云南省曲靖市会泽县第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学理科试题 16页

数学试题（理科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，然后进行交集运算即可.‎ ‎【详解】，.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.‎ ‎2.tan255°=‎ A. －2－ B. －2+ C. 2－ D. 2+‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．‎ ‎【详解】详解：=‎ ‎【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．‎ ‎3.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，目标函数的最优解为点，联立，解得，所以的最小值为．‎ 考点：线性规划．‎ ‎4.在等差数列中,，则（ ）‎ A. 5 B. ‎8 ‎C. 10 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，‎ 所以，‎ 故选B.‎ 考点：等差数列通项公式.‎ ‎5.函数的图象与函数的图象的交点个数为( )‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．‎ ‎6.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积.故选C ‎【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.‎ ‎7.设为等比数列的前项和，，则( )‎ A 11 B. ‎5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设公比为，由，得，解得，所以．故选D．‎ 考点：等比数列的前项和.‎ ‎8.已知函数，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则，易证为奇函数，由求出，再利用奇函数的性质即可求得.‎ ‎【详解】令，则，‎ 由知函数为奇函数，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，对数换底公式的推论，属于中档题.‎ ‎9.在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于两点，则面积最小值为( )‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 12 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线方程，代入定点得到,再利用均值不等式得到三角形面积的最小值.‎ ‎【详解】解:由题意设直线方程为 , .‎ 由基本不等式知 , 即 (当且仅当 ,即 时等号成立).‎ 又 ‎ 答案为C ‎【点睛】本题考查了直线截距式方程，利用均值不等式求最大最小值常考题型.‎ ‎10.如图，点P在平行四边形OACD内部（含边界）运动，点B为OD的中点，若，则的范围是（ ）‎ A. [0，4] B. [0，3] C. [0，2] D. [0，1]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 向量用向量、表示，由点P在平行四边形OACD内部（含边界）运动求出x、y的范围，作出可行域，数形结合求目标函数的范围.‎ ‎【详解】点B为OD的中点则，‎ 因为点P在平行四边形OACD内部（含边界）运动，‎ 所以，作出可行域如图所示： ‎ 目标函数可转化为直线l：，z为直线的纵截距，‎ 当直线l过点时z取最小值0，当直线l过点时取最大值3.‎ 所以的范围是[0，3].‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查线性规划问题，平面向量基本定理，属于中档题.‎ ‎11.已知，直线方程为，且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围为（ ）‎ A 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，求出PA、PB的斜率，数形结合即可得解.‎ ‎【详解】直线l：过定点，如图：‎ ‎，‎ 若直线l与AB有交点，则斜率k的取值范围为或.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查直线的普通方程与斜率，直线过定点问题，属于基础题.‎ ‎12.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 不等式为(*)，‎ 当时，(*)式即为，，‎ 又（时取等号），‎ ‎（时取等号），‎ 所以，‎ 当时，(*)式为，，‎ 又（当时取等号），‎ ‎（当时取等号），‎ 所以，‎ 综上．故选A．‎ ‎【考点】不等式、恒成立问题 ‎【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，且，则=_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，利用向量数量积的坐标表示进行计算即可.‎ ‎【详解】因为，所以，则，解得.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示，属于基础题.‎ ‎14.函数（）的最大值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】化简三角函数的解析式，‎ 可得 ‎，‎ 由，可得，‎ 当时，函数取得最大值1．‎ ‎15.设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为圆心坐标与半径分别为，所以圆心到直线的距离，则，解之得，所以圆的面积，应填答案．‎ ‎16.已知四面体，，，，那么四面体的体积为_______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取AB中点为，连接CO，做PD垂直于CO的延长线于点D，求出AC、BC、AD，然后证明平面ABC，求出PD进而求得四面体的体积.