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- 2021-07-01 发布
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4.3 诱导公式与对称
4.4 诱导公式与旋转
必备知识·自主学习
1.诱导公式(-α,π±α)的推导
在直角坐标系中
α与-α角的终边关于____对称;
α与π+α的终边关于_____对称;
α与π-α的终边关于____对称.
x轴
原点
y轴
2.诱导公式 的推导
① -α的终边与α的终边关于直线____对称.
②公式
sin =cos α,cos =sin α
用-α代替α并用前面公式
sin =cos α,cos =-sin α
( )2
2
y=x
( )2
( )2
( )2
( )2
【思考】
设α为任意角,则2kπ+α,2kπ-α的终边与α的终边有怎样的对应关系?
提示:
相关角 终边之间的对称关系
2kπ+α与α 终边相同
2kπ-α与α 关于x轴对称
3.2kπ±α,-α,π±α(k∈Z)的诱导公式
对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α.
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.
sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α.
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α.
这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式
两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余
弦函数值的符号.
【思考】
视α为锐角,则诱导公式中各角所在象限是什么?
提示:
角 2kπ+
α
π-
α
π+
α -α 2π-
α
所在象
限 一 二 三 四 四
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos(2π-α)=cos α. ( )
(2)sin(2π-α)=sin α. ( )
(3)诱导公式中的角α只能是锐角. ( )
(4)sin =cos α. ( )
(5)若α为第二象限角,则sin =cos α. ( )
(6)sin =cos . ( )
( )2
( )2
( )4
( )4
提示:(1) √.cos(2π-α)=cos(-α)=cos α.
(2) ×.sin(2π-α)=sin(-α)=-sin α.
(3) ×.诱导公式中角α不仅可以是锐角,还可以是任意角.
(4) ×.因为sin =-sin =-cos α,所以sin =cos α是错误的.
(5) √.诱导公式中的角α为任意角,在化简时先限定α为锐角.
(6) √.因为 -α+ +α= ,所以成立.
( )2
( )2
( )2
4
4
2
2.cos 300°+sin 450°的值是 ( )
A.-1+ B. C.-1- D.
【解析】选D.原式=cos(360°-60°)+sin(360°+90°)
=cos(-60°)+sin 90°=cos 60°+1= .
3
1
2 3
3
2
3
2
3.cos 的值是 ( )
【解析】选D.
2
3
3 3 1 1A. B. C. D.2 2 2 2
2 1cos cos( ) cos .3 3 3 2
＝ ＝ ＝
4.(教材二次开发:习题改编)已知sin x= ,则cos = ( )
【解析】选A.
1
3 (x )2
1 2 2 2 1A. B. C. D.3 3 3 3
1cos(x ) cos[ ( x)] cos( x) sin x .2 2 2 3
＝ ＝ ＝ ＝
关键能力·合作学习
类型一 知角求值(数学运算)
【典例】求下列三角函数值:
(1)cos(-1 290°); (2)sin 1 230°;(3)cos 29
4
；
5 19 34 sin cos( ) sin( )cos .4 6 3 4
＋
【思路导引】利用诱导公式求解
【解析】(1)cos(-1 290°)=cos 1 290°
=cos(210°+3×360°)=cos 210°
=cos(180°+30°)=-cos 30°=- .
(2)sin 1 230°=sin(150°+3×360°)=sin 150°
=sin(180°-30°)=sin 30°= .
3
2
1
2
29 5 5 23 cos cos( 6 ) cos cos( ) cos .4 4 4 4 4 2
5 19 34 sin cos( ) sin( )cos4 6 3 4
sin( )cos sin( 6 ) cos( )4 6 3 4
sin cos sin( )( cos )4 6 3 4
2 3 3 2( ) ( ) 0.2 2 2 2
＝ ＋ ＝ ＝ ＋ ＝ ＝
＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝ ＋ ＝
【解题策略】
利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为:
可简记为:负化正,大化小,化成锐角再求值.
【跟踪训练】
求下列三角函数值.
4 25 21 sin cos 2 sin[ 2n 1 ].3 6 3
；
【解析】
4 251 sin cos sin( ) cos(4 )3 6 3 6
3 3 3sin cos .3 6 2 2 4
2 32 sin[(2n 1) ] sin(2n ) sin .3 3 3 2
＝ ＋ ＋
＝ ＝ ＝
＋ ＝ ＋ ＝ ＝
类型二 给值求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.已知sin ,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是 ( )
2.已知cos ,求cos 的值.
