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- 2021-07-01 发布
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甘肃省天水市第一中学2018-2019学年高二上学期第二学段考试数学(理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1.已知数列的前项和为,满足,则的通项公式( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据和项与通项关系求通项公式.
【详解】
当时,,
当时,,
因此,选B.
【点睛】
给出与的递推关系求,常用思路是:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与之间的关系,再求. 应用关系式时,一定要注意分两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.
2.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于( )
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
【答案】B
【解析】
设A(x1,y1)、B(x2,y2)依题意,x1+x2=6,|AB|=6+2=8,选择B
3.给出如下四个命题: ①若“p且q”为假命题,则p、q均为假命题;
②命题“若,则 ”的否命题为“若,则”;
③命题“ ”的否定是“”;
④“ ”是“ ”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复合命题的真假判断①是正误;命题的否命题判断②的正误;通过全称命题的否定是特称命题判断③的正误;利用充要条件判断④的正误.
【详解】
①若“p且q”为假命题,则p、q均为假命题,不满足复合命题真假,因为p、q有一个是假命题,则“p且q”为假命题,
所以①不正确;
②命题“若a>b,则2a>2b﹣1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”,满足否命题的概念.
所以②正确;
③“∀x∈R,x2+1≥1”的否定是“∃x∈R,x2+1≤1”,不满足全称命题的否定是特称命题,因为“∀x∈R,x2+1≥1”的否定是“∃x∈R,x2+1<1”,
所以③不正确;
④“x>0”是“x+”的充分必要条件,“x>0”⇒“x+”,“x>0”⇐“x+”,所以④正确.
正确命题的个数是2.
故选:C.
【点睛】
本题考查命题真假的判断,基本知识的综合应用,常考题型.
4.命题“对”为真命题的一个充分不必要条件可以是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出命题为真命题时的充要条件,然后再结合选项进行选择即可.
【详解】
因为,等价于,恒成立,
设,
则 .
所以命题为真命题的充要条件为,
所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为.
故选C.
【点睛】
解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件,由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件,故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集,考查对充分条件、必要条件概念的理解.
5.已知,是双曲线的左、右焦点,点M在E上,与x轴垂直,,则E的离心率为( )
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义,结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可.
【详解】
∵MF1与x轴垂直,,
∴设MF1=m,则MF2=4m,由双曲线的定义得4m-m=2a,即3m=2a,得m=a,
在直角三角形MF2F1中,16m2-m2=4c2,即15m2=4c2,即15(a)2=4c2,即5a2=3c2,则 ,即e= ,
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求法,属于基础题。
6.己知抛物线方程为(),焦点为,是坐标原点,是抛物线上的一点,与轴正方向的夹角为60°,若的面积为,则的值为( )
A.2 B. C.2或 D.2或
【答案】A
【解析】
试题分析:抛物线的焦点,准线,令A的坐标为(a,b)则
,,因为,所以由得,,解得,所以,因为,,所以
,解得。故选A。
考点:抛物线的性质F
A
O
N
M
点评:关于抛物线的题目,特别是涉及到线段长度的题目,一般都要利用到抛物线的特点:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。
7.若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. (-4,2) D. (-2,4)
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意,利用基本不等式可得的最小值,再由恒成立可得的不等式,解不等式可得的范围.
【详解】
因为正实数满足,
所以,
当且仅当时,即时取得最小值8,
因为恒成立,所以,即,
解得,故选C.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式求最值,涉及恒成立问题和一元二次不等式的解法,属于中档试题,其中利用基本不等式求得最小值,把不等式的恒成立转化为一元二次不等式问题是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
8.已知,为椭圆的左右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若,,则椭圆C的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据面积公式及勾股定理得到点A坐标,再由椭圆的定义即可求得长轴长,进而求得椭圆方程.
【详解】
设椭圆半焦距为c,A(x0,y0)(y0>0),由
得×2c•y0=2,∴y0=,∴x0=y0 =,
又为直角三角形,则|OA|=|F1F2|=c,
在直角中,由勾股定理得()2+()2=c2,解得c=2,
所以A(,1),F1(-2,0),F2(2,0),
所以2a=|AF1|+|AF2|==2,
∴a=,a2=6,∴b2=2,
∴椭圆C的方程为.
故选:D.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求法,注意平面几何知识的简单应用.
9.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作圆的切线,交双曲线右支于点,若,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作OA⊥于点A,于点B,可得,,,结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
如图,作OA⊥于点A,于点B,
∵与圆相切,
∴,,
又点M在双曲线上,
∴
整理,得,
∴
∴双曲线的渐近线方程为
故选:A
【点睛】
本题考查了双曲线渐近线方程的求法,解题关键建立关于a,b的方程,充分利用平面几何性质,属于中档题.
10.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,|PF1|=λ|PF2| ,,则椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设F1(-c,0),F2(c,0),运用椭圆的定义和勾股定理,求得e2=,令m=λ+1,可得λ=m-1,即有=,由λ的范围求得m的范围,进而即可得解。
【详解】
设F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,可设|PF2|=t,可得|PF1|=λt,即有(λ+1)t=2a①
由∠F1PF2=,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,即为(λ2+1)t2=4c2,②
由②÷①2,可得e2=,令m=λ+1,可得λ=m-1,即有
==2()2+,由,可得≤m≤3,即,则m=2时,取得最小值;m=或3时,取得最大值.
