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  • 2021-07-01 发布

【数学】广东省中山市2020届高三上学期期末考试试题(理)(解析版)

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广东省中山市2020届高三上学期期末考试数学试题(理)‎ 一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.‎ ‎1.集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得,‎ ‎∴.选D.‎ ‎2.已知是虚数单位,复数满足,则( )‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎3.计算的结果为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故选:B.‎ ‎4.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不垂直的是  ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于A,AB为体对角线,MN,MQ,NQ分别为棱的中点,由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线,连接另一条面对角线,由线面垂直的判定可得AB垂直于MN,MQ,NQ,可得AB垂直于平面MNQ;‎ 对于B,AB为上底面的对角线,显然AB垂直于MN,与AB相对的下底面的面对角线平行,且与直线NQ垂直,可得AB垂直于平面MNQ;‎ 对于C,AB为前面的面对角线,显然AB垂直于MN,QN在下底面且与棱平行,此棱垂直于AB所在的面,即有AB垂直于QN,可得AB垂直于平面MNQ;‎ 对于D,AB为上底面的对角线,MN平行于前面的一条对角线,此对角线与AB所成角为,‎ 则AB不垂直于平面MNQ.‎ 故选D.‎ ‎5.若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,,,‎ 令,则在上是单调增函数.‎ 又,所以 即.故选D.‎ ‎6.已知满足不等式组则的最小值为( )‎ A 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式组对应的可行域如图所示,‎ 因为所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍,由可行域可知点A(2,0)到直线x+y-1=0的距离最短,故故选D.‎ ‎7.电路从到上共连接着6个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率为,整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路,则从到连通的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】先考虑没有连通的情况,即连个灯泡都断路,则其概率为.‎ 所以连通的概率.‎ 连通,则两个灯泡都没有断路,则其概率为,‎ 所以没有连通的概率为:.‎ 则之间没有连通的概率 所以连通的概率,‎ 所以连通的概率. ‎ 故选:B.‎ ‎8.有名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学不能相邻,则不同的站法有( )‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】B ‎【解析】首先将甲排在中间,乙、丙两位同学不能相邻,则两人必须站在甲的两侧,‎ 选出一人排在左侧,有:种方法,‎ 另外一人排在右侧,有种方法,‎ 余下两人排在余下的两个空,有种方法,‎ 综上可得:不同的站法有种.‎ 本题选择B选项.‎ ‎9.已知函数的最小正周期是,若,则( )‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于的最小正周期为,所以,所以.‎ 所以.由得.‎ 所以.‎ 故选:D.‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形,且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵,,若,当阳马体积最大时,则堑堵的外接球体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可知平面.设,则.,当且仅当时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形,所以堑堵外接球的直径为,故半径.所以外接球的体积为.‎ 特别说明:由于平面,是以为斜边的直角三角形,所以堑堵外接球的直径为为定值,即无论阳马体积是否取得最大值,堑堵外接球保持不变,所以可以直接由直径的长,计算出外接球的半径,进而求得外接球的体积.‎ 故选:B ‎11.已知数列是各项均为正数的等比数列,为数列的前项和,若,则的最小值为( )‎ A. 9 B. 12 C. 16 D. 18‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得,‎ 所以.‎ 所以.当且仅当时取得最小值.‎ 故选:D.‎ ‎12.若关于的方程有三个不相等的实数解,,,且,其中,为自然对数的底数,则的值为( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由方程,有 设即 ‎ 所以 令 ,则 所以在上单调递增,在上单调递减,‎ 且,,当时,其大致图像如下.‎ 要使关于的方程有三个不相等的实数解,,,‎ 且.‎ 结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根 ‎ 且, ‎ 则.‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 故选:D.‎ 二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置, 书写不清,模棱两可均不得分.‎ ‎13.等差数列的前项和为,若,是方程的两根,则:__________.‎ ‎【答案】52‎ ‎【解析】由于,是方程的两根,所以,所以.