高中数学必修2同步练习：第二章点、直线、平面之间的位置关系(B) 10页

必修二 第二章点、直线、平面之间的位置关系(B)‎ 一、选择题 ‎1、如图所示，在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)‎ A． B． C． D． ‎2、a∥β，则a平行于β内的(　　)‎ A．一条确定的直线 B．任意一条直线 C．所有直线 D．无数多条直线 ‎3、如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是(　　)‎ ‎4、下列命题正确的是(　　)‎ A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行 B．平行于同一个平面的两条直线平行 C．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行 D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面 ‎5、如果OA∥O‎1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1(　　)‎ A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上均不对 ‎6、正方体ABCD－A1B‎1C1D1中与AD1垂直的平面是(　　)‎ A．平面DD‎1C1C B．平面A1DB1‎ C．平面A1B‎1C1D1 D．平面A1DB ‎7、对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是(　　)‎ A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊂α，n∥α，则m∥n D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n ‎8、给出以下四个命题(　　)‎ ‎①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；‎ ‎②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；‎ ‎③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；‎ ‎④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．4 B．‎3 ‎ C．2 D．1‎ ‎9、设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(　　)‎ A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂β C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β ‎10、给出下列语句：‎ ‎①一个平面长‎3 m，宽‎2 m；‎ ‎②平面内有无数个点，平面可以看成点的集合；‎ ‎③空间图形是由空间的点、线、面所构成的．‎ 其中正确的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎11、如图，ABCD－A1B‎1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　　)‎ A．BD∥平面CB1D1‎ B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1‎ D．异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎12、已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)‎ A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β 二、填空题 ‎13、设α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直线AB与CD交于O，若AO＝8，BO＝9，CD＝34，则CO＝________．‎ ‎14、空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．①若AC＝BD，则四边形EFGH是________；②若AC⊥BD，则四边形EFGH是________．‎ ‎15、在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝a，这时二面角B－AD－C的大小为________．‎ ‎16、如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD．‎ 三、解答题 ‎17、如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．‎ ‎(1)求证：OD∥平面PAB；‎ ‎(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎18、如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且满足＝‎ eq f(AH,HD)＝，＝＝2．‎ ‎(1)求证：四边形EFGH是梯形；‎ ‎(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位线的长．‎ ‎19、某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．‎ ‎(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；‎ ‎(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；‎ ‎②证明：面PBD⊥面AGC．‎ ‎20、如图所示，在四面体ABCD中，若棱CD＝，其余各棱长都为1，试问：在这个四面体中，是否存在两个面互相垂直？证明你的结论．‎ ‎21、如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．‎ ‎(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．‎ ‎22、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1．‎ ‎(1)求证：AF∥平面BDE；‎ ‎(2)求证：CF⊥平面BDE．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D　[如图所示，在平面A1B‎1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E．