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- 2021-07-01 发布
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安庆市2019-2020学年度第一学期期末教学质量监测
高二数学(理科)试题
满分:150分 时间:120分
注意事项:
1. 答题前,考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3. 非选择题包括填空题与解答题,请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无效。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.命题“若,则”的逆否命题是
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
2.实数的取值如下表所示,从散点图分析,与有较好的线性相关关系,
则关于的回归直线一定过点
A. B. C. D.
3.将三进制数转化为二进制数,下列选项中正确的是
A. B. C. D.
4.椭圆的焦点坐标为
A. B. C. D.
5.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下扇形统计图:
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入略有增加.
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上.
C.新农村建设后,养殖收入不变.
D.新农村建设后,种植收入在经济收入中所占比重大幅下降.
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问
题:松长七尺,竹长三尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日
而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的分
别为7,3,则输出的等于
A.2 B.3 C.4 D.5
7.圆上总存在两个不同点关于直线对称,则
实数等于
A.-1 B.0 C.1 D.2
8.不等式成立的一个必要不充分条件是
A. B. C. D.
9.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成,阴影部分是两个图形叠加而成.在此图内任取一点,此点取自阴影部分的概率记为,则等于
A. B.C. D.
10.已知双曲线的右焦点为,以为圆心的圆与一条渐近线交于两点,,相交弦长为,则双曲线的离心率等于
A. B. C. D.
11.已知、分别是圆与圆上的两
个动点,点是直线上的任意一点,则的最小值为
A. B. C. D.4
12.已知函数,,对,使得
,则实数的取值范围
A. B. C. D.
二、填空题:共4小题,每小题5分共20分,将答案填写在答题卷的相应区域,答案写在试题卷上无效。
13.掷一颗骰子两次,记第一次出现的点数为,第二次出现的点数为,向量,则向量与共线的概率为_______________.
14.方程表示焦点在轴上的双曲线,则实数的取值范围是
_________________.
15.已知圆,圆,则圆与的公切线有_______________条.
16.命题“,有成立”是假命题,则实数的取值范围是______________________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤,答案写在试题卷上无效。
17. (本题满分10分)
已知实数满足不等式,
实数满足不等式.
(1) 当时,为真命题,求实数的取值范围;
(2) 若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
17. (本题满分12分)
十八届五中全会首次提出了绿色发展理念,将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念。某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念,2015年初至2019年初,该地区绿化面积(单位:平方公里)的数据如下表:
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号x
1
2
3
4
5
绿化面积y
2.8
3.5
4.3
4.7
5.2
(1) 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2) 利用(1)中的回归方程,预测该地区2025年初的绿化面积.
(参考公式:线性回归方程:
,为数据平均数)
18. (本题满分12分)
某高校在2019的自主招生考试中,考生笔试成绩分布在,随机抽取200名考生成绩作为样本研究,按照笔试成绩分成5组,第1组成绩为,第2组成绩为,第3组成绩为,第4组成绩为,第5组成绩为,样本频率分布直方图如下:
(1)估计全体考生成绩的中位数;
(2)为了能选拨出最优秀的学生,该校决定在笔试
成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学
生进入第二轮面试,从这6名学生中随机抽取2
名学生进行外语交流面试,求这2名学生均来自
同一组的概率.
17. (本题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为, 的周长为,离心率等于.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 过点的直线交椭圆于两点,且,求直线的方程.
21.(本题满分12分)
已知圆过点和点,且圆心在直线上.
(1) 求圆的方程;
(2) 动点在直线上,从点引圆的两条切线,切点分别为、
,求四边形面积的最小值.
22.(本题满分12分)
在平面直角坐标系中,抛物线关于轴对称,顶点为坐标原点,且经过点.
(1) 求抛物线的标准方程;
(2)过点的直线交抛物线于两点.是否存在定直线,使得上任意点
与点所成直线的斜率,,成等差数列.若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
安庆市2019-2020学年度第一学期期末教学质量监测
高二数学(理)试题参考答案及评分标准
一、 选择题 (每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
A
C
B
C
C
B
A
D
D
二、填空题 (每小题5分,共20分)
13. 14. 15. 3 16.
1.本题考查逆否命题形式.命题“若,则”的逆否命题是“若,则”,所以选D.
2.本题主要考查两个变量的相关关系,回归直线一定过中心点,
而故选D.