‎ 故答案为:.‎ ‎14.已知向量与夹角是,且,则向量与的夹角是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由两边平方并化简得,‎ 即,即.‎ 所以,‎ 由于,所以.‎ 故答案为:.‎ ‎15.已知,则的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,得,令,得,‎ 联立得:,故答案.‎ ‎16.已知函数,若有,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,‎ ‎∴函数在R上为增函数,‎ 由题意得,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设为数列的前项和,已知,.‎ ‎(1)证明为等比数列;‎ ‎(2)判断,,是否成等差数列?并说明理由.‎ ‎(1)证明:∵,,∴,‎ 由题意得,,‎ ‎∴是首项为2,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)由(1),∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即,,成等差数列.‎ ‎18.已知的三个内角,,所对的边分别为,,.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)若,试判断的形状.‎ 解:(1)∵,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴或(舍去),‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴,,‎ ‎∴或,,为锐角.‎ ‎∴(舍去),‎ ‎∴,‎ ‎∴为直角三角形.‎ ‎19.如图,在三棱台中,二面角是直二面角,,,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎(1)证明:连接,在等腰梯形中,过作交于点,‎ 因为,所以,,,所以 ‎,所以,即,又二面角是直二面角,‎ 平面,所以平面, ‎ 又平面,所以,又因为,,、平面,所以平面. ‎ ‎(2)解:如图,在平面内,过点作,由(1)可知,以为原点,,,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系.‎ 则,,,, ‎ 所以,,设是平面的一个法向量,则,所以,‎ 取,则,,‎ 即, ‎ 由(1)可知平面,‎ 所以是平面的一个法向量,‎ 所以 ,‎ 又二面角的平面角为锐角,‎ 所以二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若在上单调,求的取值范围.‎ ‎(2)若的图像恒在轴上方,求的取值范围.‎ 解:(1)由题意得,.‎ 在上单调,即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.‎ 令,则.时,.‎ 当时,,∴在上单调递减,‎ ‎∴由题意得,或.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎(2)的图像恒在轴上方,也即当时,恒成立.‎ 也即在上恒成立.‎ 令,,‎ 由可得:‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 ‎0‎ 单调递减 当时,,单调递减;当时,,单调递增;‎ ‎∴为极大值.‎ 所以.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎21.某种零件的质量指标值为整数,指标值为8时称为合格品,指标值为7或者9时称为准合格品,指标值为6或10时称为废品,某单位拥有一台制造该零件的机器,为了了解机器性能,随机抽取了该机器制造的100个零件,不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示;‎ 质量指标值 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 零件个数 ‎6‎ ‎18‎ ‎60‎ ‎12‎ ‎4‎ 使用该机器制造的一个零件成本为5元,合格品可以以每个元的价格出售给批发商,准合格品与废品无法岀售.‎ ‎(1)估计该机器制造零件的质量指标值的平均数;‎ ‎(2)若该单位接到一张订单,需要该零件2100个,为使此次交易获利达到1400元,估计的最小值;‎ ‎(3)该单位引进了一台加工设备,每个零件花费2元可以被加工一次,加工结果会等可能出现以下三种情况:①质量指标值增加1,②质量指标值不变,③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次,且该单位计划将所有准合格品逐一加工,在(2)的条件下,估计的最小值(精确到0.01) .‎ 解:(1)设机器制造零件的质量指标值的平均数为;‎ 由题意得:,‎ ‎∴机器制造零件的质量指标值的平均数为7.9个.‎ ‎(2)一个零件成本为5元,的价格出售,可得式子:‎ ‎,‎ 解得:,‎ ‎∴的最小值为9;‎ ‎(3)依题意得,准合格品加工后有能合格,用于销售,‎ 设为满足该订单需制作个零件,则有 ‎,‎ 解得,‎ 故要使获利达到1400元,需要 ‎,‎ 解得,‎ ‎∴的最小值为8.67.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的参数方程;‎ ‎(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.‎ 解:(1)曲线经过伸缩变换,可得曲线的方程为,‎ ‎∴其参数方程为为参数);‎ 曲线的极坐标方程为,即,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为,即,‎ ‎∴其参数方程为为参数).‎ ‎(2)设,则到曲线的圆心的距离 ‎,‎ ‎∵,∴当时,.‎ ‎∴.‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知,且、、都是正数.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎(1)证明:由已知得,‎ ‎,‎ 又,,,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)证明:由已知得,‎ ‎∴‎ ‎.‎