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- 2021-07-01 发布
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集合与函数(7)
7、设函数f(x)=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′(x),如果f′(x)为偶函数,则一定有( )
A.
a≠0,c=0
B.
a=0,c≠0
C.
b=0
D.
b=0,c=0
10、设函数f(x)的定义域为R,若存在与x无关的正常数M,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x恒成立,则称f(x)为有界泛函.有下面四个函数:
①f(x)=1; ②f(x)=x2; ③f(x)=2xsinx; ④.其中属于有界泛函的是( )
A.[来源:Zxxk.Com]
①②
B.
③④
C.
①③[来源:学科网ZXXK]
D.
②④[来源:Z§xx§k.Com]
18、 已知,,, ( ).
A. P=M B. Q=R C. R=M D. Q=N
22、已知函数f(x)=a•2|x|+1(a≠0),定义函数给出下列命题:
①F(x)=|f(x)|; ②函数F(x)是奇函数;③当a<0时,若mn<0,m+n>0,总有F(m)+F(n)<0成立,
其中所有正确命题的序号是( )
A.
②
B.
①③
C.
②③
D.
①②
23、已知函数f(x)=x﹣[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数.若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是( )
A.
[来源:学,科,网]
B.
C.
D.
28、对于正整数若且为整数),当最小时,则称为的“最佳分解”,并规定(如12的分解有其中,为12的最佳分解,则)。关于有下列判断:①②;③④。其中,正确判断的序号是 .
29、已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则y=f(x)的值域为________.
30、已知二次函数f(x)=ax2+x有最小值,不等式f(x)<0的解集为A. 设集合B={x||x+4|2a-3恒成立,求a的取值范围。
7、解:函数f(x)=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′(x)=3ax2+2bx+c,∵函数f′(x)=3ax2+2bx+c是定义在R上的偶函数,∴f'(x)=f'(﹣x),即3ax2+2bx+c=3ax2﹣2bx+c,∴2bx=0恒成立,b=0.故选C.
10、解:对于①,显然不存在M都有1≤M|x|成立,故①错;对于②,|f(x)|=|x2|≤M|x|,即|x|≤M,不存在这样的M对一切实数x均成立,故不是有界泛函;②错对于③,f(x)|=|2xsinx|≤M|x|,即|2sinx|≤M,当M≥2时,f(x)=3xsinx是有界泛函..③对对于④,||)|≤M|x|,即≤M,只需,④对综上所述,③④故选B18、D
22、解答:解:由题意得,F(x)=,而|f(x)|=,它和F(x)并不是同一个函数,故①错误;∵函数f(x)=a•2|x|+1是偶函数,当x>0时,﹣x<0,则F(﹣x)=﹣f(﹣x)=﹣f(x)=﹣F(x);当x<0时,﹣x>0,则F(﹣x)=f(﹣x)=f(x)=﹣F(x);故函数F(x)是奇函数,②正确;当a<0时,F(x)在(0,+∞)上是减函数,若mn<0,m+n>0,总有m>﹣n>0,∴F(m)<F(﹣n),即f(m)<﹣F(n),∴F(m)+F(n)<0成立,故③正确.故选C.
23、解答:解:函数f(x)=x﹣[x]的图象如下图所示:
y=kx+k表示恒过A(﹣1,0)点斜率为k的直线若方程f(x)=kx+k有3个相异的实根.则函数f(x)=x﹣[x]与函数f(x)=kx+k的图象有且仅有3个交点由图可得:当y=kx+k过(2,1)点时,k=,当y=kx+k过(3,1)点时,k=,当y=kx+k过(﹣2,﹣1)点时,k=﹣1,当y=kx+k过(﹣3,﹣1)点时,k=﹣,则实数k满足 ≤k<或﹣1<k≤﹣.故选B.28、②④ 29、 {y|1≤y≤} 30、 (0,-2]
31、解:由f(x+1)=f(x﹣1),得f(x+2)=f(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数,又f(x)为偶函数,
所以=f(log35)=f(log35﹣2)=f()=+==,故答案为:.
32、解:到原点的“折线距离”等于1的点的集合{(x,y)||x|+|y|=1},是一个正方形故①正确,②错误;到M(﹣1,0),N(1,0)两点的“折线距离”之和为4的点的集合是{(x,y)||x+1|+|y|+|x﹣1|+|y|=4},故集合是面积为6的六边形,则③正确;到M(﹣1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{(x,y)||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=1}={(x,y)||x+1|﹣|x﹣1|=1},集合是两条平行线,故④正确;故答案为:①③④
34、解:①∵集合A=(m+2,2m﹣1)⊆B=(4,5),∴,解得m∈[2,3];或m+2≥2m﹣1,解得m≤3,综上可知:m≤3,故不正确;②因为零向量与任何向量平行,故不正确;③当n为偶数时,原不等式可化为,∴a,即a<;当n为奇数时,原不等式可化为,即,∴a≥﹣2.综上可知:实数a的取值范围是,因此正确;④当a与b的奇偶性相同时,(a,b)可取(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),(7,5),(8,4),(9,3),(10,2),(11,1)共11个;
.当a与b的奇偶性不相同时,(a,b)可取(1,12),(12,1),(3,4),(4,3).综上可知:集合M={(a,b)|a⊕b=12,a∈N+,b∈N+}中元素的个数是15个,因此正确.故正确的答案为③④.故答案为③④.
35、解答: 解:∵f(2+x)=f(2﹣x),∴f(4+x)=f(2+(2+x))=f(2﹣(2+x))=f(﹣x)又∵f(x)为偶数,即f(﹣x)=f(x)∴f(4+x)=f(x),得函数f(x)的最小正周期为4∴f(2013)=f(503×4+1)=f(1)而f(﹣1)=2﹣1=,可得f(1)=f(﹣1)=因此,a2013=f(2013)=f(1)=故答案为:
38、(1)g(x)的单调递增区间为. (2) g(x)的单调递减区间为.