3.已知cos ,求
4( )2 5
＋ ＝
4 4 3 3A. B. C. D.5 5 5 5
3( )6 3
＝ 5( )6
＋
1( )6 3
＝ 5 2cos( ) sin( ).6 3
＋
【思路导引】1.直接利用诱导公式求解,注意角α所在的象限.
2.利用复合角之间的关系及诱导公式求解.
3.要注意到
等角之间的关系,恰当运用诱导公式求值.
5( ) ( )6 6
＋ ＋ ＝ ，
2 ( ) ( ) ( )3 3 3 6 2
＝ ＋ ， ＋ ＋ ＝
【解析】1.选B.因为sin
且sin =cos α,
所以cos(α-2π)=cos α= .
2.因为
4( )2 5
＋ ＝ ，
( )2
＋
4
5
5cos( ) cos[ ( )]6 6
＋ ＝
3cos( ) .6 3
＝ ＝
3.方法一:因为 ( ) ( )3 6 2
＋ ＋ ＝ ，
1sin( ) sin[ ( )] cos( ) .3 2 6 6 3
2 1sin( ) sin[ ( )] sin( ) .3 3 3 3
5( ) ( )6 6
5 1cos( ) cos[ ( )] cos( )6 6 6 3
5 2 1 1 1cos( )sin( ) .6 3 3 3 9
所以 ＋ ＝ ＝ ＝
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
因为 ＋ ＋ ＝ ，
所以 ＋ ＝ ＝ ，
所以 ＋ ＝ ＝
方法二:设 -α=β,则α= -β,
所以
6
6
5 2cos ( )sin ( )6 3
＋
2 21 1cos ( )sin( ) cos ( ) .2 3 9
＝ ＋ ＝ ＝ ＝
【解题策略】
1.观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的
函数,将不同的角化为相同的角,是解决问题的关键.
2.对于有条件的三角函数求值题,一般求解的基本方法是从角的关系上寻求突
破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知
式而完成求值.
3.当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一
个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系.
【补偿训练】
已知sin ,那么cos α=( )
【解析】选C.
5 3( )2 5
＋
2 3 3 2A. B. C. D.5 5 5 5
5 3sin( ) sin(2 ) sin( ) cos .2 2 2 5
＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
类型三 三角函数式的化简(逻辑推理)
角度1 直接用诱导公式化简、求值
【典例】化简求值
cos(2 )sin( 2 )cos(6 )1 cos( )sin(5 )
cos 190 sin( 210 )2 .cos( 350 ) sin( 585 )
；
【思路导引】(1)利用诱导公式化简;
(2)用诱导公式把角化成锐角求解.
【解析】
cos sin( )cos( )1 cos( )sin( )
cos ( sin )cos cos .( cos )sin
cos(180 10 ) sin(180 30 )2 cos(360 10 ) sin(360 225 )
cos 10 sin 30
cos 10 ( sin 225 )
1
sin 30 22 .sin 45 22
2
原式＝
＝ ＝
＋ ［ ＋ ］原式＝ ［ ＋ ］
＝
＝ ＝ ＝
角度2 分类讨论化简
【典例】设k为整数,化简下面的式子:
【思路导引】对k分奇数和偶数进行分类讨论.
sin(k ) cos k 1 .sin (k 1) cos(k )
［ ］
［ ＋ ＋ ］ ＋
【解析】方法一:当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则原式=
当k为奇数时,可设k=2m+1(m∈Z),同理可得,原式=-1.故不论k为奇数还是偶数,
原式=-1.
sin(2m ) cos 2m 1 sin( ) cos( )
sin (2m 1) cos(2m ) sin( ) cos
( sin )( cos ) 1sin cos
［ ］ ＋＝［ ＋ ＋ ］ ＋ ＋
＝ ＝ ；
方法二:由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,
得sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]
=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α).
故原式= sin(k ) cos(k ) 1.sin(k ) cos(k )
＋ ［ ＋ ］＝＋ ＋
【解题策略】
利用诱导公式化简的原则
(1)化简三角函数式的过程,实质上是“统一角”“统一函数名”的过程,所以
在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函数名”的分析方法.
(2)化简三角函数式时,若遇到kπ±α的形式时,需分k为奇数和k为偶数两种情
况进行讨论,然后再正确运用诱导公式进行化简.常见的一些关于参数k的结论
有①sin(kπ+α)=(-1)ksin α(k∈Z).
②cos(kπ+α)=(-1)kcos α(k∈Z).
③sin(kπ-α)=(-1）k+1sin α(k∈Z).
④cos(kπ-α)=(-1)kcos α(k∈Z).
