四川省成都市青羊区石室中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题 21页

成都石室中学2019~2020学年度上期高2020届10月月考 数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解出集合，根据子集判定可得结果.‎ ‎【详解】由题意知：，则 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.‎ ‎2.已知为虚数单位，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的周期求解.‎ ‎【详解】由于，‎ 且的周期为4，，‎ 所以原式=.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.已知命题：，，命题：若，则，则以下命题正确的为（ ）‎ A. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”‎ B. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”‎ C. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”‎ D. 的否定为“，”，的否命题为“若，则”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。即可选出答案。‎ ‎【详解】的否定为“，”，的否命题为“若，则”‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查命题的否定与否命题，注意区分命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。属于基础题。‎ ‎4.已知是公差为的等差数列，为的前项和.若，，成等比数列，则（ ）‎ A. B. 35 C. D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,‎ ‎【详解】因为，，成等比数列，所以，‎ 因此,选C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎5.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的x＝5，y＝2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（　　）‎ A. y＜x B. y≤x C. x≤y D. x＝y ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】解：模拟程序的运行，可得 x＝5，y＝2，n＝1‎ x，y＝4‎ 不满足条件，执行循环体，n＝2，x，y＝8，此时，x＞y，‎ 不满足条件，执行循环体，n＝3，x，y＝16，此时，x＞y，‎ 不满足条件，执行循环体，n＝4，x，y＝32，此时，x＜y，‎ 由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．‎ 可得程序框图中的 中应填x≤y？‎ 故选：C．‎ ‎6.设函数，则满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，讨论的范围解得答案.‎ ‎【详解】函数，得到 ‎ 当时：解得，即 当时：解得，即 综上所述： ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了分段函数的计算，分类讨论是一个常用的方法.‎ ‎7.若直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：曲线可化为，所以图象是以原点为圆心，为半径的圆，且只包括轴上方的图象，而直线经过定点，当直线与该半圆相切时刚好有一个交点，可以用圆心到直线的距离等于半径，求出临界值，利用数形结合，慢慢将直线绕定点转动，当直线过圆上的一点时，正好有两个交点，此时的，再转动时仍只有一个交点，所以取值范围为，故选C.‎ 考点：1、直线方程；2、直线与圆位置关系；3、直线的斜率.‎ ‎8.已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先比较的大小，再比较的大小，进而可得答案．‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎∴．‎ 又，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴当时，单调递减；‎ 当时，单调递增。‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，因此，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查实数大小的比较和考查导数在研究函数中的应用，考查学生对知识的理解掌握水平和分析推理能力，解题的关键是通过通过构造函数并利用函数的单调性解决问题，属于中档题．‎ ‎9.已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．‎ ‎【详解】，．‎ ‎，又，，又，，故选B．‎ ‎【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．‎ ‎10.函数的零点的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数因式分解.利用导数求得函数的单调区间，判断出函数零点个数.由此判断出零点个数.‎ ‎【详解】依题意，故是函数的零点.构造函数，注意到，且，所以在上递增，只有唯一零点.所以有两个零点或.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数零点，考查利用导数研究函数的零点，考查因式分解，属于中档题.‎ ‎11.已知双曲线（）的焦距为4，其与抛物线交于 两点，为坐标原点，若为正三角形，则的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的边长为，则，利用在抛物线上可得，把代入双曲线方程，结合可求出，从而得到双曲线的离心率.‎ ‎【详解】设的边长为，由抛物线和双曲线均关于轴对称，‎ 可设， ‎ 又，故，所以，‎ 故，又，即，解得，‎ 则．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于 的不等式或不等式组．‎ ‎12.已知函数，其中，，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（ ）‎ A. 11 B. 13 C. 15 D. 17‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据x为y＝f（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，判断ω为正奇数，再结合f（x）在区间上单调，求得ω的范围，对选项检验即可．‎ ‎【详解】由题意知函数 为y＝f（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，∴•，n∈Z，∴ω＝2n+1．‎ f（x）在区间上有最小值无最大值，∴周期T≥（），即，∴ω≤16．‎ ‎∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，‎ 当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），‎ 在区间上，15x∈（，），此时f（x）在时取得最小值，∴ω=15满足题意．‎ 则ω的最大值为15，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知数列满足，，则________.‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给等式，化简变形即可知道数列为以1为首项为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式，即可求出答案。‎ ‎【详解】因为，又.‎ 所以数列为以1为首项,为公比的等比数列，‎ 即 故填：100‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的定义、等比数列的通项，解本题的关键在于：熟练掌握对数的运算性质，将所给等式化简为等比数列的定义形式，属于基础题。‎ ‎14.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据单调性判断出的正负，然后根据奇偶性判断出的可取值.‎ ‎【详解】‎ 幂函数在上递减，‎ ‎∴ ，即 又因为为奇函数，‎ ‎∴ ．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据幂函数奇偶性、单调性判断幂指数的取值，难度较易.幂函数中的幂指数大于零时，则幂函数在递增，若幂指数小于零时，则幂函数在递减.‎ ‎15.已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于的方程，即可得解.‎ ‎【详解】由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为 则，可求得 设球半径为，可得方程：，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】此题考查了球的内接圆锥问题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.