3.考查进位制之间的相互转化。,再通过除2取余法可知,故选B.
4.题考查椭圆的性质,椭圆的标准方程为,
, ,而焦点在轴上,故选A.
5.本题考查统计知识,分析图表信息。从扇形统计图中可以看到,养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同,但建设后总收入为之前的2倍,所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍,选项C错误。故选C.
6.本题主要考查程序框图,
当可得:
,不满足条件,执行循环体,
,不满足条件,执行循环体,
,满足条件,退出循环体,
输出,故选B.
7.本题考查圆的对称性.由条件知圆心在直线上,
从而.选C.
8.本题主要考查条件关系。的充要条件是,由条件知是目标选项的真子集,故选C.
9.本题主要考查几何概型。
由题意,设四分之一圆的半径为,则半圆的半径为,
整个图形面积
阴影部分的面积,
由几何概型知,,故选B.
10.本题主要考查双曲线的几何性质。
点到渐近线的距离,
因为,且,所以,
又,所以,
从而,即,
离心率,故选A.
11.本题主要考查两圆上点的距离最值问题。
圆关于直线对称的曲线
点关于直线的对称点在圆上,
则有,故
当三点共线时,距离和最小。
从而转化成求两点距离的最小值。
而,故选D
12.本题主要考查全称命题与特称命题的综合应用。
,由条件可知
即,从而有,可得.故选D.
13.本题考查古典概型。
由题意,将一枚骰子抛掷两次,共有种结果,又由向量,共线,即,即,满足这种条件的基本事件有:共有3种结果,所以向量与共线的概率为
14.本题主要考查双曲线的标准方程形式.
化成标准方程形式,由
可得,故.
15.本题考查两圆的公切线,本质考查圆与圆的位置关系。
,,
,两圆外切,从而公切线有3条。
16.本题考查特称命题及否定命题。根据条件知道原命题的否定为真命题,
从而有,不等式恒成立,
对,
令,令,
则,
故 ,从而 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分,第17题10分,其它5题每题12分
17.(1)当时, …………1分
,即满足; …………2分
为真命题,都为真命题, …………3分
于是有,即, 故. …………5分
(2)记 …………7分
由是的充分不必要条件知,从而有 ………9分
故 …………10分
18. (本题满分12分)
解:(1)
从而回归方程为; …………6分
(2)到2025年初时,即,解得
故预测2025年初该地区绿化面积约为平方公里。 …………12分
18. (本题满分12分)
(1)样本中位数为,从频率分布直方图可知,
从而有,解得 …………3分
故全体考生成绩的中位数约为. …………4分
(2)记A为事件“这两名学生均来自同一组”
用分层抽样第3组抽取2人,第4组抽取3人,第5组抽取1人,……5分
记第3组学生为,第4组学生为 ,第5组学生为;
从这6人中抽取2人有15种方法,分别为:
…………8分
其中事件A共有4种,为…………10分
由古典概型公式得
故这两名学生均来自同一组的概率为. …………12分
19. (本题满分12分)
(1) 由条件知 可得: …………3分
故椭圆的方程为 …………4分
(2) 显然直线的斜率存在,且斜率不为0,
设直线交椭圆于
由
…………6分
当时,
有, …………7分
又条件可得,,即 …………8分
从而有
…………10分
解得,故 且满足 …………11分
从而直线方程为或 ……12分
18. (本题满分12分)
(1) 线段的中垂线方程为: ………… 2分
由 得圆心 …………4分
圆的半径 …………5分
从而圆的方程为 …………6分
另解:设圆心坐标为,半径为,
则圆的方程为, …………2分
又圆过点和点,
解得 …………5分
圆的方程为 …………6分
(2) 由切线性质知,而
故 …………7分
的最小值即为点到直线的距离,
点到直线的距离
于是 …………10分
从而,
故四边形PMCN的面积的最小值为. …………12分
18. (本题满分12分)
解:(1)由条件设抛物线为,而点在抛物线上,
从而有,故抛物线方程为 …………4分
(2)假设存在直线使得直线上的任意点有成等差数列,
由条件知直线的斜率不等于0,设:交抛物线于,
由 可得:
从而有 …………7分
…………9分
若成等差数列,则
即
化简有 …………11分
从而有,即
故存在定直线,使得上任意点与点所成直线斜率成等差数列
…………12分