2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题1 函数与导数2-1-高考小题 3 47页

第 3 课时　 导数的概念及简单应用 考向一　导数的几何意义及其应用 ( 保分题型考点 ) 【题组通关 】 1. 函数 y=xe x 在其极值点处的切线方程为 ________.  2. 曲线 y=e x 在点 (0,1) 处的切线与曲线 y= (x>0) 上点 P 处的切线垂直 , 则 P 的坐标为 ________.  3. 已知点 P 在曲线 y= 上 ,α 为曲线在点 P 处的切线 的倾斜角 , 则 α 的取值范围是 ________.  【解析 】 1. 由题意知 y′=e x +xe x , 令 y′=0, 解得 x=-1, 代入函数解析式可得极值点的坐标为 . 又极值点处的切线为平行于 x 轴的直线 , 故方程为 y= - . 2. 设 P(x 0 ,y 0 )(x 0 >0), 由 y=e x , 得 y′=e x , 所以 y′| x =0 =1. 由 y= , 得 y′=- , 所以 - =-1, 所以 x 0 =1 或 x 0 = -1( 舍去 ), 所以 y 0 = =1, 所以点 P 的坐标为 (1,1). 3. 因为 y= , 所以 y′= 因为 e x >0, 所以 e x + ≥2, 所以 y′∈[-1,0), 所以 tan α∈[-1,0). 又 α∈[0,π), 所以 α∈ . 答案 : 1.y=- 　 2.(1,1) 　 3. 【拓展提升 】 与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1) 已知切点求切线方程 . 解决此类问题的步骤为 : ① 求出函数 y=f(x ) 在点 x=x 0 处的导数 , 即曲线 y=f(x ) 在 点 P(x 0 ,f(x 0 )) 处切线的斜率 ; ② 由点斜式求得切线方程为 y-y 0 =f′(x 0 ) · (x-x 0 ). (2) 已知斜率求切点 : 已知斜率 k, 求切点 (x 1 ,f(x 1 )), 即解方程 f′(x 1 )=k. (3) 求切线倾斜角的取值范围 : 先求导数的取值范围 , 即确定切线斜率的取值范围 , 然后利用正切函数的单调性解决 . (4) 根据切线的性质求倾斜角或参数值 : 已知曲线上一点 P(x 0 ,y 0 ) 的切线与已知直线的关系 ( 平行或垂直 ), 确定该切线的斜率 k, 再求出函数的导函数 , 然后利用导数的几何意义得到 k=f′(x 0 )=tan α, 其中倾斜角 α∈[0,π), 根据范围进一步求得角 α 或有关参数的值 . 【变式训练 】 (1) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0) 处的切线方程为 y=2x, 则 a= ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2) 已知函数 f(x )=ax 3 +x+1 的图象在点 (1,f(1)) 处的切线过点 (2,7), 则 a=________.  【解析 】 (1) 选 D.y ′=a- , 由题意得 y′| x =0 =2, 即 a-1=2, 所以 a=3. (2) 因为 f′(x )=3ax 2 +1, 所以 f′(1)=3a+1. 又 f(1)=a+2, 所以 f(x ) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1). 因为切线过点 (2,7), 所以 7-(a+2)=3a+1, 解得 a=1. 答案 : 1 考向二　导数的运算 ( 保分题型考点 ) 【题组通关 】 1. 已知函数 f(x ) 的导函数 f′(x ), 且满足 f(x )=2xf′(1) +ln x, 则 f′(1)= ( 　　 ) A.-e B.-1 C.1 D.e 2. 已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞), 其中 a 为实数 ,f′(x ) 为 f(x ) 的导函数 . 若 f′(1)=3, 则 a 的值为 ________.  【解析 】 1. 选 B. 因为 f(x )=2xf′(1)+ln x, 所以 f′(x )=[2xf′(1)]′+(ln x)′=2f′(1)+ , 所以 f′(1)=2f′(1)+1, 即 f′(1)=-1. 2. 因为 f′(x )=a =a(1+ln x). 所以 f′(1)=a(1+ln 1)=a, 又 f′(1)=3, 所以 a=3. 答案 : 3 【拓展提升 】 导数运算的原则和方法 (1) 原则 : 先化简解析式 , 再求导 . (2) 方法 : ① 连乘积形式 : 先展开化为多项式的形式 , 再求导 ; ② 分式形式 : 观察函数的结构特征 , 先化为整式函数或较为简单的分式函数 , 再求导 ; ③ 对数形式 : 先化为和、差的形式 , 再求导 ; ④ 根式形式 : 先化为分数指数幂的形式 , 再求导 ; ⑤ 三角形式 : 先利用三角函数公式转化为和或差的形式 , 再求导 ; ⑥ 复合函数 : 由外向内 , 层层求导 . 【变式训练 】 (1) 设函数 f(x ) 在 (0,+∞) 内可导 , 且 f(e x )=x+e x , 则 f′(1)=________.  (2) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 若曲线 y=ax 2 + (a,b 为 常数 ) 过点 P(2,-5), 且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行 , 则 a+b 的值是 ________.  【解析 】 (1) 令 t=e x , 故 x=ln t, 所以 f(t)=ln t+t, 即 f(x)=ln x+x, 所以 f′(x)= +1, 所以 f′(1)=2. (2) 因为曲线 y=ax 2 + 过点 P(2,-5), 所以 4a+ =-5.① 又 y′=2ax- , 且曲线在点 P(2,-5) 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行 , 所以 4a- =- .② 由 ①② 解得 所以 a+b =-3. 