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- 2021-07-01 发布
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广东省中山市2020届高三上学期期末考试数学试题(理)
一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
1.集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得,
∴.选D.
2.已知是虚数单位,复数满足,则( )
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】依题意,
所以.
故选:A.
3.计算的结果为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选:B.
4.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不垂直的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A,AB为体对角线,MN,MQ,NQ分别为棱的中点,由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线,连接另一条面对角线,由线面垂直的判定可得AB垂直于MN,MQ,NQ,可得AB垂直于平面MNQ;
对于B,AB为上底面的对角线,显然AB垂直于MN,与AB相对的下底面的面对角线平行,且与直线NQ垂直,可得AB垂直于平面MNQ;
对于C,AB为前面的面对角线,显然AB垂直于MN,QN在下底面且与棱平行,此棱垂直于AB所在的面,即有AB垂直于QN,可得AB垂直于平面MNQ;
对于D,AB为上底面的对角线,MN平行于前面的一条对角线,此对角线与AB所成角为,
则AB不垂直于平面MNQ.
故选D.
5.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,,,
令,则在上是单调增函数.
又,所以
即.故选D.
6.已知满足不等式组则的最小值为( )
A 2 B. C. D. 1
【答案】D
【解析】不等式组对应的可行域如图所示,
因为所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍,由可行域可知点A(2,0)到直线x+y-1=0的距离最短,故故选D.
7.电路从到上共连接着6个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率为,整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路,则从到连通的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先考虑没有连通的情况,即连个灯泡都断路,则其概率为.
所以连通的概率.
连通,则两个灯泡都没有断路,则其概率为,
所以没有连通的概率为:.
则之间没有连通的概率
所以连通的概率,
所以连通的概率.
故选:B.
8.有名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学不能相邻,则不同的站法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】首先将甲排在中间,乙、丙两位同学不能相邻,则两人必须站在甲的两侧,
选出一人排在左侧,有:种方法,
另外一人排在右侧,有种方法,
余下两人排在余下的两个空,有种方法,
综上可得:不同的站法有种.
本题选择B选项.
9.已知函数的最小正周期是,若,则( )
A. B. C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】由于的最小正周期为,所以,所以.
所以.由得.
所以.
故选:D.
10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形,且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵,,若,当阳马体积最大时,则堑堵的外接球体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意可知平面.设,则.,当且仅当时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形,所以堑堵外接球的直径为,故半径.所以外接球的体积为.
特别说明:由于平面,是以为斜边的直角三角形,所以堑堵外接球的直径为为定值,即无论阳马体积是否取得最大值,堑堵外接球保持不变,所以可以直接由直径的长,计算出外接球的半径,进而求得外接球的体积.
故选:B
11.已知数列是各项均为正数的等比数列,为数列的前项和,若,则的最小值为( )
A. 9 B. 12 C. 16 D. 18
【答案】D
【解析】由得,
所以.
所以.当且仅当时取得最小值.
故选:D.
12.若关于的方程有三个不相等的实数解,,,且,其中,为自然对数的底数,则的值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】由方程,有
设即
所以
令 ,则
所以在上单调递增,在上单调递减,
且,,当时,其大致图像如下.
要使关于的方程有三个不相等的实数解,,,
且.
结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根
且,
则.
所以
故选:D.
二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置, 书写不清,模棱两可均不得分.
13.等差数列的前项和为,若,是方程的两根,则:__________.
【答案】52
【解析】由于,是方程的两根,所以,所以.
故答案为:.
14.已知向量与夹角是,且,则向量与的夹角是_____.
【答案】
【解析】由两边平方并化简得,
即,即.
所以,
由于,所以.
故答案为:.
15.已知,则的值为 .
【答案】
【解析】令,得,令,得,
联立得:,故答案.
16.已知函数,若有,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】∵,
∴函数在R上为增函数,
由题意得,
∴,
∵,
∴.
∴,解得.
∴实数的取值范围是.
三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.设为数列的前项和,已知,.
(1)证明为等比数列;
(2)判断,,是否成等差数列?并说明理由.
(1)证明:∵,,∴,
由题意得,,
∴是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由(1),∴.
∴,
∴,
∴,即,,成等差数列.
18.已知的三个内角,,所对的边分别为,,.
(1)若,求;
(2)若,试判断的形状.
解:(1)∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴或(舍去),
∴,
∴.
(2)∵,
∴,,
∴或,,为锐角.
∴(舍去),
∴,
∴为直角三角形.
19.如图,在三棱台中,二面角是直二面角,,,.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
(1)证明:连接,在等腰梯形中,过作交于点,
因为,所以,,,所以
,所以,即,又二面角是直二面角,
平面,所以平面,
又平面,所以,又因为,,、平面,所以平面.
(2)解:如图,在平面内,过点作,由(1)可知,以为原点,,,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系.
则,,,,
所以,,设是平面的一个法向量,则,所以,
取,则,,
即,
由(1)可知平面,
所以是平面的一个法向量,
所以 ,
又二面角的平面角为锐角,
所以二面角的平面角的余弦值为.
20.已知函数.
(1)若在上单调,求的取值范围.
(2)若的图像恒在轴上方,求的取值范围.
解:(1)由题意得,.
在上单调,即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.
令,则.时,.
当时,,∴在上单调递减,
∴由题意得,或.
∴的取值范围是.
(2)的图像恒在轴上方,也即当时,恒成立.
也即在上恒成立.
令,,
由可得:
1
+
0
-
单调递增
0
单调递减
当时,,单调递减;当时,,单调递增;
∴为极大值.
所以.
∴的取值范围是.
21.某种零件的质量指标值为整数,指标值为8时称为合格品,指标值为7或者9时称为准合格品,指标值为6或10时称为废品,某单位拥有一台制造该零件的机器,为了了解机器性能,随机抽取了该机器制造的100个零件,不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示;
质量指标值
6
7
8
9
10
零件个数
6
18
60
12
4
使用该机器制造的一个零件成本为5元,合格品可以以每个元的价格出售给批发商,准合格品与废品无法岀售.
(1)估计该机器制造零件的质量指标值的平均数;
(2)若该单位接到一张订单,需要该零件2100个,为使此次交易获利达到1400元,估计的最小值;
(3)该单位引进了一台加工设备,每个零件花费2元可以被加工一次,加工结果会等可能出现以下三种情况:①质量指标值增加1,②质量指标值不变,③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次,且该单位计划将所有准合格品逐一加工,在(2)的条件下,估计的最小值(精确到0.01) .
解:(1)设机器制造零件的质量指标值的平均数为;
由题意得:,
∴机器制造零件的质量指标值的平均数为7.9个.
(2)一个零件成本为5元,的价格出售,可得式子:
,
解得:,
∴的最小值为9;
(3)依题意得,准合格品加工后有能合格,用于销售,
设为满足该订单需制作个零件,则有
,
解得,
故要使获利达到1400元,需要
,
解得,
∴的最小值为8.67.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
选修4-4:坐标系与参数方程
22.在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的参数方程;
(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.
解:(1)曲线经过伸缩变换,可得曲线的方程为,
∴其参数方程为为参数);
曲线的极坐标方程为,即,
∴曲线的直角坐标方程为,即,
∴其参数方程为为参数).
(2)设,则到曲线的圆心的距离
,
∵,∴当时,.
∴.
选修4-5:不等式选讲
23.已知,且、、都是正数.
(1)求证:;
(2)求证:.
(1)证明:由已知得,
,
又,,,
∴,∴,
∴.
(2)证明:由已知得,
∴
.