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  • 2021-07-01 发布

2012高中数学 3章整合课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第3章 ‎ (考试时间90分钟,满分120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设a=(x,2y,3),b=(1,1,6),且a∥b,则x+y等于(  )‎ A.            B. C. D.2‎ 解析: ∵a∥b,∴x=2y=,‎ ‎∴x=,y=.‎ ‎∴x+y=.‎ 答案: B ‎2.若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值是(  )‎ A.-1 B.0‎ C.1 D.-2‎ 解析: a+λb=(0,1,-1)+(λ,λ,0)=(λ,1+λ,-1),‎ 因为(a+λb)·a=(λ,1+λ,-1)·(0,1,-1)‎ ‎=1+λ+1=2+λ=0,‎ 所以λ=-2.‎ 答案: D ‎3.若向量(1,0,z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为,则z等于(  )‎ A.0 B.1‎ C.-1 D.2‎ 解析: 由题知=,‎ =,‎ ‎1=,∴z=0.‎ 答案: A ‎4.若a=e1+e2+e3,b=e1-e2-e3,c=e1-e2,d=3e1+2e2+e3({e1,e2,e3}为空间的一个基底),且d=xa+yb+zc,则x,y,z分别为(  )‎ A.,,-1 B.,,1‎ C.-,,1 D.,-,1‎ 解析: d=xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1-e2-e3)‎ ‎+z(e1-e2).‎ ‎∴∴ 答案: A ‎5.若直线l的方向向量为a=(1,-1,2),平面α的法向量为u=(-2,2,-4),则(  )‎ A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交 解析: ∵u=-‎2a,∴u∥a,‎ ‎∴l⊥α,故选B.‎ 答案: B ‎6.在平行六面休ABCD-A′B′C′D′中,若=x+2y+3z,则x+y+z等于(  )‎ A.1 B. C. D. 解析: 如图,‎ =++ ‎=+-,‎ 所以x=1,2y=1,3z=-1,‎ 所以x=1,y=,z=-,‎ 因此x+y+z=1+-=.‎ 答案: B ‎7.已知正四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1‎ 所成的角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. 解析: 以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2).‎ ‎∴=(0,-1,1),=(0,-1,2).‎ ‎∴cos〈,〉===.故选C.‎ 答案: C ‎8.已知空间四个点A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),‎ D(-1,0,4),则直线AD与平面ABC所成的角为(  )‎ A.60° B.45°‎ C.30° D.90°‎ 解析: 设n=(x,y,1)是平面ABC的一个法向量.‎ ‎∵=(-5,-1,1),=(-4,-2,-1),‎ ‎∴∴ ‎∴n=.‎ 又=(-2,-1,3),设AD与平面ABC所成的角为θ,‎ 则sin θ===,∴θ=30°.故选C.‎ 答案: C ‎9.在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. 解析: ‎ 以点D为原点,DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则=(-1,1,-1),=(-1,1,1).‎ 又可以证明A‎1C⊥平面BC1D,AC1⊥平面A1BD,又cos〈,〉=,结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.故选B.‎ 答案: B ‎10.如右图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E、F分别为棱AA1、BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A‎1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为(  )‎ A. B. C. D. 解析: 因为A1B1∥EF,G在A1B1上,‎ 所以G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离,‎ 即是A1到D1E的距离,D1E=,‎ 由三角形面积可得所求距离为=.故选D.‎ 答案: D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎11.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=________.‎ 解析: 因为a-2b=(8,-5,13),‎ 所以|a-2b|==.‎ 答案:  ‎12.设a=(2,-3,1),b=(-1,-2,5),d=(1,2,-7),c⊥a,c⊥b,且c·d=10,则c=________.‎ 解析: 设c=(x,y,z),‎ 根据题意得 解得 答案:  ‎13.直角△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是________.