）数学期中考试卷 一、选择题 ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据并集的运算,即可求解.‎ ‎【详解】集合,由并集运算可得 故选:A ‎【点睛】本题考查了并集的基本运算,属于基础题.‎ ‎2.下列写法中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空集的定义及集合间关系,即可判断选项.‎ ‎【详解】空集是不含任何元素的集合,所以A选项错误;‎ 并集、包含符号用于集合与集合之间,所以B和C选项错误.‎ 由集合的包含关系可知,D为正确选项.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了空集概念的辨析,元素与集合、集合与集合关系的判断,属于基础题.‎ ‎3.下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C 与 D. 与 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两个函数的定义域与解析式是否一致,即可判断是否是同一函数.‎ ‎【详解】对于A, 定义域为; 定义域为, ,所以定义域和解析式都相同,是相同函数.‎ 对于B, 定义域为R,定义域为,即定义域不同,所以不是相同函数;‎ 对于C, ,,即解析式不同,所以不是相同函数;‎ 对于D, , ,即解析式不同,所以不是相同函数.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了判断函数是否是相同函数的方法,主要从定义域和解析式两个方面入手,属于基础题.‎ ‎4.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数及单调性的定义,结合函数图像即可判断.‎ ‎【详解】对于A选项, 为奇函数,所以错误;‎ 对于B选项, 是偶函数,且在上单调递增,所以B正确;‎ 对于C选项, 是偶函数,但在上单调递减,所以C错误;‎ 对于D选项,不具备奇偶性,所以D错误.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的简单应用,结合函数图像即可判断,属于基础题.‎ ‎5.已知奇函数在上是增函数，若，，‎ ‎，则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意：，‎ 且：，‎ 据此：，‎ 结合函数的单调性有：，‎ 即.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【考点】 指数、对数、函数的单调性 ‎【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.‎ ‎6.已知函数，则（ ）‎ A. 16 B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式,代入自变量即可求解.‎ ‎【详解】函数 所以 ‎ 即 故选:B ‎【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题.‎ ‎7.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式定义域为可排除A、C,根据特殊值可排除B选项,即可得正确选项.‎ ‎【详解】函数 所以由对数函数定义可知,即排除A、C选项;‎ 当时, ,排除B选项 所以D为正确选项 故选:D ‎【点睛】本题考查了函数解析式与函数图像的关系,注意定义域、单调性、特殊值等方法的应用,属于基础题。‎ ‎8.已知集合，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得。‎ 详解】集合 解绝对值不等式可得 ‎ 集合 解分式不等式,可得 则 故选:B ‎【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题。‎ ‎9.已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数对称轴与区间的相对关系即可求出k的取值范围.‎ ‎【详解】因为的对称轴方程为，且在区间上是单调函数，‎ 所以或 解得或，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数单调区间与对称轴的关系，属于中档题.‎ ‎10.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵函数f（x）=是R上的增函数，‎ ‎∴，‎ 解得：a∈[4，8），‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是指数函数，第二段是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.‎ ‎11.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数关于轴对称,结合函数单调性即可求得x的取值范围.‎ ‎【详解】偶函数在区间上单调递增 则在区间上单调递减 偶函数图像关于轴对称 满足 则,即 解不等式可得,即 故选:C ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性的综合应用,函数性质与不等式的综合应用,属于基础题.‎ ‎12.已知函数，则方程的根的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像,根据函数图像的交点个数即可判断方程零点的个数.‎ ‎【详解】方法一:函数 画出函数图像如下图所示:‎ 由图像可知时有4个交点.(图中有3个交点,当时,在右侧还有一个交点,所以交点个数一共有4个.)‎ 故选:D 方法二: ‎ 当时,,满足,解得 ‎ 当时, ,满足,解得 所以方程由4个根 故选:D ‎【点睛】本题考查了方程的根与函数图像的关系,利用图像法分析是常用方法,对于常见函数,也可以求出方程的根,属于基础题.‎ 二.填空题 ‎13.函数的定义域为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．‎ ‎【详解】要使函数有意义，则0 ，‎ ‎∴f（x）的定义域为．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数幂的运算，要求熟练掌握指数函数的性质，属于基础题.‎ ‎14.已知函数，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 发现，计算可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ ‎，且，则.