‎ ‎【详解】根据题意，取AB中点为，连接CO，做PD垂直于CO的延长线于点D，如图所示：‎ 由题意可得， ，，‎ 因为，且O为AB中点，所以，，同理可得,‎ 又，平面PDC，平面PDC，所以平面PDC，‎ 由平面PDC得，‎ 因，且平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，‎ 设PD=x，则，‎ 在直角中，, 即，解得，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查棱锥的体积，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数 ‎（I）求的值 ‎（II）求的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．‎ ‎（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．‎ ‎【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，‎ ‎＝﹣cos2xsin2x，‎ ‎＝﹣2，‎ 则f（）＝﹣2sin（）＝2，‎ ‎（Ⅱ）因为．‎ 所以的最小正周期是．‎ 由正弦函数的性质得 ‎，‎ 解得，‎ 所以，的单调递增区间是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎18.如图,在中,是边上的高,,将沿进行翻折,使得如图，再过点作∥,连接且, .‎ ‎(1)求证:平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据计算得CD⊥AD，再根据线面垂直判定与性质定理得结论，（2）根据等体积法以及三棱锥体积公式得结果.‎ ‎【详解】(1)证明:在△ADC中,AC=4,AD=2,∠CAD=30°,‎ 利用余弦定理可得CD=2,‎ 所以∠ADC=90°,即CD⊥AD.‎ 因为MA⊥AB,MA⊥AC,AB∩AC=A,‎ 故MA⊥平面ABDC.‎ 因为CD⊂平面ABDC,所以CD⊥MA.‎ 又AD∩MA=A,所以CD⊥平面MAD. ‎ ‎(2)解:‎ 因为△ACD的面积,‎ 故三棱锥.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及等体积法，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角C；（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.‎ 试题解析：（1）由已知可得 ‎（2）‎ 又 ‎，‎ 的周长为 考点：正余弦定理解三角形.‎ ‎20.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，过点的三条棱PA、AB、AD两两垂直且相等，E，F分别是AC，PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF//平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求EF与平面PAC所成角的大小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）连接BD，则E是BD的中点，F是PB的中点得EF//PD．线面平行转化为线线平行．‎ ‎（Ⅱ）首先找出EF与平面PAC所成的角，由题意可得EF与平面PAC所成的角的大小等于．根据条件得，所以．‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点 又F是PB的中点，∴ EF//PD，‎ ‎∵ EF不在平面PCD内，∴ EF//平面PCD．‎ ‎（Ⅱ）连接PE，∵ ABCD是正方形，∴‎ 又平面，∴．‎ ‎∴平面，故是PD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵EF//PD，∴EF与平面PAC所成的角的大小等于 ‎∵PA=AB=AD，，‎ ‎∴≌，因此PD=BD 在中，，‎ ‎∴EF与平面PAC所成角的大小是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了证明线面垂直（通常转化成证明线线垂直）．求直线与平面成的夹角通常直接找直线与平面成的角或者建立空间直角坐标系利用向量法．‎ ‎21.已知圆与直线相切 ‎（1）若直线与圆交于两点，求 ‎（2）已知，设为圆上任意一点，证明：为定值 ‎【答案】（1）4；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用直线与圆相切，结合点到直线距离公式求出半径，从而得到圆的方程；根据直线被圆截得弦长的求解方法可求得结果；（2）设，则，利用两点间距离公式表示出，化简可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意知，圆心到直线的距离：‎ 圆与直线相切 圆方程为：‎ 圆心到直线的距离：‎ ‎，‎ ‎（2）证明：设，则 即为定值 ‎【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、直线被圆截得弦长的求解、两点间距离公式的应用、定值问题的求解.解决定值问题的关键是能够用变量表示出所求量，通过化简、消元整理出结果.‎ ‎22.设等差数列的公差为d，d为整数，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，，‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和为.‎ ‎【答案】（1）＝2n﹣1，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件求出数列的首项与公差与公比，然后求解通项公式．‎ ‎（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．‎ ‎【详解】解：（1）有题意可得：，‎ 解得（舍去）或，‎ 所以＝2n﹣1，．‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴①，‎ ‎②，‎ ‎①﹣②可得，‎ 故．‎ ‎【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