【题组训练】
1.化简求值.
【解析】原式=
cos( ) sin(2 )
sin( ) cos( )
＋ ＋ ；
cos sin cos sin 1.sin( ) cos( ) sin cos
＝ ＝＋ ＋
2.化简cos(nπ+x)+cos(nπ-x)(n∈Z).
【解析】当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),
原式=cos [(2k+1)π+x]+cos [(2k+1)π-x]=cos(π+x)+cos(π-x)
=-cos x-cos x=-2cos x;
当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),
原式=cos(2kπ+x)+cos(2kπ-x)=cos x+cos(-x)=2cos x,故原式=
2cosx n
2cosx n .
， 为奇数，
， 为偶数
1.当α∈R时下列各式恒成立的是 ( )
A.sin =-cos α
B.sin(π-α)=-sin α
C.cos (210°+α)=cos (30°+α)
D.cos (-α-β)=cos (α+β)
【解析】选D.由诱导公式知D正确.
课堂检测·素养达标
( )2
＋
2.sin 210°= ( )
【解析】选D.sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=- .
3 3 1 1A. B. C. D.2 2 2 2
1
2
3.在△ABC中,已知sin ,则cos 的值为( )
【解析】选C.因为A+B+C=π,所以
所以
A 4
2 5
B C
2
＋
3 3 4 4A. B. C. D.5 5 5 5
B C A
2 2 2
＋ ＝ ，
B C A A 4cos cos( ) sin .2 2 2 2 5
＋ ＝ ＝ ＝
4.已知cos ,则cos =______.
【解析】
答案:
3( )6 3
＋ ＝
11( )6
11 3cos( ) cos[2 ( )] cos( ) .6 6 6 3
＋ ＋
3
3
5.(教材二次开发:练习改编)化简:
【解析】原式=
3sin( )cos( )sin( )2
5cos(3 )sin(3 )sin( )2
＋ ＋
＋
sin ( cos ) ( cos ) 1.( cos ) ( sin )cos
＝
六 诱导公式与对称 诱导公式与旋转
【基础通关一水平一】(15分钟 30分)
1.sin(-390°)的值为 ( )
【解析】选D.sin(-390°)=sin (-360°-30°)=
sin (-30°)=-sin 30°=- .
课时素养评价
3 3 1 1A. B. C. D.2 2 2 2
1
2
2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则
的值为 ( )
【解析】选A.因为角α的终边上有一点P(1,3),在第一象限,
所以由三角函数的定义知sin α= ,cos α= .
因为
sin( ) sin( )2
3cos( ) 2cos( )2
＋
＋ ＋
2 4 4A. B. C. D. 45 5 7
3
10
1
10
3 1sin( ) sin( ) sin cos 210 102 .3 3 2sin 2cos 5cos( ) 2cos( )2 10 10
＋
＝ ＝ ＝
＋ ＋
3.已知sin 10°=k,则cos 620°的值等于 ( )
A.k B.-k C.±k D.不能确定
【解析】选B.cos 620°=cos (360°+260°)=cos 260°=cos (180°+80°)
=-cos 80°=-sin 10°=-k.
4.sin (-1 200°)·cos 1 290°+cos (-1 020°)·sin (-1 050°)
=______.
【解析】原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°·
sin 1 050°=-sin (-60°+7×180°)·cos (30°+7×180°)-
cos (-60°+3×360°)·sin (-30°+3×360°)=sin (-60°)(-cos 30°)
-cos (-60°)sin (-30°)=- ×(- )- ×(- )=1.
答案:1
3
2
3
2
1
2
1
2
5.已知cos (75°+α)= ,求cos (105°-α)+sin (15°-α)的值.
【解析】因为(105°-α)+(75°+α)=180°,
(15°-α)+(α+75°)=90°,
所以cos (105°-α)=cos [180°-(75°+α)]
=-cos (75°+α)=- ,
sin (15°-α)=sin [90°-(α+75°)]=cos (75°+α)= .
所以cos (105°-α)+sin (15°-α)=- + =0.
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
【能力进阶一水平二】 (30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知函数f(x)=cos ,则下列等式成立的是 ( )
A.f(2π-x)=f(x) B.f(2π+x)=f(x)
C.f(-x)=-f(x) D.f(-x)=f(x)
x
2
【解析】选D.因为f(x)=cos ,
所以f(-x)=cos(- )=cos ,所以C不对;
又f(2π-x)=cos =cos (π- )=-cos =-f(x).
所以A不对.