连接BE． ‎ ⇒C1E⊥平面BDD1B1．‎ ‎∴∠C1BE的正弦值就是所求值．‎ ‎∵BC1＝＝，C1E＝＝．‎ ‎∴sin∠C1BE＝＝＝．]‎ ‎2、D　[直线a平行于过a且与α相交的平面的交线，在平面α内与交线平行的直线有无数条．]‎ ‎3、C　[‎ 易知A、B中的直线是平行的，故一定共面，D选项的四个点恰好在一个六边形的截面上(如图所示)．]‎ ‎4、C　[可以以正方体为载体作出判断．]‎ ‎5、C ‎6、B　[因为AD1⊥A1D，且AD1⊥A1B1．]‎ ‎7、C　[关键在于“共面的直线m、n”，且直线m，n没有公共点，故一定平行．]‎ ‎8、B　[①②④正确．]‎ ‎9、C　[当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故A不对，当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故B不对，若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此C正确，若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l⊂β，故D不对．]‎ ‎10、B ‎11、D　[对于选项D，∵BC∥AD，∴∠B1CB即为AD与CB1所成角，此角为45°，故D错．]‎ ‎12、D　[∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．‎ ‎∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．‎ ‎∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．从而B一定正确．‎ ‎∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α．‎ ‎∴AB⊄β，l⊂β．∴AB∥β．故C也正确．‎ ‎∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，‎ 当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．]‎ 二、填空题 ‎13、16或272‎ 解析　当AB与CD的交点O在两平面之间时CO＝16；当AB与CD的交点O在两平面之外时，CO＝272．‎ ‎14、菱形　矩形 ‎15、60°‎ 解析　如图所示可知，∠CDB为二面角B－AD－C的平面角，由CD＝BD＝BC＝a，可知∠CDB＝60°．‎ ‎16、E是SA的中点 解析　连接AC交BD于O，‎ 则O为AC中点，‎ ‎∴EO∥SC EO⊂面EBD，SC⊄面EBD，‎ ‎∴SC∥面EBD．‎ 三、解答题 ‎17、(1)证明　如图，∵O、D分别为AC、PC的中点，‎ ‎∴OD∥PA．‎ 又PA⊂平面PAB，OD⊄平面PAB，‎ ‎∴OD∥平面PAB．‎ ‎(2)解　∵AB⊥BC，OA＝OC，‎ ‎∴OA＝OB＝OC．‎ 又∵OP⊥平面ABC，‎ ‎∴PA＝PB＝PC．‎ 取BC的中点E，连接PE，OE，‎ 则BC⊥平面POE，‎ 作OF⊥PE于F，‎ 连接DF，则OF⊥平面PBC，‎ ‎∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．‎ 设AB＝BC＝a，‎ 则PA＝PB＝PC＝‎2a，OA＝OB＝OC＝a，‎ PO＝a．‎ 在△PBC中，∵PE⊥BC，PB＝PC，‎ ‎∴PE＝a．∴OF＝a．‎ 又∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD＝＝a．‎ 在Rt△ODF中，sin∠ODF＝＝．‎ ‎∴OD与平面PBC所成角的正弦值为．‎ ‎18、(1)证明　因为＝＝，‎ 所以EH∥BD，且EH＝BD．‎ 因为＝＝2，‎ 所以FG∥BD，且FG＝BD．‎ 因而EH∥FG，且EH＝FG，‎ 故四边形EFGH是梯形．‎ ‎(2)解　因为BD＝a，所以EH＝a，FG＝a，所以梯形EFGH的中位线的长为(EH＋FG)＝a．‎ ‎19、(1)解　该几何体的直观图如图所示 ‎(2)①证明　连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD．‎ 又OG⊂面AGC，PD⊄面AGC，所以PD∥面AGC．‎ ‎②证明　连接PO，由三视图，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO．‎ 又AO⊥BO，所以AO⊥面PBD．‎ 因为AO⊂面AGC，‎ 所以面PBD⊥面AGC．‎ ‎20、解　存在两个互相垂直的平面，‎ 即平面ACD⊥平面BCD．‎ 过A作AE⊥CD，∵AD＝AC＝1，DC＝，‎ ‎∴∠DAC＝90°，‎ ‎∴AE＝，连接BE，‎ ‎∵BD＝BC＝1，CD＝，BE⊥DC，BE＝，‎ ‎∴∠AEB是二面角A—CD—B的平面角．‎ ‎∵AB＝1，∴AB2＝AE2＋BE2，‎ ‎∴∠AEB＝90°，‎ ‎∴平面ACD⊥平面BCD．‎ ‎21、(1)解　∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，‎ 且平面ABCD∩平面PBO＝BO，‎ ‎∴BO∥CD．‎ 又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．‎ 则BC＝DO，而AD＝3BC，‎ ‎∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．‎ ‎(2)证明　∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，‎ 且AB⊥AD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD．‎ 又PA⊥PD，且AB∩PA＝A，‎ ‎∴PD⊥平面PAB．‎ 又PD⊂平面PCD，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PCD．‎ ‎22、‎ 证明　(1)如图设AC与BD交于点G．‎ 因为EF∥AG，且EF＝1，‎ AG＝AC＝1，‎ 所以四边形AGEF为平行四边形．‎ 所以AF∥EG．‎ 因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，‎ 所以AF∥平面BDE．‎ ‎(2)连接FG，‎ ‎∵EF∥CG，EF＝CG＝1，‎ ‎∴四边形CEFG为平行四边形，‎ 又∵CE＝EF＝1，∴▱CEFG为菱形，‎ ‎∴EG⊥CF．‎ 在正方形ABCD中，AC⊥BD．‎ ‎∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，‎ ‎∴BD⊥平面CEFG．∴BD⊥CF．‎ 又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE．‎