‎ 故答案为：-2‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.‎ ‎15.（且），，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数与指数的转化,用表示出,利用换底公式化简,代入等式后即可求得的值.‎ ‎【详解】（且）‎ 由指数与对数的转化,可得 ‎ 由换底公式化简可得 代入可得 即,则,因为且 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了指数与对数的转化,对数的运算与性质的应用,属于基础题.‎ ‎16.已知函数为R上奇函数，当时，，则的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数在R上的解析式,再解不等式即可求得解集.‎ ‎【详解】因为函数为R上的奇函数,当时,‎ 令,则 则 由奇函数定义可得 ‎,所以 所以 ‎ 当时, 即所以,解不等式可得 当时, 成立 当时, 即,所以,解不等式可得 综上所述,不等式成立的解集为 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了由奇偶性求函数解析式的方法,指数不等式的解法,属于基础题.‎ 三.解答题 ‎17.已知集合或，，‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到，，进而得到结果；（2）∵ ∴，分情况列出表达式即可.‎ 解析：‎ ‎（1） ‎ ‎ ‎ ‎（2）∵ ∴‎ Ⅰ）当时，∴即 Ⅱ）当时，∴ ∴‎ 综上所述：的取值范围是 ‎18.计算：‎ ‎（1）‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数与对数的运算,化简即可.‎ ‎（2）根据对数的运算符法则,化简即可.‎ ‎【详解】（1）根据指数与对数的运算,化简可得 ‎（2）由对数运算,化简可得 ‎【点睛】本题考查了指数与对数的化简运算,注意化简的技巧性,属于基础题.‎ ‎19.（1）已知是一次函数，且，求的解析式.‎ ‎（2）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出一次函数解析式,代入后根据对应位置系数相等,即可求得解析式.‎ ‎（2）根据奇函数性质,即可求得当时的解析式,进而得整个定义域内的解析式.‎ ‎【详解】（1）∵是一次函数 ‎∴设 则 又∵,‎ ‎∴,‎ 即解方程可得或 ‎∴或；‎ ‎（2）令,则 ‎∵当时,‎ ‎∴‎ 根据奇函数定义,则 ‎∴,则 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式的求法,已知函数类型,可以设出函数解析式,利用待定系数法求解析式;根据奇偶性求函数解析式,注意自变量的取值情况,属于基础题.‎ ‎20.已知 ‎(1)求的定义域；‎ ‎(2)判断的奇偶性并予以证；;‎ ‎(3)求使>0成立的x的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解不等式即得函数的定义域；（2）利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性并证明；（3）对a 分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式.‎ ‎【详解】（1）由题得，所以，所以函数的定义域为；‎ ‎（2）函数的定义域为，所以函数的定义域关于原点对称，‎ 所以,‎ 所以函数f(x)为奇函数.‎ ‎(3)由题得，‎ 当a＞1时，所以,因为函数的定义域为，‎ 所以；‎ 当0＜a＜1时，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查函数奇偶性的判断和证明，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎21.已知函数是定义在R上的奇函数.‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）用定义证明函数在R上为单调递增函数.若当时恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义域为R的奇函数满足的结论,代入即可求得实数a的值;‎ ‎（2）利用作差法,可证明在R上为单调递增函数;根据函数为奇函数,且在R上单调递增,可将不等式化为关于的不等式,进而分类讨论即可即可求得实数m的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数.‎ 所以满足,代入可得 ‎,‎ 解得 ‎ ‎（2）证明:当时 在定义域R上任取 则 因为,所以,‎ 则,即 所以在R上为单调递增函数 当时 所以 因为在R上为奇函数,且单调递增 所以,即 化简可得 当时,不等式恒成立 当时, ‎ 由打勾函数的图像与性质可知, ‎ 所以 综上可知,满足不等式恒成立的实数m的取值范围为 ‎【点睛】本题考查了奇函数性质的应用,利用定义证明函数的单调性,根据奇函数及单调性解不等式问题,综合性较强,属于中档题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，的最大值是，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）；（Ⅲ）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求得解析式后，根据解析式可画出图象，利用图象确定所求单调区间；（Ⅱ）通过分离变量的方式整理为：；根据对号函数的单调性可求得的最小值，从而得到，进而解得范围；（Ⅲ）得到解析时候，根据二次函数图象和性质，分别在、、、四种情况下构造关于最值的方程，从而解得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意得：‎ 令，解得：或 可得函数图象如下图所示：‎ 由图象可知，单调递增区间：和 ‎（Ⅱ）对任意的实数，都有成立 得：，即：‎ ‎，‎ 令 则在上单调递减，在上单调递增 ‎ ‎ 即 ‎（Ⅲ）由题意得：‎ 对称轴为： ‎ ‎①当，即时 ‎，解得：（舍）‎ ‎②当，即时 ‎，解得：，符合题意 ‎③当，即时 ‎，解得：‎ ‎④当，即时 ‎，解得：（舍）‎ 综上可知：或 ‎【点睛】本题考查二次函数图象和性质的综合应用问题，涉及到函数图象、单调性求解、恒成立问题的求解、二次函数最值与图象之间的关系，考查学生对于二次函数知识的掌握情况.‎ ‎ ‎