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- 2021-07-01 发布
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课后限时集训5
函数的单调性与最值
建议用时:45分钟
一、选择题
1.下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( )
A.y=-x B.y=x2-x
C.y=ln x-x D.y=ex-x
A [对于A,y1=在(0,+∞)内是减函数,y2=x在(0,+∞)内是增函数,则y=-x在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y′=ex-1,而当x∈(0,+∞)时,y′>0,所以函数y=ex-x在(0,+∞)上是增函数.]
2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
D [由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞),注意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).]
3.若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是( )
A. B.[-6,-4]
C.[-3,-2] D.[-4,-3]
B [由于f(x)为R上的偶函数,因此只需考虑函数f(x)在(0,+∞)上的单调性即可.由题意知函数f(x)在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,
故-∈[2,3],即a∈[-6,-4].]
4.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6
D [因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x-1)<f.
所以0≤2x-1<,
解得≤x<.]
5.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定( )
A.有最小值 B.有最大值
C.是减函数 D.是增函数
D [由题意知a<1,若a≤0,则g(x)=x+-2a在(1,+∞)上单调递增;若0<a<1,g(x)=x+-2a在(,+∞)上单调递增,则g(x)在(1,+∞)上单调递增.综上可得,g(x)=x+-2a在区间(1,+∞)上是增函数.故选D.]
二、填空题
6.函数f(x)=-的值域为________.
[-,] [因为所以-2≤x≤4,
所以函数f(x)的定义域为[-2,4].
又y1=,y2=-在区间[-2,4]上均为减函数,
所以f(x)=-在[-2,4]上为减函数,
所以f(4)≤f(x)≤f(-2),
即-≤f(x)≤.]
7.若f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围是________.
[由题意知,
解得所以a∈.]
8.(2019·唐山模拟)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是________.
[0,1) [由题意知g(x)=函数图像如图所示,其递减区间是[0,1).]
三、解答题
6
9.已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围.
[解] (1)证明:设x1<x2<-2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
(2)设1<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,
只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,
所以a≤1.综上所述,实数a的取值范围是(0,1].
10.已知函数f(x)=x2+a|x-2|-4.
(1)当a=2时,求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
[解] (1)当a=2时,f(x)=x2+2|x-2|-4==
当x∈[0,2]时,-1≤f(x)≤0,当x∈[2,3]时,0≤f(x)≤7,
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7,最小值为-1.
(2)因为f(x)=
又f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,
所以当x>2时,f(x)单调递增,则-≤2,即a≥-4.
当-1<x≤2时,f(x)单调递增,则≤-1.
即a≤-2,且4+2a-2a-4≥4-2a+2a-4恒成立,
故实数a的取值范围为[-4,-2].
1.函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),且x∈R,若当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x+2,则当x∈[-4,-2]时,f(x)的最小值为( )
A. B.
6
C.- D.-
A [因为f(x+2)=3f(x),所以f(x)=f(x+2)=f(x+4).
因为当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x+2,所以当x∈[-4,-2],即x+4∈[0,2]时,f(x)=f(x+4)=(x+3)2+,故当x=-3时,f(x)取得最小值,故选A.]
2.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( )
A.-1 B.1
C.6 D.12
C [由题意知当-2≤x≤1时,f(x)=x-2,当1<x≤2时,f(x)=x3-2,又f(x)=x-2,f(x)=x3-2在相应的定义域内都为增函数,且f(1)=-1,f(2)=6,∴f(x)的最大值为6.]
3.已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是________.
(-∞,-2) [二次函数y1=x2-4x+3的对称轴是x=2,
∴该函数在(-∞,0]上单调递减,
∴x2-4x+3≥3,同样可知函数y2=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,
∴-x2-2x+3<3,∴f(x)在R上单调递减,
∴由f(x+a)>f(2a-x)得到x+a<2a-x,
即2x<a,∴2x<a在[a,a+1]上恒成立,
∴2(a+1)<a,∴a<-2,
∴实数a的取值范围是(-∞,-2).]
4.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)=
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.
[解] (1)∵f(-1)=0,∴b=a+1.
由f(x)≥0恒成立,知a>0且方程ax2+bx+1=0中的Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,∴a=1,即b=2.
从而f(x)=x2+2x+1.
∴F(x)=
(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,
∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,
6
由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-≤-2或-≥2,得k≤-2或k≥6.
即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).
1.函数f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:
①f(0)=0;②f =f(x);③f(1-x)=1-f(x).
则f +f =________.
[由①③,令x=0,可得f(1)=1.
由②,令x=1,可得f =f(1)=.
令x=,可得f =f =.
由③结合f =,可知f =,
令x=,可得f =f =,
因为<<且函数f(x)在[0,1]上为非减函数,
所以f =,
所以f +f =.]
2.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f =f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:f(x)为单调递减函数;
(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.
[解] (1)令x1=x2>0,
代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,
当x>1时,f(x)<0,∴f <0,
6
即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)