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  • 2021-07-01 发布

高中数学必修2同步练习:第二章点、直线、平面之间的位置关系(B)

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必修二 第二章点、直线、平面之间的位置关系(B)‎ 一、选择题 ‎1、如图所示,在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(  )‎ A. B. C. D. ‎2、a∥β,则a平行于β内的(  )‎ A.一条确定的直线 B.任意一条直线 C.所有直线 D.无数多条直线 ‎3、如图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是(  )‎ ‎4、下列命题正确的是(  )‎ A.一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内的任意一条直线平行 B.平行于同一个平面的两条直线平行 C.平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线也与此平面平行 D.与两个相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个平面 ‎5、如果OA∥O‎1A1,OB∥O1B1,那么∠AOB与∠A1O1B1(  )‎ A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.以上均不对 ‎6、正方体ABCD-A1B‎1C1D1中与AD1垂直的平面是(  )‎ A.平面DD‎1C1C B.平面A1DB1‎ C.平面A1B‎1C1D1 D.平面A1DB ‎7、对于平面α和共面的直线m、n,下列命题中真命题是(  )‎ A.若m⊥α,m⊥n,则n∥α B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m⊂α,n∥α,则m∥n D.若m、n与α所成的角相等,则m∥n ‎8、给出以下四个命题(  )‎ ‎①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;‎ ‎②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;‎ ‎③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;‎ ‎④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.‎ 其中真命题的个数是(  )‎ A.4 B.‎3 ‎ C.2 D.1‎ ‎9、设α、β是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是(  )‎ A.若l⊥α,α⊥β,则l⊂β B.若l∥α,α∥β,则l⊂β C.若l⊥α,α∥β,则l⊥β D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β ‎10、给出下列语句:‎ ‎①一个平面长‎3 m,宽‎2 m;‎ ‎②平面内有无数个点,平面可以看成点的集合;‎ ‎③空间图形是由空间的点、线、面所构成的.‎ 其中正确的个数是(  )‎ A.1 B.‎2 ‎ C.3 D.4‎ ‎11、如图,ABCD-A1B‎1C1D1为正方体,下面结论错误的是(  )‎ A.BD∥平面CB1D1‎ B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1‎ D.异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎12、已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(  )‎ A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 二、填空题 ‎13、设α∥β,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,直线AB与CD交于O,若AO=8,BO=9,CD=34,则CO=________.‎ ‎14、空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.①若AC=BD,则四边形EFGH是________;②若AC⊥BD,则四边形EFGH是________.‎ ‎15、在边长为a的等边三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=a,这时二面角B-AD-C的大小为________.‎ ‎16、如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA上一点,当点E满足条件:________时,SC∥平面EBD.‎ 三、解答题 ‎17、如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.‎ ‎(1)求证:OD∥平面PAB;‎ ‎(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎18、如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,且满足=‎ eq f(AH,HD)=,==2.‎ ‎(1)求证:四边形EFGH是梯形;‎ ‎(2)若BD=a,求梯形EFGH的中位线的长.‎ ‎19、某几何体的三视图如图所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.‎ ‎(1)根据三视图,画出该几何体的直观图;‎ ‎(2)在直观图中,①证明:PD∥面AGC;‎ ‎②证明:面PBD⊥面AGC.‎ ‎20、如图所示,在四面体ABCD中,若棱CD=,其余各棱长都为1,试问:在这个四面体中,是否存在两个面互相垂直?证明你的结论.‎ ‎21、如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一点.‎ ‎(1)若CD∥平面PBO,试指出点O的位置;‎ ‎(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎22、如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.