2018届二轮复习古典概型与几何概型课件（全国通用） 21页

第 四 节　 古典概型与几何概型 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 古典概型 . 2. 随机数与几何概型 . (1) 古典概型 ① 理解古典概型及其概率计算公式 . ② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 . (2) 随机数与几何概型 ① 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 . ② 了解几何概型的意义 . 　　主要考查概率的概念、古典概型、几何概型 . 多以实际问题、数学学科内材料为背景，考查两种概率的计算方法 　　预测高考可能会以实际或数学其他领域的材料为背景，对古典概型和几何概型的计算实施考查 . 考查比较基础，但对逻辑推理能力要求较高，一般以中等难度题目为主 . 从命题趋势来看，试题更加注重理解、分析、逻辑推理及创新性，更加注重学生灵活运用知识解决问题的能力 . 知识点一　古典概型 1. 基本事件的特点 (1) 任何两个基本事件是 _____ 的 . (2) 任何事件 ( 除不可能事件 ) 都可以表示成 _________ 的和 . 互斥 基本事件 2. 古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 . (1) 有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有 _____ 个 . (2) 等可能性：每个基本事件出现的可能性 _____ . 3. 古典概型的概率公式 P ( A ) ＝ _______________________ . 有限 相等 知识点二 几何概型 1. 几何概型的概念 (1) 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量 ( _____ 、 _____ 或 _____ ) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称 _________ . (2) 几何概型中的几何度量可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比、面积之比或长度之比 . 长度 面积 体积 几何概型 2. 几何概型的特点 (1) 无限性：试验中所有可能出现的结果 ( 基本事件 ) 有 _____ 多个； (2) 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等 . 因此，用几何概型求解的概率问题和古曲概型的思路是相同的，同属于 “ 比例解法 ” ，即随机事件 A 的概率可以用 “ 事件 A 包含的基本事件所占的图形面积 ( 或体积、长度 ) ” 与 “ 试验的基本事件所占总面积 ( 或总体积、总长度 ) ” 之比来表示 . 无限 4. 几何概型与古典概型的区别与联系 (1) 共同点：基本事件都是等可能的 . (2) 不同点：几何概型基本事件的个数是无限的，古典概型基本事件的个数是有限的 . 基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，根据等可能性，这些点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关 . 【 名师助学 】 1 . 利用古典概型的公式求解事件的概率问题 ， 应明确是否满足古典概型的两个特点：一是基本事件的有限性 ， 二是基本事件的等可能性 . 2 . 善于用转化思想把求一个复杂事件的概率问题转化为求几个简单事件的概率和问题 . 3 . 解决几何概型的求概率问题 ， 关键是要构造出随机事件对应的几何图形 . 利用图形的几何度量来求随机事件的概率 . 方法 1 古典概型概率 (1) 一定要针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型，古典概型中事件特点是结果有限且等可能性 . (2) 计算古典概型中事件 A 的概率的关键是求出基本事件总数 n 和事件 A 中所含基本事件数 m . (3) 计算基本事件总数常用的方法有枚举法、树形图法、列表法、坐标网格法、用计数原理与排列组合计算法，备考中应认真体会和熟练掌握 . 【 例 1】 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同 . 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖 .( 每次游戏结束后将球放回原箱 ) (1) 求在 1 次游戏中， ① 摸出 3 个白球的概率； ② 获奖的概率； (2) 求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X ). [ 解题指导 ] (1) 关键点：阅读题意，判定概率类型 . (2) 信息分析： ① 要获奖则摸出的白球为 2 个或 3 个两种情况； ② 在两次游戏中获奖次数 X 可为 0 ， 1 ， 2 ，为独立重复试验，求出其各自概率，得 X 的分布列，从而求得其数学期望 E ( X ). [ 点评 ] 　求解概率问题的关键是弄清题中所研究的对象 ， 准确求解出试验与所求事件分别包含的基本事件的个数 ， 这是准确求解古典概型的基础 . 方法 2 几何概型的概率 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围，当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算 . 事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长 ( 曲线长 ) 之比 . 【 例 2】 设有关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ 2 ax ＋ b 2 ＝ 0. (1) 若 a 是从 0 ， 1 ， 2 ， 3 四个数中任取的一个数， b 是从 0 ， 1 ， 2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2) 若 a 是从区间 [0 ， 3] 任取的一个数， b 是从区间 [0 ， 2] 任取的一个数，求上述方程有实根的概率 . [ 点评 ] 　利用几何概型求概率时 ， 要选择好角度 ， 从分析基本事件的 “ 等可能性 ” 入手 ， 将每个基本事件理解为在某个特定区域内随机地取一点 ， 而某个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点 . 方法 2 复杂古典概型问题 在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方法，以摸球为例，设袋内装有 n 个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法 . ① 有放回：每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法属于有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去 . ② 无放回：每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球方法属于无放回的抽样 . 显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次 . 提醒：注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题 . 【 例 3】 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4. (1) 从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2) 先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n ，求 n < m ＋ 2 的概率 . [ 解题指导 ] 本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善 . 如第 (1) 问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于 4 等；第 (2) 问，有次序 .