因为f(2π+x)=cos =cos (π+ )=-cos ≠f(x),B不对.
x
2
x
2
x
2
2 x
2
x
2
x
2
2 x
2
x
2
x
2
2.若sin(π+α)+cos ( +α)=-m,则cos ( -α)+2sin (6π-α)
的值为 ( )
2
3
2
2 3 2 3A. m B. m C. m D. m3 2 3 2
【解析】选B.因为sin (π+α)+cos ( +α)=-m,
所以-sin α-sin α=-2sin α=-m,所以sin α= .
所以cos ( -α)+2sin (6π-α)=-sin α-2sin α
=-3sin α=- m.
2
3
2
m
2
3
2
3.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中一定成立的是 ( )
A.cos (A+B)=cos C
B.sin (A+B)=-sin C
C.cos ( +C)=sin B
D.sin B C Acos 2 2
＋ ＝
A
2
【解析】选D.因为A+B+C=π,所以A+B=π-C,
所以cos (A+B)=-cos C,sin (A+B)=sin C.
所以A,B都不正确;sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=cos ,
所以C选项无法证明成立.B+C=π-A,
所以sin =sin ( )=cos ,因此D是正确的.A
2
( A C)2
B C
2
＋ A
2 2
4.已知sin ( -α)= ,那么cos ( -α)=( )
【解析】选D.
6
1
2
2
3
3 3 1 1A. B. C. D.2 2 2 2
2 1cos ( ) cos ( ) sin ( ) .3 2 6 6 2
［ ＋ ］
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,
有选错的得0分)
5.如果α+β=180°,那么下列等式中不成立的是( )
A.cos α=cos β B.cos α=-cos β
C.sin α=-sin β D.sin α=cos β
【解析】选ACD.由α+β=180°得α=180°-β,两边同时取正弦函数得
sin α=sin(180°-β)=sin β,两边同时取余弦函数得cos α=cos(180°
-β)=-cos β.
【光速解题】令α=60o,β=120o求解.
6.已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin 数值相同的是 ( )
A.sin B.cos
C.sin D.cos
【解题指南】对n进行分类讨论,然后利用诱导公式求解.
3
4(n )3
＋ (2n )6
＋
(2n )3
＋ [(2n 1) ]6
＋
【解析】选BC.A中n为偶数时sin =-sin ;
B中cos =cos =sin ;
C中sin =sin ;
D中cos =-cos =-sin .
4(n )3
＋ 3
(2n )6
＋
6
3
(2n )3
＋
3
[(2n 1) ]6
＋ 6
3
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.sin =______.
【解析】sin =-sin =-sin
=-sin =sin
答案:
31( )4
31( )4
31
4
(8 )4
( )4
2 .4 2
＝
2
2
8.若函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,
且满足f(2 015)=2,则f(2 016)=________.
【解析】因为f(2 015)=asin(2 015π+α)+bcos(2 015π+β)=2,
所以f(2 016)=asin(2 016π+α)+b·cos(2 016π+β)
=asin[π+(2 015π+α)]+bcos [π+(2 015π+β)]
=-[asin(2 015π+α)+bcos(2 015π+β)]=-2.
答案:-2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知f(α)=
(1)化简f(α);
(2)若α为第四象限角且sin 求f(α)的值;
(3)若α=- π,求f(α).
3sin( 3 ) cos(2 ) sin( )2 .cos( ) sin( )
＋
3 1( )2 5
＝ ，
31
3
【解析】(1)f(α)=
(2)因为sin =sin =cos α= ,
所以f(α)=-cos α=- .
(3)
( sin ) cos ( cos ) cos .( cos ) sin
3( )2
( )2
＋ 1
5
1
5
31 31f( ) cos( )3 3
＝
5 5 1cos( 6 2 ) cos cos .3 3 3 2
＝ ＋ ＝ ＝ ＝
10.化简求值:
2 3 41 cos cos cos cos 5 5 5 5
2 42 sin(2n ) cos(n )(n Z).3 3
＋ ＋ ＋ ；
＋
【解析】
2 3 41 cos cos cos cos 5 5 5 5
2 2cos cos cos( ) cos( )5 5 5 5
2 2cos cos cos cos 0.5 5 5 5
＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＝
(2)①当n为奇数时,
原式=
=-sin
②当n为偶数时,原式=-sin ·cos
2 4sin( ) ( cos ) sin( ) cos( )3 3 3 3
＝ ＋
3 1 3cos3 3 2 2 4
＝ ＝ ；
2
3
4
3
3sin( ) cos( ) sin cos .3 3 3 3 4
＝ ＋ ＝ ＝
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