‎ 解析: ‎ 以C为坐标原点,CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则A(4,0,0),B(0,3,0),P,‎ 所以=(-4,3,0),‎ =,‎ 所以在AB上的投影长为=,‎ 所以P到AB的距离为 d===3.‎ 答案: 3‎ ‎14.平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=2,AA1=2,AD=1,且AB,AD,AA1的夹角都是60°,则·=________.‎ 解析: =++,=++,‎ ·=(++)·(++)‎ ‎=(++)·(-+)‎ ‎=·-||2+·+||2-·+·+·-·+||2‎ ‎=2×1×cos 60°-4+1-2×1×cos 60°+1×2×cos 60°×2+4=3.‎ 答案: 3‎ 三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(本小题满分12分)‎ 如图所示,已知ABCD-A1B‎1C1D1是平行六面体.‎ ‎(1)化简++,并在图上标出结果;‎ ‎(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,‎ 设=α+β+γ,试求α、β、γ的值.‎ 解析: ‎ ‎(1)如图所示,取AA1的中点E,在D‎1C1上取一点F,使得D‎1F=2FC1,则 =++.‎ ‎(2)=+=+ ‎=(+)+(+)‎ ‎=++.‎ ‎∴α=,β=,γ=.‎ ‎16.(本小题满分12分)如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4.求点B到平面PCD的距离.‎ 解析: 如图,以A为原点,AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.‎ 则依题意可知A(0,0,0),B(0,2,0),C(4,2,0),D(4,0,0),‎ P(0,0,2),‎ =(4,0,-2),=(0,-2,0),=(4,0,0),‎ 设面PCD的一个法向量为n=(x,y,1),‎ 则⇒⇒ 所以面PCD的一个单位法向量为=,‎ 所以==,‎ 则点B到平面PCD的距离为.‎ ‎17.(本小题满分12分)如图所示,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E是棱DD1的中点.‎ ‎(1)求直线BE和平面ABB‎1A1所成的角的正弦值;‎ ‎(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B‎1F∥平面A1BE?证明你的结论.‎ 解析: 设正方体的棱长为1,如图所示,‎ 以,,为单位正交基底建立空间直角坐标系.‎ ‎(1)依题意,得B(1,0,0),‎ E,A(0,0,0),D(0,1,0),‎ 所以=,=(0,1,0),‎ 在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,‎ 因为AD⊥平面ABB‎1A1,‎ 所以是平面ABB‎1A1的一个法向量,‎ 设直线BE和平面ABB‎1A1所成的角为θ,‎ 则sin θ===.‎ 即直线BE和平面ABB‎1A1所成的角的正弦值为.‎ ‎(2)依题意,得A1(0,0,1),=(-1,0,1),=(-1,1,),‎ 设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量,‎ 则由n·=0,n·=0,‎ 得,‎ 所以x=z,y=z.‎ 取z=2,得n=(2,1,2).‎ 设F是棱C1D1上的点,‎ 则F(t,1,1)(0≤t≤1).‎ 又B1(1,0,1),所以=(t-1,1,0),‎ 面B‎1F⊄平面A1BE,‎ 于是B‎1F∥平面A1BE⇔·n=0‎ ‎⇔(t-1,1,0)·(2,1,2)=0‎ ‎⇔2(t-1)+1=0‎ ‎⇔t=⇔F为C1D1的中点.‎ 这说明在棱C1D1上存在点F使B‎1F∥平面A1BE.‎ ‎18.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A‎1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.‎ ‎(1)求证:CD=C1D;‎ ‎(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;‎ ‎(3)求点C到平面B1DP的距离.‎ 解析: 如图,以A1为原点,A1B1,A‎1C1,A‎1A所在直线分别为x轴,y轴,z 轴建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1).‎ ‎(1)证明:设C1D=x,∵AC∥PC1,‎ ‎∴==.‎ 由此可得D(0,1,x),P.‎ ‎∴=(1,0,1),=(0,1,x),=.‎ 设平面BA1D的一个法向量为n1=(a,b,c),‎ 令c=-1,得n1=(1,x,-1).‎ ‎∵PB1∥平面BDA1,‎ ‎∴n1·=1×(-1)+x·+(-1)×0=0.‎ 由此可得x=.故CD=C1D.‎ ‎(2)由(1)知,平面BA1D的一个法向量n1=.‎ 又n2=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,‎ ‎∴cos〈n1·n2〉===.‎ 故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.‎ ‎(3)∵=(1,-2,0),=,‎ 设平面B1DP的一个法向量为n3=(a1,b1,c1).‎ 令c1=1,可得n3=.‎ 又=,‎ ‎∴C到平面B1DP的距离d==.‎ ‎ ‎

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