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- 2021-07-01 发布
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专题四 “用好零点”,确定参数的最值或取值范围
函数方程思想是一种重要的数学思想方法,函数问题可以利用方程求解,方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体,主要考查以下三个方面:(1)零点所在区间——零点存在性定理;(2)二次方程根的分布问题;(3)判断零点的个数问题;(4)根据零点的情况确定参数的值或范围;(5)根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数零点,确定参数的最值或取值范围问题,例题说法,高效训练.
【典型例题】
例1.【山东省淄博市2019届高三3月模拟】已知函数.
(1)若是的极大值点,求的值;
(2)若在上只有一个零点,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1),
因为是的极大值点,所以,解得,
当时,,,
令,解得,
当时,,在上单调递减,又,
所以当时,;当时,,
故是的极大值点;
(2)令,,
在上只有一个零点即在上只有一个零点,
当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以.
(Ⅰ)当,即时,时,在上只有一个零点,即在上只有一个零点.
(Ⅱ)当,即时,取,,
①若,即时,在和上各有一个零点,即在上有2个零点,不符合题意;
②当即时,只有在上有一个零点,即在上只有一个零点,
综上得,当时,在上只有一个零点.
例2.【东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数(为自然对数的底数),.
(1)当时,求函数的极小值;
(2)若当时,关于的方程有且只有一个实数解,求的取值范围.
【答案】(1)0(2)
【解析】
(1)当时,,,
令 则 列表如下:
1
单调递减
极小值
单调递增
所以.
(2)设,
,
设,,
由得, ,,在单调递增,
即在单调递增,,
①当,即时,时,,在单调递增,
又,故当时,关于的方程有且只有一个实数解,符合题意.
②当,即时,由(1)可知,
所以,又
故,当时,,单调递减,又,
故当时,,
在内,关于的方程有一个实数解1.
又时,,单调递增,
且,令,
,,故在单调递增,又
在单调递增,故,故,
又,由零点存在定理可知,,
故在内,关于的方程有一个实数解.
又在内,关于的方程有一个实数解1,不合题意.
综上,.
例3. 已知函数,其中.
(1)设,讨论的单调性;
(2)若函数在内存在零点,求的范围.
【答案】(1)见解析;(2)的取值范围是.
【解析】
(i) 当 时,则 ,因此在 上恒有 ,即 在
上单调递减;
(ii)当时, ,因而在上有,在上有 ;因此 在 上单调递减,在单调递增.
(2)设 ,
,设,
则 .
先证明一个命题:当时, .令, ,故在上是减函数,从而当时, ,故命题成立.
若 ,由 可知, .,故 ,对任意都成立,故 在上无零点,因此.
(ii)当,考察函数 ,由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为,则当时, ,故 在 上为减函数,又 ,
所以当 时, ,从而 在 上单调递减,故在 上恒有
.即 ,注意到 ,因此
,令时,则有,由零点存在定理可知函数 在 上有零点,符合题意.
例4.【广东省广州市天河区2019届高三综合测试(一)】设函数.
若函数在处的切线与直线垂直,求实数a的值;
讨论函数的单调区间与极值;
若函数有两个零点,求满足条件的最小整数a的值.
【答案】(1);(2)见解析;(3)3
【解析】
,.
,
函数在处的切线与直线垂直,
,解得.
,
时,,此时函数在内单调递增,无极值.
时,可得函数在内单调递减,在内单调递增.
可得时,函数取得极小值,.
由可得:时,函数在内单调递增,不可能有两个零点,舍去.
时,可得时,函数取得极小值,
时,;时,.
因此极小值.
即.
令函数,在上单调递增.
,,,可得,
满足条件的最小整数.
【规律与方法】
根据函数零点求参数取值,也是高考经常涉及的重点问题,
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解;
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图象与参数的交点个数;
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.
(4)如果导函数的解析式具有分式特征,且容易判断出分母是正数,此时往往将分子看成一个新的函数,进而对该函数进行研究从而得到相应的结论.
(5)参变分离法、构造函数法、数形结合法等,均应灵活运用.
【提升训练】
1.【四川省高中2019届高三二诊】已知.
求的极值;
若有两个不同解,求实数的取值范围.
【答案】(1)有极小值,为;无极大值;(2)
【解析】
的定义域是,
,
令,解得:,
令,解得:,
故在递减,在递增,
故时,;
记,,则,
故可转化成,即:,
令,,
令,解得:,
令,解得:,
故在递增,在递减,
且时,,时,
故,
由,,的性质有:
,和有两个不同交点,,且,
,各有一解,即有2个不同解,
,和仅有1个交点,且,
有2个不同的解,即有两个不同解,
取其它值时,最多1个解,
综上,的范围是
2.【陕西省咸阳市2019年高考模拟(二)】已知函数.
(1)当,求证;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)证明:当时,,
得,
知在递减,在递增,
,
综上知,当时,.
