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  • 2021-07-01 发布

2021高考数学一轮复习课后限时集训5函数的单调性与最值理北师大版

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课后限时集训5‎ 函数的单调性与最值 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是(  )‎ A.y=-x      B.y=x2-x C.y=ln x-x D.y=ex-x A [对于A,y1=在(0,+∞)内是减函数,y2=x在(0,+∞)内是增函数,则y=-x在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y′=ex-1,而当x∈(0,+∞)时,y′>0,所以函数y=ex-x在(0,+∞)上是增函数.]‎ ‎2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(  )‎ A.(-∞,-2) B.(-∞,1)‎ C.(1,+∞) D.(4,+∞)‎ D [由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞),注意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).]‎ ‎3.若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B.[-6,-4]‎ C.[-3,-2] D.[-4,-3]‎ B [由于f(x)为R上的偶函数,因此只需考虑函数f(x)在(0,+∞)上的单调性即可.由题意知函数f(x)在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,‎ 故-∈[2,3],即a∈[-6,-4].]‎ ‎4.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 6‎ D [因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x-1)<f.‎ 所以0≤2x-1<,‎ 解得≤x<.]‎ ‎5.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定(  )‎ A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 D [由题意知a<1,若a≤0,则g(x)=x+-‎2a在(1,+∞)上单调递增;若0<a<1,g(x)=x+-‎2a在(,+∞)上单调递增,则g(x)在(1,+∞)上单调递增.综上可得,g(x)=x+-‎2a在区间(1,+∞)上是增函数.故选D.]‎ 二、填空题 ‎6.函数f(x)=-的值域为________.‎ ‎[-,] [因为所以-2≤x≤4,‎ 所以函数f(x)的定义域为[-2,4].‎ 又y1=,y2=-在区间[-2,4]上均为减函数,‎ 所以f(x)=-在[-2,4]上为减函数, ‎ 所以f(4)≤f(x)≤f(-2),‎ 即-≤f(x)≤.]‎ ‎7.若f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围是________.‎  [由题意知, 解得所以a∈.]‎ ‎8.(2019·唐山模拟)设函数f(x)=g(x)=x‎2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是________.‎ ‎[0,1) [由题意知g(x)=函数图像如图所示,其递减区间是[0,1).]‎ 三、解答题 6‎ ‎9.已知f(x)=(x≠a).‎ ‎(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;‎ ‎(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)证明:设x1<x2<-2,‎ 则f(x1)-f(x2)=-=.‎ 因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,‎ 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),‎ 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.‎ ‎(2)设1<x1<x2,‎ 则f(x1)-f(x2)=-=.‎ 因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,‎ 只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,‎ 所以a≤1.综上所述,实数a的取值范围是(0,1].‎ ‎10.已知函数f(x)=x2+a|x-2|-4.‎ ‎(1)当a=2时,求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值;‎ ‎(2)若f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] (1)当a=2时,f(x)=x2+2|x-2|-4== 当x∈[0,2]时,-1≤f(x)≤0,当x∈[2,3]时,0≤f(x)≤7,‎ 所以f(x)在[0,3]上的最大值为7,最小值为-1.‎ ‎(2)因为f(x)= 又f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,‎ 所以当x>2时,f(x)单调递增,则-≤2,即a≥-4.‎ 当-1<x≤2时,f(x)单调递增,则≤-1.‎ 即a≤-2,且4+‎2a-‎2a-4≥4-‎2a+‎2a-4恒成立,‎ 故实数a的取值范围为[-4,-2].‎ ‎1.函数f(x)满足f(x+2)=‎3f(x),且x∈R,若当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x+2,则当x∈[-4,-2]时,f(x)的最小值为(  )‎ A.  B. ‎ 6‎ C.-  D.- A [因为f(x+2)=‎3f(x),所以f(x)=f(x+2)=f(x+4).‎ 因为当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x+2,所以当x∈[-4,-2],即x+4∈[0,2]时,f(x)=f(x+4)=(x+3)2+,故当x=-3时,f(x)取得最小值,故选A.]‎ ‎2.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于(  )‎ A.-1 B.1 ‎ C.6 D.12‎ C [由题意知当-2≤x≤1时,f(x)=x-2,当1<x≤2时,f(x)=x3-2,又f(x)=x-2,f(x)=x3-2在相应的定义域内都为增函数,且f(1)=-1,f(2)=6,∴f(x)的最大值为6.]‎ ‎3.已知f(x)=不等式f(x+a)>f(‎2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(-∞,-2) [二次函数y1=x2-4x+3的对称轴是x=2,‎ ‎∴该函数在(-∞,0]上单调递减,‎ ‎∴x2-4x+3≥3,同样可知函数y2=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,‎ ‎∴-x2-2x+3<3,∴f(x)在R上单调递减,‎ ‎∴由f(x+a)>f(‎2a-x)得到x+a<‎2a-x,‎ 即2x<a,∴2x<a在[a,a+1]上恒成立,‎ ‎∴2(a+1)<a,∴a<-2,‎ ‎∴实数a的取值范围是(-∞,-2).]‎ ‎4.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)= ‎(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;‎ ‎(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.‎ ‎[解] (1)∵f(-1)=0,∴b=a+1.‎ 由f(x)≥0恒成立,知a>0且方程ax2+bx+1=0中的Δ=b2-‎4a=(a+1)2-‎4a=(a-1)2≤0,∴a=1,即b=2.‎ 从而f(x)=x2+2x+1.‎ ‎∴F(x)= ‎(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,‎ ‎∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,‎ 6‎ 由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-≤-2或-≥2,得k≤-2或k≥6.‎ 即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).‎ ‎1.函数f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:‎ ‎①f(0)=0;②f =f(x);③f(1-x)=1-f(x).‎ 则f +f =________.‎  [由①③,令x=0,可得f(1)=1.‎ 由②,令x=1,可得f =f(1)=.‎ 令x=,可得f =f =.‎ 由③结合f =,可知f =,‎ 令x=,可得f =f =,‎ 因为<<且函数f(x)在[0,1]上为非减函数,‎ 所以f =,‎ 所以f +f =.]‎ ‎2.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f =f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.‎ ‎(1)求f(1)的值;‎ ‎(2)证明:f(x)为单调递减函数;‎ ‎(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.‎ ‎[解] (1)令x1=x2>0,‎ 代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.‎ ‎(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,‎ 当x>1时,f(x)<0,∴f <0,‎ 6‎ 即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)