湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试卷 10页

宜昌市部分示范高中教学协作体2019年春期中联考 高二（理科）数学 命题人：曹炼忠 审题人：梁环义 ‎（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“”的否定是（　　）‎ A． B． C． D． ‎2.抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.函数的单调递增区间是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.如图，已知正方体，若 ，则的值为（ ）‎ A．3 B．1‎ C．－1 D．－3 ‎ ‎5.是方程表示双曲线的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6. =（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎7.若双曲线的一条渐近线与直线垂直,则此双曲线的实轴长为(　　) ‎ A. 2 B. 4 C. 18 D. 36‎ ‎8.函数y =(其中e为自然对数的底数)的大致图像是(　　)‎ A　　　　 　B　　　　　　 C　　　　　 D ‎9.在三棱锥中,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.对于函数,下列说法正确的有(　　)‎ ‎①在处取得极大值；②有两个不同的零点；③. ‎ A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎11.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数的图像上有两对关于y轴对称的点，则实数k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎13.曲线在点处的切线的倾斜角为 ．‎ ‎14.已知，，且，则点的坐标为 .‎ ‎15.已知为抛物线上的一点，为抛物线的焦点，若，（为坐标原点），则△的面积为 ．‎ ‎16.一边长为2的正方形纸板，在纸板的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.方盒的容积的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)已知函数 .‎ ‎（1）求函数的图象在点（2，-1）处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，在长方体中，，点是的中点．‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎19.(本小题满分12分)已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，并且经过点.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）该椭圆上是否存在一点，它到直线:的距离最小？最小距离是多少？‎ ‎20.(本小题满分12分)如图，已知直三棱柱 中,.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎21.(本小题满分12分)已知直线与抛物线交于(异于坐标原点)两点.‎ ‎(1)若直线的方程为，求证:；‎ ‎(2)若,则直线是否恒过定点?若恒过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)设函数，且为的极值点．‎ ‎(1)若为的极大值点，求的单调区间(用表示)；‎ ‎(2)若恰有两解，求实数的取值范围.‎ 宜昌市部分示范高中教学协作体2019年春期中联考 高二（理科）数学参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D B B C C C B B C A A 二、填空题 ‎13． 14. 15. 16． ‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由题意 ...........1分 ‎ 所求切线的斜率 ...........3分 ‎ 所求切线方程为 即 ..........5分 ‎（2）由 解答 ............6分 ‎ 所以所求的面积为 ‎. .........10分 ‎18．解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），E（0，1，1），B（1，2，0），‎ C（0，2，0），＝（0，1，1），‎ ‎＝（－1，－1，1），＝（－1，0，0）． ‎ ‎ ...............2分 因为， ‎ 所以． ...............4分 则DE⊥BE，DE⊥BC． 因为BE平面BCE，BC平面BCE，BE ∩BC＝B，‎ 所以DE⊥平面BCE． ...............6分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .............8分 ‎ ...............11分 ‎ ...............12分 ‎19.解（1）由题意 设椭圆的方程为 ‎ 则 ..........3分 ‎ ............4分 ‎ .............5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ...........7分 ‎ . ............9分 ‎ ‎ ‎ ...............12分 ‎20.解（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ‎ 设AA1=t（t>0）,‎ ‎ .........2分 ‎ .............4分 ‎ ...............5分 ‎(2)由（1）知 ‎ .....................6分 ‎ ....................8分 ‎ ....................10分 ‎ .................12分 ‎21.解:(1)证明:由得x2-6x+4=0,解得x=3± ........2分 不妨取A(3-,1-), B(3+,1+), ...........3分 ‎∴, ∴OA⊥OB. .............5分 ‎(2)显然直线的斜率不为0,设直线的方程为x=ty+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由消去x得y2-2ty-2m=0, ...................7分 ‎∴y1y2=-2m, x1x2==m2, ....................8分 由OA⊥OB,得=x1x2+y1y2=m2-2m=0,∴m=2, .............10分 直线的方程为x=ty+2,∴直线恒过定点,且定点坐标为(2,0) ..............12分 ‎22．解　f′(x)＝＋x＋b＝.‎ 因为f′(1)＝0，所以b＋c＋1＝0，f′(x)＝ 且c≠1 .........1分 ‎(1)因为x＝1为f(x)的极大值点，所以c＞1. .............2分 当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当1＜x＜c时，f′(x)＜0；‎ 当x＞c时，f′(x)＞0. ..............4分 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，(c，＋∞)；‎ 单调递减区间为(1，c)． ..... ........5分 ‎(2)①若c＜0，则f(x)在(0,1)上单调递减，‎ 在(1，＋∞)上单调递增．‎ 若f(x)＝0恰有两解，则f(1)＜0，‎ 即＋b＜0.所以－＜c＜0. ..............7分 ‎②若0＜c＜1，则f(x)极大值＝f(c)＝clnc＋c2＋bc，f(x)极小值＝f(1)＝＋b.‎ 因为b＝－1－c，所以f(x)极大值＝clnc＋＋c(－1－c)＝clnc－c－＜0.‎ f(x)极小值＝－－c＜0，从而f(x)＝0只有一解． .............9分 ‎③若c＞1，则f(x)极小值＝clnc＋＋c(－1－c)‎ ‎＝clnc－c－＜0.‎ f(x)极大值＝－－c＜0，则f(x)＝0只有一解． ..............11分 综上，使f(x)＝0恰有两解的c的取值范围为(－，0)． ...............12分