2017年高考数学（理,山东）二轮专题复习（教师用书）：第2部分 必考补充专题 突破点20 不等式与线性规划 11页

突破点20　不等式与线性规划 提炼1‎ 基本不等式的常用变形 ‎(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ ‎(2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ ‎(3)＋≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ ‎(4)a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．‎ ‎(5)a＞0，b＞0，则≥≥≥，当且仅当a＝b时取等号.‎ 提炼2‎ 利用基本不等式求最值 已知a，b∈R，则(1)若a＋b＝S(S为定值)，则ab≤2＝，当且仅当a＝b时，ab取得最大值；(2)若ab＝T(T为定值，且T＞0)，则a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时，a＋b取得最小值2.‎ 提炼3‎ 求目标函数的最优解问题 ‎(1)“斜率型”目标函数z＝(a，b为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解．‎ ‎(2)“两点间距离型”目标函数z＝(a，b为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点之间的距离取最值时的可行解.‎ 提炼4‎ 线性规划中的参数问题的注意点 ‎(1)当最值已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．‎ ‎(2)当目标函数与最值都已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后 变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．‎ 专题限时集训(二十)　不等式与线性规划 ‎ [A组　高考题、模拟题重组练]‎ 一、基本不等式 ‎1．(2016·日照一模)若实数x，y满足xy＞0，则＋的最大值为(　　)‎ A．2－　　 B．2＋ C．4＋2 D．4－2 D　[＋＝＝1＋ ‎＝1＋.‎ 由xy＞0，得＞0，＞0，从而＋≥2，‎ 所以≤＝3－2，‎ 所以＋≤4－2，故选D.]‎ ‎2．(2016·长沙一模)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B．2‎ C．2 D．4‎ C　[依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立，因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2，故选C.]‎ ‎3．(2016·东营一模)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________. ‎ ‎【导学号：67722077】‎ ‎2　[因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.]‎ ‎4．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．‎ ‎8　[在锐角三角形ABC中，∵sin A＝2sin Bsin C，‎ ‎∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C，‎ ‎∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C.‎ ‎∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝.①‎ ‎∵A，B，C均为锐角，‎ ‎∴tan Btan C－1>0，∴tan Btan C>1.‎ 由①得tan Btan C＝.‎ 又由tan Btan C>1得>1，∴tan A>2.‎ ‎∴tan Atan Btan C＝‎ ＝ ‎＝(tan A－2)＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当tan A－2＝，即tan A＝4时取得等号．‎ 故tan Atan Btan C的最小值为8.]‎ 二、线性规划问题 ‎5．(2016·山东高考)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是 ‎(　　)‎ A．4 B．9‎ C．10 D．12‎ C　[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C.]‎ ‎6．(2016·浙江高考)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. B　[根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B.]‎ ‎7．(2016·北京高考)已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(　　)‎ A．－1　　　 B．3 ‎ C．7　　　 D．8‎ C　[作出线段AB，如图所示．‎ 作直线2x－y＝0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时，2x－y取最大值为2×4－1＝7.]‎ ‎8．(2016·全国丙卷)设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．‎ ‎－10　[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]‎ ‎9．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5‎ ‎ kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．‎ ‎216 000　[设生产A产品x件，B产品y件，则 目标函数z＝2 100x＋900y.‎ 作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．‎ 当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]‎ ‎10．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．‎ ‎3　[画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，‎ ‎∴点(x，y)在点A处时最大．‎ 由得 ‎∴A(1,3)．‎ ‎∴的最大值为3.] ‎ ‎[B组　“10＋5”模拟题提速练]‎ 一、选择题 ‎1．(2016·德州一模)不等式|x＋1|－|x－5|＜4的解集为(　　)‎ A．(－∞，4) B．(－∞，－4)‎ C．(4，＋∞) D．(－4，＋∞)‎ A　[当x＜－1时，原不等式可化为－(x＋1)＋(x ‎－5)＜4，即－6＜4，恒成立，∴x＜－1.‎ 当－1≤x＜5时，原不等式可化为(x＋1)＋(x－5)＜4，即2x－4＜4，‎ 解得x＜4，∴－1≤x＜4.