‎ ‎(1)求证:AF∥平面BDE;‎ ‎(2)求证:CF⊥平面BDE.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D [如图所示,在平面A1B‎1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E.连接BE. ‎ ⇒C1E⊥平面BDD1B1.‎ ‎∴∠C1BE的正弦值就是所求值.‎ ‎∵BC1==,C1E==.‎ ‎∴sin∠C1BE===.]‎ ‎2、D [直线a平行于过a且与α相交的平面的交线,在平面α内与交线平行的直线有无数条.]‎ ‎3、C [‎ 易知A、B中的直线是平行的,故一定共面,D选项的四个点恰好在一个六边形的截面上(如图所示).]‎ ‎4、C [可以以正方体为载体作出判断.]‎ ‎5、C ‎6、B [因为AD1⊥A1D,且AD1⊥A1B1.]‎ ‎7、C [关键在于“共面的直线m、n”,且直线m,n没有公共点,故一定平行.]‎ ‎8、B [①②④正确.]‎ ‎9、C [当l⊥α,α⊥β时不一定有l⊂β,还有可能l∥β,故A不对,当l∥α,α∥β时,l⊂β或l∥β,故B不对,若α∥β,α内必有两条相交直线m,n与平面β内的两条相交直线m′,n′平行,又l⊥α,则l⊥m,l⊥n,即l⊥m′,l⊥n′,故l⊥β,因此C正确,若l∥α,α⊥β,则l与β相交或l∥β或l⊂β,故D不对.]‎ ‎10、B ‎11、D [对于选项D,∵BC∥AD,∴∠B1CB即为AD与CB1所成角,此角为45°,故D错.]‎ ‎12、D [∵m∥α,m∥β,α∩β=l,∴m∥l.‎ ‎∵AB∥l,∴AB∥m.故A一定正确.‎ ‎∵AC⊥l,m∥l,∴AC⊥m.从而B一定正确.‎ ‎∵A∈α,AB∥l,l⊂α,∴B∈α.‎ ‎∴AB⊄β,l⊂β.∴AB∥β.故C也正确.‎ ‎∵AC⊥l,当点C在平面α内时,AC⊥β成立,‎ 当点C不在平面α内时,AC⊥β不成立.故D不一定成立.]‎ 二、填空题 ‎13、16或272‎ 解析 当AB与CD的交点O在两平面之间时CO=16;当AB与CD的交点O在两平面之外时,CO=272.‎ ‎14、菱形 矩形 ‎15、60°‎ 解析 如图所示可知,∠CDB为二面角B-AD-C的平面角,由CD=BD=BC=a,可知∠CDB=60°.‎ ‎16、E是SA的中点 解析 连接AC交BD于O,‎ 则O为AC中点,‎ ‎∴EO∥SC EO⊂面EBD,SC⊄面EBD,‎ ‎∴SC∥面EBD.‎ 三、解答题 ‎17、(1)证明 如图,∵O、D分别为AC、PC的中点,‎ ‎∴OD∥PA.‎ 又PA⊂平面PAB,OD⊄平面PAB,‎ ‎∴OD∥平面PAB.‎ ‎(2)解 ∵AB⊥BC,OA=OC,‎ ‎∴OA=OB=OC.‎ 又∵OP⊥平面ABC,‎ ‎∴PA=PB=PC.‎ 取BC的中点E,连接PE,OE,‎ 则BC⊥平面POE,‎ 作OF⊥PE于F,‎ 连接DF,则OF⊥平面PBC,‎ ‎∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.‎ 设AB=BC=a,‎ 则PA=PB=PC=‎2a,OA=OB=OC=a,‎ PO=a.‎ 在△PBC中,∵PE⊥BC,PB=PC,‎ ‎∴PE=a.∴OF=a.‎ 又∵O、D分别为AC、PC的中点,∴OD==a.‎ 在Rt△ODF中,sin∠ODF==.‎ ‎∴OD与平面PBC所成角的正弦值为.‎ ‎18、(1)证明 因为==,‎ 所以EH∥BD,且EH=BD.‎ 因为==2,‎ 所以FG∥BD,且FG=BD.‎ 因而EH∥FG,且EH=FG,‎ 故四边形EFGH是梯形.‎ ‎(2)解 因为BD=a,所以EH=a,FG=a,所以梯形EFGH的中位线的长为(EH+FG)=a.‎ ‎19、(1)解 该几何体的直观图如图所示 ‎(2)①证明 连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G为PB的中点,O为BD的中点,所以OG∥PD.‎ 又OG⊂面AGC,PD⊄面AGC,所以PD∥面AGC.‎ ‎②证明 连接PO,由三视图,PO⊥面ABCD,所以AO⊥PO.‎ 又AO⊥BO,所以AO⊥面PBD.‎ 因为AO⊂面AGC,‎ 所以面PBD⊥面AGC.‎ ‎20、解 存在两个互相垂直的平面,‎ 即平面ACD⊥平面BCD.‎ 过A作AE⊥CD,∵AD=AC=1,DC=,‎ ‎∴∠DAC=90°,‎ ‎∴AE=,连接BE,‎ ‎∵BD=BC=1,CD=,BE⊥DC,BE=,‎ ‎∴∠AEB是二面角A—CD—B的平面角.‎ ‎∵AB=1,∴AB2=AE2+BE2,‎ ‎∴∠AEB=90°,‎ ‎∴平面ACD⊥平面BCD.‎ ‎21、(1)解 ∵CD∥平面PBO,CD⊂平面ABCD,‎ 且平面ABCD∩平面PBO=BO,‎ ‎∴BO∥CD.‎ 又BC∥AD,∴四边形BCDO为平行四边形.‎ 则BC=DO,而AD=3BC,‎ ‎∴AD=3OD,即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点.‎ ‎(2)证明 ∵侧面PAD⊥底面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,AB⊂底面ABCD,‎ 且AB⊥AD,‎ ‎∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,‎ ‎∴AB⊥PD.‎ 又PA⊥PD,且AB∩PA=A,‎ ‎∴PD⊥平面PAB.‎ 又PD⊂平面PCD,‎ ‎∴平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎22、‎ 证明 (1)如图设AC与BD交于点G.‎ 因为EF∥AG,且EF=1,‎ AG=AC=1,‎ 所以四边形AGEF为平行四边形.‎ 所以AF∥EG.‎ 因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,‎ 所以AF∥平面BDE.‎ ‎(2)连接FG,‎ ‎∵EF∥CG,EF=CG=1,‎ ‎∴四边形CEFG为平行四边形,‎ 又∵CE=EF=1,∴▱CEFG为菱形,‎ ‎∴EG⊥CF.‎ 在正方形ABCD中,AC⊥BD.‎ ‎∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,‎ ‎∴BD⊥平面CEFG.∴BD⊥CF.‎ 又∵EG∩BD=G,∴CF⊥平面BDE.‎

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