江西省宜春市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试卷 13页

数学（理科）试卷 ‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．在△ ABC 中， a = 4, A = 30○ ， B = 60○ ，则b 等于( ) ‎ ‎3‎ A． 6 B． 4‎ ‎ C．‎ ‎ D．9 ‎ ‎3‎ ‎2． x = 2 是 x2 + x - 6 = 0 的 （ ） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件3．抛物线 y = -4x2 的焦点坐标为（ ）‎ A． (0,-1)‎ B． ( 1 ,0)‎ ‎16‎ C． (1,0)‎ D． (0,- 1 )‎ ‎16‎ 4. 设 m、n 是两条不同的直线，a , þ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A．若 m // a , n // þ ，且a // þ ，则m // n B．若a ^ þ , m ^ a ，则 m // þ C．若 m ^ a , n ^ þ ，a ^ þ ，则 m ^ n D．若m // a , n ^ þ ，且a ^ þ ，则 m // n n n 5. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜。‎ 据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”。在某种玩法中，用 a 表示解下 n(n £ 9, n Î N *) 个圆环所需的移动最少次数，数列{a }满足 a = 1，且a ì 2an -1 -1,(n为偶数)‎ = ‎，则解下 5 个环所需的最少移动次数为（ ）‎ ‎1 n í2a + ‎2, (n为奇数)‎ î n -1‎ A． 7 B． 16 C． 31 D． 19‎ n 4. 若 x, y 满足 - ‎2‎ < x < y < n ,则 2x - y 的取值范围是（ ）‎ A． (-2n ,n )‎ B． (-2n , 5 n )‎ ‎2‎ C． (- 3 n ,3n ) 2‎ D． (- 3 n ,n ) 2‎ 5. 已知数列{a }满足：a = ì(3 - a)n - 3, (n £ 6)(n Î N * )，且数列{a }是递增数列，则实数 n n í î a 的取值范围是（ ）‎ ‎‎ an-6, (n > 6) n A．‎ ‎11‎ ‎( ,3)‎ ‎5‎ ‎7‎ B．‎ ‎[ ,3)‎ ‎3‎ C． (1,3) D．‎ ‎(15 ,3)‎ ‎7‎ 4. 如下图所示，在空间四边形 ABCD 中，M、N 分别是 BC、DA 上的点,且 BM：MC=‎ AN：ND=1：2，又 AB=3，CD=6，设 MN 与 AB、CD 所 A 成的角分别为a、þ ，则a、þ 之间的关系为（ ） N D A． a < þ C． a = þ B．a > þ D．不确定 B C M 第 8 题图 5. 在△ABC 中，已知 A:B=1:2，∠C 的平分线 CD 把△ABC 面积分为 4:3 两部分，则 cosA 等 于 （ ）‎ A． 2 B． 3 C． 5 D． 2 或 3‎ ‎3 8 6 3 8‎ 6. 在正项等比数列{a }中，存在两项 a ‎, a (m ¹ n且m, n Î N * ) 使得 ‎‎ = 4a ，且 aman n m n 1‎ a = a + ‎2a ‎1 9‎ + ‎，则 的最小值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎7 6 5 m n A． 8 B． 11 C． 14 D． 10‎ ‎3 4 5 3‎ 4. 如图，四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 平面PAB ^ 平面ABCD, 在 D C ‎△PAB 内有一个动点 M， 记点 M 到平面 PAD 的距离为 d ，若 ‎ ‎ ‎| MC |2 -d 2 = 4 ，则动点 M 在△PAB 内的轨迹是（ ）‎ A B M A． 圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 第 11 题图 P 5. 若直线l : y = x + m 与曲线 C：y = - 1‎ ‎| 4 - x2 | 有且仅有三个交点，则m的取值范围是（ ）‎ ‎2 2‎ ‎2‎ A． (- 2,-1) B． (- -1,-1)‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ C． (- -1,- +1) D． (- -1,-2)‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。‎ ‎13．已知向量 a. = (1,1,0), b = (-1,0,2), c. = (x,-1,2) ，若 a., b, c. 是共面向量，则 x = .‎ x 2 y 2‎ ‎14．已知双曲线 - m n =（1 m > 0, n > 0) 的渐近线方程为 x ± 2 y = 0 ，则此双曲线的离心 率为 ．‎ ‎15．若不等式| x +1| + | x - 3 |³ a + 是 .‎ ‎16．在下列命题中：‎ ‎3‎ a - 2‎ + ‎6 对任意的实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围 （1） 当 x ³ ‎3 时, 2x + ‎2‎ ‎2‎ x -1‎ 的最小值是 6；‎ （2） 命题“若a + b ¹ 5 ，则 a ¹ 2或b ¹ 3 ”的逆命题为假命题；‎ ‎（3）若命题 p： "x ³ 0, x2 + x + 1 ¹ 0 ，则Øp ： $x < 0, x2 + x ‎‎ +1 = 0 ；‎ ‎0 0 0‎ （4） 直线 y = k(x - 3) 与双曲线 x - y ‎4 5‎ = 1 交于A，B 两点，若|AB|=5，则这样的直线有 3 条；‎ ‎（5）‎ ‎4‎ sin 2 x + sin 2 x ³ 4(x Î R) ；其中是真命题有: .‎ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ x2‎ ‎17．（10 分）已知命题 p ：曲线C : m2 + 1 + y2‎ ‎2m + 9‎ = 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，‎ 命题q ：不等式 x2 - (m + 2)x + m + 3 > 0 对于任意 x > 3 恒成立.