(2)法1:,,即,
令,则,
知在递增,在递减,注意到,
当时,;当时,,
且,
由函数有个零点,
即直线与函数图像有两个交点,得.
法2:由得,,
当时,,知在上递减,不满足题意;
当时,,知在递减,在递增.
,
的零点个数为,即,
综上,若函数有两个零点,则.
3.【湖南省怀化市2019届高三3月一模】设函数.
(1)若是的极大值点,求的取值范围;
(2)当,时,方程(其中)有唯一实数解,求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由题意,函数的定义域为,则导数为
由,得,∴
①若,由,得.
当时,,此时单调递增;
当时,,此时单调递减.
所以是的极大值点
②若,由,得,或.
因为是的极大值点,所以,解得
综合①②:的取值范围是
(2)因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解
设,则,
令,即.
因为,,所以(舍去),
当时,,在上单调递减,
当时,,在单调递增
当时,,取最小值
则,即,
所以,因为,所以(*)
设函数,
因为当时,是增函数,所以至多有一解
因为,所以方程(*)的解为,即,解得
4.【安徽省马鞍山市2019届高三高考一模】已知函数在上是增函数.
求实数的值;
若函数有三个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
当时,是增函数,且,
故当时,为增函数,即恒成立,
当时,函数的导数恒成立,
当时,,此时相应恒成立,即恒成立,即恒成立,
当时,,此时相应恒成立,即恒成立,即恒成立,
则,即.
若,则在上是增函数,此时最多有一个零点,不可能有三个零点,则不满足条件.
故,
当时,有一个零点,
当时,,故0也是故的一个零点,
故当时,有且只有一个零点,即有且只有一个解,
即,得,,
则,在时有且只有一个根,
即与函数,在时有且只有一个交点,
,
由得,即得,得,此时函数递增,
由得,即得,得,此时函数递减,
即当时,函数取得极小值,此时极小值为
,
,
作出的图象如图,
要使与函数,在时有且只有一个交点,
则或,
即实数的取值范围是.
5.【吉林省长春市普通高中2019届高三监测(二)】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若方程有两个实数根,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由题可得,
当时,,在上单调递增;
当时,,,在上单调递增;
,,在上单调递减.
(2)令,,易知单调递增且一定有大于0的零点,不妨设为,,即,,
故若有有两个零点,需满足,
即 ,
令,,所以在上单调递减.
,所以的解集为,
由,所以.
当时,,
有,
令,
由于,所以,,
故,所以,
故,在上有唯一零点,另一方面,在上,
当时,由增长速度大,所以有,
综上,.
6. 设函数.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根,求实数的取值范围.
【答案】(1) 函数的单调递增区间为;(2) 的取值范围是.
【解析】
(1)函数的定义域为
∵
∵,则使的的取值范围为,
故函数的单调递减区间为
故在区间内恰有两个相异实根
即,解得:
综上所述, 的取值范围是
7. 已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)若函数在区间上是单调函数,试求实数的取值范围;
(2)已知函数,且,若函数在区间上恰有3个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(2).
由,知在区间内恰有一个零点,
设该零点为,则在区间内不单调,
所以在区间内存在零点,
同理, 在区间内存在零点,
所以在区间内恰有两个零点.
由(1)知,当时, 在区间上单调递增,故在区间内至多有一个零点,不合题意.
当时, 在区间上单调递减,
故在内至多有一个零点,不合题意;
所以.
8.已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若在上有零点,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)函数的定义域为,
.
由得或.
当时, 在上恒成立,
所以的单调递减区间是,没有单调递增区间.
当时, 的变化情况如下表:
所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
当时, 的变化情况如下表:
所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
9.已知.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在及唯一正整数,使得,求的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间是,单调递增区间是;(2) 的取值范围是.
【解析】
(2)由(1)知当时, 取得最小值,
又,
所以在上的值域为.
因为存在及唯一正整数,使得,
所以满足的正整数解只有1个.
因为,
所以,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,即,
解得.
所以实数的取值范围是.
10.设函数, ().
(1)当时,若函数与的图象在处有相同的切线,求的值;
(2)当时,若对任意和任意,总存在不相等的正实数,使得
,求的最小值;
(3)当时,设函数与的图象交于 两点.求证: .
【答案】(1)(2)(3)见解析
【解析】
(2)当时,则,又,设,
则题意可转化为方程在上有相异两实根.
即关于的方程在上有相异两实根.
所以,得,
所以对恒成立.
因为,所以(当且仅当时取等号),
又,所以的取值范围是,所以.
故的最小值为.
(3)当时,因为函数与的图象交于两点,
所以,两式相减,得.
要证明,即证,
即证,即证.
令,则,此时即证.
令,所以,所以当时,函数单调递增.
又,所以,即成立;
再令,所以,所以当时,函数单调递减,
又,所以,即也成立.
综上所述, 实数满足.