‎ 当x≥5时，原不等式可化为(x＋1)－(x－5)＜4，即6＜4不成立，此时不等式无解．‎ 综上知，原不等式的解集为(－∞，4)．]‎ ‎2．(2016·长春一模)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(ex)＞0的解集为(　　)‎ A．{x|x＜－1或x＞－ln 3}‎ B．{x|－1＜x＜－ln 3}‎ C．{x|x＞－ln 3}‎ D．{x|x＜－ln 3}‎ D　[f(x)＞0的解集为，‎ 则由f(ex)＞0得－1＜ex＜，‎ 解得x＜－ln 3，即f(ex)＞0的解集为{x|x＜－ln 3}．]‎ ‎3．(2016·武汉联考)已知g(x)是R上的奇函数，当x＜0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1)∪(2，＋∞)‎ B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ C．(1,2)‎ D．(－2,1)‎ D　[设x＞0，则－x＜0，所以g(－x)＝－ln(1＋x)，因为g(x)是R上的奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，所以f(x)＝易知f(x)是R上的单调递增函数，所以原不等式等价于2－x2＞x，解得－2＜x＜1.故选D.]‎ ‎4．(2016·重庆一模)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)‎ A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 D　[由log4(3a＋4b)＝log2，得3a＋4b＝ab，且a＞0，b＞0，∴a＝‎ eq f(4b,b－3)，由a＞0，得b＞3.‎ ‎∴a＋b＝b＋＝b＋＝(b－3)＋＋7≥2＋7＝4＋7，即a＋b的最小值为7＋4.]‎ ‎5．(2016·烟台二模)已知x，y满足线性约束条件则目标函数z＝的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. A　[由约束条件作出可行域如图，‎ ‎ B(0,4)，P(－1，－2)，‎ 由图可知，过PB的直线的斜率大于0且最大，‎ 即kPB＝＝6，‎ ‎∴目标函数z＝的最小值为＝，故选A.]‎ ‎6．(2016·临沂一模)若x，y满足不等式组则z＝|x－3|＋2y的最小值为(　　)‎ A．4 B. C．6 D．7‎ B　[由题意作出其平面区域如图，‎ 易知A(0,2)，B(5,3)，C(3,5)，D.‎ z＝|x－3|＋2y＝ 当x≥3时，z＝x＋2y－3在点D处取得最小值为，‎ 当x＜3时，z＝－x＋2y＋3＞，‎ 故z＝|x－3|＋2y的最小值为，‎ 故选B.]‎ ‎7．(2016·贵阳模拟)若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．5‎ D　[作出不等式组对应的平面区域如图，‎ 设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小．‎ 由得即C(0,1)，‎ 此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5，故选D.]‎ ‎8．(2016·石家庄模拟)已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m＞0)的最大值为1，则m的值是(　　) 【导学号：67722079】‎ A．－ B．1‎ C．2 D．5‎ B　[作出可行域，如图所示的阴影部分．‎ ‎∵m＞0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由解得即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.]‎ ‎9．(2016·江西师大附中模拟)若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为(　　)‎ A．1或 B.或 C．1或 D.或 D　[可行域由三条直线x＝0，x＋y＝0，kx－y＋1＝0所围成，因为x＝0与x＋y＝0的夹角为，所以x＝0与kx－y＋1＝0的夹角为或x＋y＝0与kx－y＋1＝0的夹角为.当x＝0与kx－y＋1＝0的夹角为时，可知k＝1，此时等腰三角形的直角边长为，面积为；当x＋y＝0与kx－y＋1＝0的夹角为时，k＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为，所以选D.]‎ ‎10．(2016·泰安模拟)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值是(　　)‎ A．0 B. C．2 D. C　[＝＝－3＋≥2－3＝1，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．‎ 此时z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2.‎ ‎∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2，‎ ‎∴当y＝1，x＝2，z＝2时，x＋2y－z取最大值，最大值为2，故选C.]‎ 二、填空题 ‎11．(2016·枣庄一模)若函数f(x)＝|x＋1|＋|x＋a|的最小值为1，则实数a的值为________．‎ ‎0或2　[由|x＋1|＋|x＋a|≥|(x＋1)－(x＋a)|＝|1－a|，‎ 得|1－a|＝1，解得a＝0或a＝2.]‎ ‎12．(2016·青岛模拟)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________. 【导学号：67722080】‎ 　[当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝.所以所求的最小值为.]‎ ‎13．(2016·张掖一模)设不等式组表示的平面区域为M，若直线l：y＝k(x＋2)上存在区域M内的点，则k的取值范围是________．‎ 　[作出不等式组对应的平面区域，如图所示．‎ 直线y＝k(x＋2)过定点D(－2,0)，‎ 由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，‎ 当经过点B时，直线斜率最小，‎ 由解得 即A(1,3)，此时k＝＝＝1，‎ 由解得 即B(1,1)，此时k＝＝，‎ 故k的取值范围是.]‎ ‎14．(2016·廊坊一模)已知正数a，b，c满足b＋c≥a，则＋的最小值为________．‎ －　[因为正数a，b，c满足b＋c≥a，‎ 所以＋≥＋＝＋－＝＋－≥－.‎ 当且仅当＝时取等号．]‎ ‎15．(2016·滨州一模)已知x，y满足时，z＝＋(a≥b＞0)的最大值为2，则a＋b的最小值为________．‎ ‎4＋2　[由约束条件作出可行域如图，‎ 联立解得A(2,6)，‎ 化目标函数z＝＋为y＝－x＋bz，‎ 由图可知，当直线y＝－x＋bz过点A时，‎ 直线在y轴上的截距最大，z有最大值为＋＝2，‎ 即＋＝1.‎ 所以a＋b＝(a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2.‎ 当且仅当即a＝＋1，b＝3＋时取等号．]‎