即有≤e2≤,解得≤e≤.
故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要考查离心率的范围,同时考查不等式的解法,属于中档题.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
11.已知分别为的三个内角的对边,则____________
【答案】
【解析】
【分析】
将已知等式利用正弦定理化简,再结合余弦定理,即可确定出角A的大小.
【详解】
已知,
由正弦定理得:(a+b)(a-b)=c(c-b),即b2+c2-a2=bc,
由余弦定理得cosA=,
∴A=.
故答案为:.
【点睛】
此题考查了正弦定理和余弦定理的简单应用,熟练掌握定理是解本题的关键.
12.数列满足,.则数列的通项公式=____________.
【答案】
【解析】
【分析】
,可得,利用等差数列的求和公式可得结果.
【详解】
,
可得
,故答案为.
【点睛】
本题主要考查已知数列的递推公式求通项,属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有:(1)等差数列、等比数列(先根据条件判定出数列是等差、等比数列);(2)累加法,相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式;(3)累乘法,相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项;(4)构造法.
13.在中,内角,,的对边分别为,,.若的面积为,且,,则外接圆的面积为____________
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理,三角形面积公式,同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA=1,结合范围A∈(0,π),可得A的值,设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得R,利用圆的面积公式即可求解.
【详解】
由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,可得:2bccosA=b2+c2-a2=b2+c2-1,
又∵S=bcsinA,可得4S=2bcsinA,
由4S=b2+c2-1,可得2bccosA=2bcsinA,可得tanA=1,
∵A∈(0,π),∴A=,
设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得
∵a=1,A=,可得R= ,∴△ABC外接圆的面积S=πR2=.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,同角三角函数基本关系式,正弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想.
14.已知等差数列的前n项和为,,则数列的前2018项和为____________
【答案】
【解析】
【分析】
设等差数列{an}的公差为d,由a4=4,S5=15,可得a1=d=1,可得an,利用裂项相消法求解数列的和即可.
【详解】
设等差数列{an}的公差为d,
a4=4,∴d=1,
a4=a1+3d=4,解得a1=d=1,∴an=1+(n-1)=n.
∴=,
则数列的前2018项和为
故答案为:.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式与求和公式、主要考查分式“裂项相消求和”方法,考查了推理能力与计算能力.
评卷人
得分
三、解答题
15.在中,角的对边分别为 ,且满足.
(1)求角的大小;
(2)已知,的面积为1,求边.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理,转
化求解即可.
【详解】
(1)∵bcosA+asinB=0
∴由正弦定理得:sinBcosA+sinAsinB=0
∵0<B<π,∴sinB≠0,∴cosA+sinA=0
∵,∴tanA=﹣1又0<A<π
∴
(2)∵,S△ABC=1,∴
即:
又
由余弦定理得:
故:
【点睛】
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形底面积的求法,考查计算能力.
16.已知数列满足(,),且,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由已知条件可得,即可得结论;(Ⅱ)由(Ⅰ)求得,利用错位相减法求其前项和.
【详解】
(Ⅰ)证明:∵当时,,
∴.
∴,.
∴数列是以2为首项,公比为2的等比数列.
(Ⅱ)解:
∵, ①
∴,②
①②:,
∴.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念,以及数列的求和,属于高考中常考知识点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于,其中和分别为特殊数列,裂项相消法类似于,错位相减法类似于,其中为等差数列,为等比数列等.
17.已知椭圆()的离心率是,其左、右焦点分别为
,短轴顶点分别为,如图所示, 的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点(异于点),证明:直线和的斜率和为定值.
【答案】(1) .(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)根据题意,列出方程,借助,即可求解的值,即可求解椭圆的标准方程;
(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得到,在根据斜率公式,化简即可得到定值.
试题解析:
(1), , ,又
所以椭圆的标准方程为
(2)证明:设直线的方程为,
联立得
,
=
直线与的斜率之和为定值
点睛:本题考查了椭圆的标准方程的求解和圆锥曲线的定值问题,解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质,以及直线与椭圆的位置关系的应用,此类问题的解答中把直线与圆锥曲线方程联立,转化为根与系数的关系的应用是解答的关键.
18.(2011•浙江)已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y﹣4)2=1的圆心为点M
(1)求点M到抛物线C1的准线的距离;
(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由题意画出简图为:
由于抛物线C1:x2=y准线方程为:y=﹣,圆C2:x2+(y﹣4)2=1的圆心M(0,4),
利用点到直线的距离公式可以得到距离d==.
(2)设点P(x0,x02),A(x1,x12),B(x2,x22);
由题意得:x0≠0,x2≠±1,x1≠x2,
设过点P的圆c2的切线方程为:y﹣x02=k(x﹣x0)即y=kx﹣kx0+x02①
则,即(x02﹣1)k2+2x0(4﹣x02)k+(x02﹣4)2﹣1=0
设PA,PB的斜率为k1,k2(k1≠k2),则k1,k2应该为上述方程的两个根,
∴,;
代入①得:x2﹣kx+kx0﹣x02="0" 则x1,x2应为此方程的两个根,
故x1=k1﹣x0,x2=k2﹣x0
∴kAB=x1+x2=k1+k2﹣2x0=
由于MP⊥AB,∴kAB•KMP=﹣1⇒
故P∴.
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