‎ ‎16.已知抛物线：的焦点为，且到准线的距离为2，直线：与抛物线交于，两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由到准线的距离为2，可求出，抛物线：，，再利用，点的坐标，即可求出直线，联立直线与抛物线则可求出点的坐标，再利用，即可得出答案。‎ ‎【详解】因为到准线的距离为2，所以，抛物线：， . 设，，因为，即 所以，‎ 代入直线：‎ 所以直线为：‎ 由 ‎ 所以 ，所以， ，‎ 所以 故填：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、方程思想，属于中档题。‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，是上的点，平分，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在和中运用正弦定理，进行求解即可． ‎ ‎（2）由，利用正弦定理可得，利用余弦定理求出，结合，建立方程进行求解即可．‎ ‎【详解】解：（1）由正弦定理可得在中，，‎ 在中，，‎ 又因为，.‎ ‎（2），由正弦定理得，‎ 设，则，则.‎ 因为，‎ 所以，解得.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键．‎ ‎18.随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：‎ 个人所得税税率表（调整前）‎ 个人所得税税率表（调整后）‎ 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率（%）‎ 级数 全月应纳税所得额 税率（%）‎ ‎1‎ 不超过1500元的部分 ‎3‎ ‎1‎ 不超过3000元的部分 ‎3‎ ‎2‎ 超过1500元至4500元部分 ‎10‎ ‎2‎ 超过3000元至12000元的部分 ‎10‎ ‎3‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20‎ ‎3‎ 超过12000元至25000元的部分 ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎（1）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元，记表示总收人，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；‎ ‎（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工税前收入，并制成下面的频数分布表：‎ 收入（元）‎ 人数 ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ 先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；‎ ‎（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？‎ ‎【答案】（1）调整前关于的表达式为，调整后关于的表达式为 ‎（2）‎ ‎（3）220元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对收入的范围分类，求出对应的表达式即可。‎ ‎（2）列出7人中抽取2人共21种情况，找出不在同一收入人群有12种结果，问题得解。‎ ‎（3）计算出小红按调整起征点前应纳个税为元，小红按调整起征点后应纳个税为元，问题得解。‎ ‎【详解】解：（1）调整前关于的表达式为，‎ 调整后关于的表达式为.‎ ‎（2）由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人，其中中占3人，分别记为，中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：，，，，，，，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34，共21种情况，‎ 其中不在同一收入人群的有：，，，，，，，，，，，，共12种，所以所求概率为.‎ ‎（3）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，‎ 按调整起征点前应纳个税为元；‎ 按调整起征点后应纳个税为元，‎ 由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元，‎ 即个人的实际收入增加了220元，‎ 所以小红的实际收入增加了220元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数模型及古典概型概率计算，以及分段函数模型应用，考查转化能力及计算能力，属于基础题。‎ ‎19.如图，在四棱锥中，，，是的中点，是等边三角形，平面平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥与三棱锥的体积之比.‎ ‎【答案】（1）见详解；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证线面垂直，需在平面内找两条相交直线，证明它们与垂直.‎ ‎(2)分别考虑两个三棱锥的底面积和高的比，再求体积比.‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点为，连接，，，设交于，连接.‎ ‎，，‎ 四边形与四边形均为菱形.‎ ‎，..‎ 为等边三角形，为中点，‎ ‎.‎ 平面平面且平面平面，平面且，‎ 平面.‎ 平面，.‎ ‎，分别为，的中点，.‎ ‎.‎ 又，平面.‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算.要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明.求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面.‎ ‎20.已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）求证：当时，对，.‎ ‎【答案】（1）见详解；（2）见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的导数，根据其正负讨论单调性，需按与的大小分类讨论.‎ ‎(2)要证，即证，结合(1)中的单调性对的最小值进行分析即可.‎ ‎【详解】（1），由得或.‎ 当时，，函数在内单调递增.‎ 当时，函数在，内单调递增，在内单调递减.‎ 当时，函数在，内单调递增，在内单调递减.‎ ‎（2）证明：要证，，即证，.‎ ‎①由（1）可知，当，时，.‎ ‎，.‎ 设，，则，‎ 在单调递增，故，即.‎ ‎.‎ ‎②当时，函数在单调递增，.‎ ‎③当时，由（1）可知，时，.‎ 又，，‎ ‎.‎ 综上，当时，对，.‎ ‎【点睛】本题考查函数与导数的综合问题，考查分类讨论的数学思想方法.根据含参函数的导数符号求单调性时，往往需要按根的存在性、根的大小进行分类讨论.不等式的恒成立问题，往往通过转化为最值问题来求解.‎ ‎21.已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) y=x-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，yP），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意得 ‎ 解得． ‎ 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m， ‎ 由得. ‎ 令，得． ‎ ‎，．‎ 因为是以为顶角的等腰直角三角形，‎ 所以平行于轴． ‎ 过做的垂线，则垂足为线段的中点．‎ 设点的坐标为，则．‎ 由方程组解得，即． ‎ 而， ‎ 所以直线的方程为y=x-1．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，圆：.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求圆心的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）从原点作圆的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先根据圆的标准方程求出其圆心的直角坐标，再将直角坐标化为极坐标。‎ ‎（Ⅱ）根据题意设出直线，联立直线与圆，即可求出弦的中点轨迹的参数方程，再将参数方程化为极坐标方程即可。‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，所以圆心 所以圆心的极坐标为 ‎（Ⅱ）根据题意知直线斜率不为0，故设直线为 联立直线与圆有 ‎ ‎ ‎ 所以 ，‎ 所以弦的中点坐标为 ‎ ‎ 得到 ，再代入②得：化简有 将 代入有，化简得 又因为即 ‎ 所以 所以弦的中点轨迹的极坐标方程为 ‎【点睛】本题考查直角坐标化极坐标，直线与圆的位置关系，弦中点的轨迹方程。直角坐标与极坐标的互化需熟练掌握公式：；一般求直线与圆锥曲线相交弦中点的轨迹方程，都需设出直线，联立直线与圆锥曲线，利用韦达定理表示出弦中点的坐标，再消参。属于中档题。‎ ‎ ‎ ‎ ‎