‎ （1） 若命题 p Ú q 为真命题，求实数m 的取值范围；‎ （2） 若命题(Øp) Ú q 为真， (Øp) Ù q 为假，求实数m 的取值范围.‎ ‎18．（12 分）已知△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，若 （1） 求 cosC 的值；‎ （2） 若c = 5 ，求△ABC 的面积.‎ ‎5b = 4c, B = 2C .‎ F E ‎ ‎ D C ‎19．（12 分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形， AB // CD ， ÐDAB = 600 ，‎ FC ^ 平面ABCD， AE ^ BD ， CB = CD = CF .‎ （1） 求证： BD ^ 平面 AED ；‎ （2） 求二面角 F - BD - C 的正弦值．‎ A B ‎20．（12 分）2018 年 10 月 23 日习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经 5年规划，9 年建设，总长约 55 公里，总投资约 1100 亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响，港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点。某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会，据市场调查：当每张门票售价定为 x 元时，销售量可达到(15 - 0.1x) 万张。现投资方为配合旅游公司 的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分， 其中固定价格为 30 元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查， 每张门票售价定为 100 元时，旅游公司获得的总利润为 340 万元（每张门票的销售利润 ‎=售价—供货价格）.‎ （1） 求出每张门票所获利润 f (x) 关于售价 x 的函数关系式，并写出定义域；‎ （2） 当每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值.‎ ‎21．（12 分）已知数列{a }中， a ‎‎ = 1, a = an ‎(n Î N *) .‎ n ì 1 1 ü ‎1 n +1‎ an + 3‎ （1） 求证： í a + 2 ý 是等比数列，并求出an ；‎ î n þ ‎3n -1 n n （2） 数列{bn }满足bn = ‎2n × nan ，且其前 n 项之和记为Tn ，若不等式(-1)‎ Z < Tn + ‎2n-1‎ 对一切n Î N * 恒成立，求Z 的取值范围.‎ x2 y2 2 2‎ ‎22．（12 分）已知椭圆C : a2 + b2‎ ‎‎ = 1(a > b > 0) 经过点 P(1,‎ ‎) ，且离心率为 .‎ ‎2 2‎ （1） 求椭圆 C 的方程；‎ （2） 设 F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，不经过 F1 的直线l 与椭圆 C 交于 A、B 两个不 同的点，如果直线 AF1, l, BF1 的斜率依次成等差数列，求焦点 F2 到直线l 的距离d 的取值范围.‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D C B A D C A B D A 二、 填空题 13、 ‎—2 14、 15、 16、(1)、（2）、（5）‎ 三、 解答题 17、 解：‎ ‎ 时恒成立………………3分 （1） 依题可知：p为真命题或q为真命题，则 ‎ ………………6分 （2） 依题可知：p、q均为真命题或p、q均为假命题，‎ 则：；‎ 即： ………………10分 18、 解：（1）‎ ‎ ………………5分 ‎（2）‎ ‎ ………8分 则：‎ ‎ ………………12分 19、 ‎（1）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，‎ 所以∠ADC＝∠BCD＝120°.‎ 又CB＝CD，所以∠CDB＝30°.因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD. …………………………3分 又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，‎ 所以BD⊥平面AED. …………………………6分 ‎(2)　由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，‎ 因此CA，CB，CF两两垂直．‎ 以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴， ‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB＝1，‎ ‎ ………………8分 设平面BDF的一个法向量为 则 ………………10分 ‎ ………………12分 17、 解：（1）由售价为元时，销售量为万张 可知: ………………1分 当时，销售量为5万张，则每张门票获利为68元，‎ 故每张门票的供货价格为32元，则此时每张门票的供货价格中的浮动价格为2元，‎ 由浮动价格与销售量成反比可知：浮动价格与销售量的乘积即反比例系数为10。‎ 设每张门票的供货价格为，则；‎ ‎………………6分 ‎（2)‎ ‎ ………………10分 当且仅当时取等号 故当每张门票定价为140元时，每张门票所获利润有最大值100元。………12分 18、 ‎（1）依题可知：‎ 则数列是以为首项，以3为公比的等比数列 ‎………………4分 ‎（2）由（1）可知：‎ 则………………8分 当为偶数时，则，当时最小值为3，则；‎ 当为奇数时，则，当时最小值为2，则 综上： ………………12分 17、 ‎(1)依题可知：‎ 故所求椭圆方程为： ………………4分 ‎（2）由（1）可知：‎ 设直线的方程为：‎ 代入椭圆方程整理得：‎  设；‎ 则 ‎ ………………6分 因为直线不经过，所以 ‚ 由‚得： ………………9分 焦点到直线的距离 令；‎ 故 因为在上单调递减，则 ………………12分