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- 2021-07-01 发布
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曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项符合要求.)
1. 已知集合,集合,则=( )
A. B. C. D.
2. 若复数是纯虚数,则在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 在平行四边形中,,,则的值为( )
A. B. C. D.
4. 定义运算,则函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半,羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?( )
A. B. C. D.
6. 若是的充分不必要条件,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 阅读右边程序框图,为使输出的数据为31,
则①处应填的数字为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
8. 已知满足,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
9. 抛物线方程为,一直线与抛物线交于两点,其弦的中点坐标为(1,1),则直线的方程为( )
A. B. C. D.
10. 已知变量与变量的取值如下表所示,且,则由该数据算得的线性回归方程可能是( )
2
3
4
5
2.5
6.5
A. B. C. D.
11. 已知点,若点在曲线上运动,则面积的最小值为( )
A.6 B.3 C. D.
12. 函数是上的偶函数,,当时,,则函数的零点个数为( )
A.10 B.8 C.5 D.3
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.)
13. 函数恒过点______.
14. 在平面直角坐标系中,已知的顶点和,若顶点在双曲线的左支上,则=______.
15. 在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球,若,,,则球的表面积为______.
16. 在数列中,,,则数列的通项公式______.
三、 解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每
道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)
17.(本小题满分12分)从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组[160,164),第2组[164,168),…,第6组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1) 由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数;
(2) 在这50名男生身高不低于176 cm的人中任意抽取2人,则恰有一人身高在[180,184]内的概率.
18.(本小题满分12分)已知函数
(1) 当时,求函数的值域;
(2) 的角的对边分别为且 求边上的高的最大值.
19. (本小题满分12分)等腰梯形中,,是的中点.将沿折起后,使二面角成直二面角,设是的中点,是棱的中点.
(1) 求证:;
(2) 求证:平面平面;
(3) 判断能否垂直于平面,并说明理由.
20.(本小题满分12分)如图所示,设椭圆的左右焦点分别为,离心率是直线上的两个动点,且满足.
(1) 若,求的值;
(2) 证明:当取最小值时,与共线.
21. (本小题满分12分)设函数,.
(1) 求函数最大值;
(2) 求证:恒成立.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】
已知直线的参数方程:(为参数)和圆的极坐标方程:
(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)已知点,直线与圆相交于、两点,求的值.
23.(本小题满分10分)【选修4−5:不等式选讲】
已知函数,(其中)
(1)求函数的最小值;
(2)若,求证:.
曲靖市第一中学2020届高三第二次模拟考试
数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
C
B
A
A
D
B
C
D
A
A
B
C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(4,1),(6,1) 14. 15. 16.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分)
17.(本小题满分12分)
6解:(1)由频率分布直方图,经过计算该校高三年级男生身高的中位数为168.25 (4分)
(2)由频率分布直方图知,后2组频率为(0.02+0.01)×4=0.12,人数为0.12×50=6,即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为6.(8分)
身高介于[176,180]的有4人,用1,2,3,4表示, 身高介于[180,184]的有2人,用a,b表示,从中任取2人的基本事件有(1,2)(1,3)(1,4)(1,a)(1,b)(2,3)(2,4)(2,a)(2,b)(3,4)(3,a)(3,b)(4,a)(4,b)(a,b). 恰有一人身高在[180,184]内的基本事件有(1,a)(1,b)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(4,a)(4,b).
所以,恰有一人身高在[180,184]内的概率为(12分)
18.(本小题满分12分)
解:(1)=
函数的值域为(6分)
(2)
的最大值为(12分)
19.(本小题满分12分)
(1)证明:设AE中点为M,
∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点,
∴△ABE与△ADE都是等边三角形.
∴BM⊥AE,DM⊥AE.
∵BM∩DM=M,BM、DM⊂平面BDM,∴AE⊥平面BDM.
∵BD⊂平面BDM,∴AE⊥BD.(4分)
(2)证明:连结CM交EF于点N,∵MEFC,
∴四边形MECF是平行四边形.∴N是线段CM的中点.
∵P是BC的中点,∴PN∥BM.
∵BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.
又∵PN⊂平面PEF,∴平面PEF⊥平面AECD.(8分)
(3)DE与平面ABC不垂直.
证明:假设DE⊥平面ABC,则DE⊥AB,
∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.
∵AB∩BM=B,AB、BM⊂平面ABE,∴DE⊥平面ABE.
∴DE⊥AE,这与∠AED=60°矛盾.
∴DE与平面ABC不垂直.(12分)
20.(本小题满分12分)
解:由e=,得b=c=a,所以焦点F1(-a,0),F2(a,0),直线l的方程为x=a,设M(a,y1),N(a,y2),
(1)∵||=||=2,∴a2+y=20,a2+y=20,消去y1,y2,得a2=4,故a=2,b=.(6分)
(2)|MN|2=(y1-y2)2=y+y-2y1y2≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=6a2.
当且仅当y1=-y2=a或y2=-y1=a时,|MN|取最小值a,
此时,+=(a,y1)+(a,y2)=(2a,y1+y2)=(2a,0)=2,故+与共线.(12分)
21.(本小题满分12分)
解:(1)
令解得
当时,时.
函数在上单调递增,在上单调递减
(6分)
(2)而函数在区间上单调递增
恒成立(12分)
22.(本小题满分10分)
解:(1)消去参数,得直线的普通方程为,
将两边同乘以得,,
∴圆的直角坐标方程为;
(2)经检验点在直线上,可转化为①,
将①式代入圆的直角坐标方程为得,
化简得,
设是方程的两根,则,,
∵,∴与同号,
由的几何意义得.
23.(本小题满分10分)
解: (1)
(5分)
(2)证明:为要证
只需证, 即证,
也就是,即证,即证,
∵,
∴,故即有,
又 由可得成立,
∴ 所求不等式成立.(10分)