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- 2021-07-01 发布
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第五节 椭圆
A组 基础题组
1.已知方程x22-k+y22k-1=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )
A.12,2 B.(1,+∞) C.(1,2) D.12,1
2.椭圆x225+y29=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )
A.2 B.4 C.8 D.32
3.设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为( )
A.33 B.36 C.13 D.16
4.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
5.已知椭圆C:x24+y23=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则F1P·F2A的最大值为( )
A.32 B.332 C.94 D.154
6.直线x-2y+2=0过椭圆x2a2+y2b2=1的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的方程为 .
7.如图,椭圆x2a2+y22=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为 .
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.
(1)若点C的坐标为43,13,且BF2=2,求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.
9.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
B组 提升题组
10.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.0,32 B.0,34 C.32,1 D.34,1
11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为2-1,以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,则椭圆C的方程为( )
A.x23+y22=1 B.x24+y22=1 C.x22+y2=1 D.x26+y22=1
12.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于13,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,sinA+sinBsinC的值等于 .
13.如图,椭圆的中心是坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 .
14.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.
答案全解全析
A组 基础题组
1.C ∵方程x22-k+y22k-1=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴2-k>0,2k-1>0,2k-1>2-k,解得k<2,k>12,k>1,故k的取值范围为(1,2).
2.B 设椭圆的另一个焦点为F2.如图,连接MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,
∴|MF2|=10-|MF1|=8.
由题意知|ON|=12|MF2|=4.故选B.
3.A 如图,设PF1的中点为M,连接PF2.
因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.
所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.
因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=3|PF2|,
由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=3|PF2|2,2c=|F1F2|=3|PF2|⇒c=3|PF2|2,
则e=ca=3|PF2|2·23|PF2|=33.
4.D 直线AB的斜率k=0+13-1=12,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x12a2+y12b2=1, ①x22a2+y22b2=1,②
①-②得y1-y2x1-x2=-b2a2·x1+x2y1+y2.
即k=-b2a2×2-2,
∴b2a2=12. ③
又a2-b2=c2=9, ④
由③④得a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为x218+y29=1,故选D.
5.B 由椭圆方程知c=4-3=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设A(1,y0),代入椭圆方程可得y02=94,所以y0=±32.设P(x1,y1),则F1P=(x1+1,y1),F2A=(0,y0),所以F1P·F2A=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-3≤y1≤3,故F1P·F2A的最大值为332,选B.
6.答案 x25+y2=1
解析 直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故c=2.直线x-2y+2=0与y轴的交点为(0,1),即为椭圆的上顶点,故b=1.
所以a2=b2+c2=5,所以椭圆的方程为x25+y2=1.
7.答案 3
解析 由题意知|F1F2|=2a2-2,因为|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,在△F1PF2中,由余弦定理得cos 120°=42+(2a-4)2-(2a2-2)22×4×(2a-4)=-12,化简得8a=24,即a=3.
8.解析 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).
(1)因为B(0,b),所以BF2=b2+c2=a.
又BF2=2,故a=2.
因为点C43,13在椭圆上,
所以169a2+19b2=1,解得b2=1.
故所求椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,
所以直线AB的方程为xc+yb=1.
解方程组xc+yb=1,x2a2+y2b2=1,
得x1=2a2ca2+c2,y1=b(c2-a2)a2+c2,x2=0,y2=b.
所以点A的坐标为2a2ca2+c2,b(c2-a2)a2+c2.
又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为2a2ca2+c2,b(a2-c2)a2+c2.
因为直线F1C的斜率为b(a2-c2)a2+c2-02a2ca2+c2-(-c)=b(a2-c2)3a2c+c3,直线AB的斜率为-bc,且F1C⊥AB,所以b(a2-c2)3a2c+c3·-bc=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=15.因此e=55.
9.解析 (1)根据c=a2-b2及题设知Mc,b2a,∴b2ac-(-c)=34,即2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去).
故C的离心率为12.
(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,
则2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.
代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.②
将①及c=a2-b2代入②得9(a2-4a)4a2+14a=1.
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=27.
B组 提升题组
10.A 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于45,得4b32+(-4)2≥45,即b≥1.所以e2=c2a2=a2-b2a2=4-b24≤34,又0b>0),∠B1PA2为钝角可转化为B2A2,F2B1所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b20,即e2+e-1>0,解得e>5-12或e<-5-12,又0