答案 : (1)2 　 (2)-3 考向三　定积分与微积分基本定理 ( 保分题型考点 ) 【题组通关 】 1. 若 f(x )=x 2 +2 f(x)dx , 则 f(x)dx = ( 　　 ) A.-1 B.- C. D.1 2. (x-1)dx=________.  3. 设 f(x )= 则 f(x)dx 等于 ( 　　 ) A. B. C. D. 不存在 【解析 】 1. 选 B. 令 f(x)dx =m, 则 f(x )=x 2 +2m, 所以 f(x)dx = (x 2 +2m)dx= = +2m=m, 解得 m=- , 即 f(x)dx =- . 2. (x-1)dx= =0. 答案 : 0 3. 选 C. f(x)dx = x 2 dx+ (2-x)dx 【拓展提升 】 1. 用牛顿 —— 莱布尼茨公式求定积分的步骤 (1) 把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差 . (2) 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分 . (3) 分别用求导公式找到一个相应的原函数 . (4) 利用牛顿 —— 莱布尼茨公式求出各个定积分的值 . (5) 计算原始定积分的值 . 2. 利用定积分求平面图形面积的步骤 (1) 根据题意画出图形 . (2) 借助图形确定出被积函数 , 求出交点坐标 , 确定积分的上、下限 . (3) 把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差 . (4) 计算定积分得出答案 . 【变式训练 】 (1) 定积分 |x 2 -2x|dx= ( 　　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 (2) 直线 y=4x 与曲线 y=x 3 在第一象限内围成的封闭图形 的面积为 ( 　　 ) A.2 B.4 C.2 D.4 (3) 设 a>0, 若曲线 y= 与直线 x=a,y =0 所围成封闭图形 的面积为 a 2 , 则 a=________.  【解析 】 (1) 选 D. |x 2 -2x|dx= (x 2 -2x)dx+ (2x-x 2 )dx= (2) 选 D. 由 得 x=±2 或 x=0, 所以两图象的交点坐标为 (0,0),(2,8),(-2,-8). 所以直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积 S= (4x-x 3 )dx= =4× ×4- ×16=8-4 =4. (3) 由题意得 dx =a 2 . 又 所以 =a 2 , 即 =a 2 , 所以 a= . 答案 : 考向四　导数的简单应用 ( 压轴题型考点 ) 【典例 】 (1) 函数 f(x )=e x -ex,x∈R 的单调递增区间 是 ( 　　 ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) (2) 已知函数 f(x )=x 3 -px 2 -qx 的图象与 x 轴切于 (1,0) 点 , 则 f(x ) 的极大值、极小值分别为 ( 　　 ) A.- ,0 B.0,- C. ,0 D.0, (3) 已知 f(x ) 是奇函数 , 当 x∈(0,2) 时 ,f(x)=ln x- ax , 当 x∈(-2,0) 时 ,f(x ) 的最小值为 1, 则 a 的值 为 ________.  【题型建模 】 (1) 想到导数与单调性的关系求解 . (2) 根据导数与极值的关系求解 . (3) 利用导数与最值的关系求解 . 【解析 】 (1) 选 D. 由题意知 ,f′(x )=e x -e, 令 f′(x )>0, 解得 x>1. (2) 选 C. 由题意知 ,f′(x )=3x 2 -2px-q, 由 f′(1)=0,f(1)=0 得 解得 所以 f(x )=x 3 -2x 2 +x, 由 f′(x )=3x 2 -4x+1=0, 得 x= 或 x=1, 易得当 x= 时 ,f(x ) 取极大值 , 当 x=1 时 ,f(x ) 取极小值 0. (3) 因为 f(x ) 是奇函数 , 所以 f(x ) 在 (0,2) 上的最大值 为 -1, 当 x∈(0,2) 时 ,f′(x )= -a, 令 f′(x )=0, 得 x= , 又 a> , 所以 0< <2. 令 f′(x )>0, 得 x< , 所以 f(x ) 在 上单调递增 ; 令 f′(x )<0, 得 x> , 所以 f(x ) 在 上单调递减 . 所 以当 x∈(0,2) 时 ,f(x) max = =-1, 所以 ln =0, 所以 a=1. 答案 : 1 【拓展提升 】 求函数 f(x ) 极值的方法 求函数的极值应先确定函数的定义域 , 再解方程 f′(x )=0, 再判断 f′(x )=0 的根是否是极值点 , 可通过列表的形式进行分析 , 若遇极值点含参数不能比较大小时 , 则需分类讨论 . 【变式训练 】 (1) 若函数 f(x)=sin x+ax 为 R 上的减函数 , 则实数 a 的取值范围是 ________.  (2) 已知函数 f(x )=x 3 +3x 2 -9x+1, 若 f(x ) 在区间 [k,2] 上的最大值为 28, 则实数 k 的取值范围为 ( 　　 ) A.[-3,+∞) B.(-3,+∞) C.(-∞,-3) D.(-∞,-3] 【解析 】 (1) 因为 f′(x)=cos x+a , 由题意可知 ,f′(x ) ≤0 对任意的 x∈R 都成立 , 所以 a≤-1, 故实数 a 的取值范围是 (-∞,-1]. 答案 : (-∞,-1] (2) 选 D. 由题意知 f′(x )=3x 2 +6x-9, 令 f′(x )=0, 解得 x=1 或 x=-3, 所以 f′(x),f(x ) 随 x 的变化情况如表 : x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) f′(x ) + 0 - 0 + f(x ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又 f(-3)=28,f(1)=-4,f(2)=3,f(x) 在区间 [k,2] 上的最大值为 28, 所以 k≤-3.