【数学】2019届文科一轮复习人教A版4-2平面向量的基本定理及坐标表示教案 7页

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示 ‎ [考纲传真]　(教师用书独具)1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ ‎(对应学生用书第59页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．平面向量基本定理 ‎ (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ ‎ (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．向量的夹角 ‎ 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当a与b的夹角是90°时，a与b垂直，记作a⊥b，当a与b的夹角为0°时，a∥b，且a与b同向，当a与b的夹角为180°时，a∥b，且a与b反向．‎ ‎3．平面向量的坐标表示 ‎ 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.‎ ‎4．平面向量的坐标运算 ‎ (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 ‎ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎ a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ ‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎ (2)向量坐标的求法 ‎ ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎ ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎ ||＝.‎ ‎5．平面向量共线的坐标表示 ‎ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)‎ ‎ (2)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC．(　　)‎ ‎ (3)若a，b不共线，且λ‎1a＋μ1b＝λ‎2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)‎ ‎ (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 (　　)‎ ‎ A．5　　　 B．　　　‎ ‎ C．　　　 D．13‎ ‎ B　[因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.]‎ ‎3．(2018·洛阳模拟)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ ‎ A．(－7，－4) B．(7,4)‎ ‎ C．(－1,4) D．(1,4)‎ ‎ A　[＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，‎ ‎ ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．‎ ‎ 故选A．]‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ ‎ －6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，‎ ‎ ∴－‎2m－4×3＝0，∴m＝－6.]‎ ‎5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标为________．‎ ‎ (1,5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，‎ ‎ 即解得]‎ ‎(对应学生用书第60页)‎ 平面向量基本定理及其应用 ‎　(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 (　　)‎ ‎ A．e1与e1＋e2‎ ‎ B．e1－2e2与e1＋2e2‎ ‎ C．e1＋e2与e1－e2‎ ‎ D．e1＋3e2与6e2＋2e1‎ ‎ (2)(2018·太原模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 【导学号：79170130】‎ ‎ (1)D　(2)　[(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；‎ ‎ 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；‎ ‎ 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；‎ ‎ 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．‎ ‎ (2)选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，‎ ‎ 又＝λ＋μ＝＋，‎ ‎ 于是得解得 ‎ 所以λ＋μ＝.]‎ ‎ [规律方法]　　1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．‎ ‎ 2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．‎ ‎ [变式训练1]　如图421，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________(用向量a，b表示)．‎ 图421‎ ‎ b－a　b－a　a－b　[＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，＝＋＝－b＋＝b－a，＝＋＝－b－＝a－B．]‎ 平面向量的坐标运算 ‎　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b，‎ ‎ (1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎ (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎ (3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ ‎ [解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．‎ ‎ (1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎ ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎ (2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎ ∴解得 ‎ (3)设O为坐标原点．∵＝－＝‎3c，‎ ‎ ∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．‎ ‎ ∴M(0,20)．‎ ‎ 又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．‎ ‎ [规律方法]　　1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．‎ ‎ 2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．‎ ‎[变式训练2]　(2017·合肥三次质检)已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，则|‎2a＋b|的最小值为________．‎ ‎ 2　[由条件得‎2a＋b＝(2＋t,2t－6)，所以|‎2a＋b|＝＝，当t＝2时，|‎2a＋b|的最小值为2.]‎ 平面向量共线的坐标表示 ‎　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．‎ ‎ (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？‎ ‎ (2)若＝‎2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值.‎ ‎ 【导学号：79170131】‎ ‎ [解]　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，‎ ‎ a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．‎ ‎ ∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.‎ ‎ (2)法一：∵A、B、C三点共线，∴＝λ，‎ ‎ 即‎2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴，‎ ‎ 解得m＝.‎ ‎ 法二：＝‎2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，‎ ‎ ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(‎2m＋1，m)．‎ ‎ ∵A、B、C三点共线，∴∥.‎ ‎ ∴‎8m－3(‎2m＋1)＝0，即‎2m－3＝0，‎ ‎ ∴m＝.‎ ‎ [规律方法]　　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λA．‎ ‎ 2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．‎ ‎[变式训练3]　(1)(2017·郑州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.‎ ‎ (2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．‎ ‎ (1)　(2)k≠1　[(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，‎ ‎ 所以cos2θ＝，‎ ‎ 所以cos θ＝或－，又θ为锐角，所以θ＝.‎ ‎ (2)若点A，B，C能构成三角形，‎ ‎ 则向量，不共线．‎ ‎ 因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，‎ ‎ ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，‎ ‎ 所以1×(k＋1)－2k≠0，‎ ‎ 解得k≠1.]‎