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- 2021-07-01 发布
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习题课 复 数
明目标、知重点
1.巩固复数的概念和几何意义.
2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义.
1.复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R)
(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;
(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;
(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;
(4)除法:=+i(z2≠0);
(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况;
(6)特殊复数的运算:in(n为正整数)的周期性运算;
(1±i)2=±2i;若ω=-±i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.
2.共轭复数与复数的模
(1)若z=a+bi,则=a-bi,z+为实数,z-为纯虚数(b≠0).
(2)复数z=a+bi的模|z|=,
且z·=|z|2=a2+b2.
3.复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量、不共线,则复数z1+z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数z1-z2是连接向量、的终点,并指向Z1的向量所对应的复数.
题型一 复数的四则运算
例1 (1)计算:+2 012+
;
(2)已知z=1+i,求的模.
解 (1)原式=+1 006+
=i+(-i)1 006+0=-1+i.
(2)===1-i,
∴的模为.
反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点,如果遇到(a+bi)÷(c+di)的形式,首先应该写成分式的形式,然后再分母实数化.
跟踪训练1 (1)已知=2+i,则复数z等于( )
A.-1+3i B.1-3i
C.3+i D.3-i
答案 B
解析 方法一 ∵=2+i,∴=(1+i)(2+i)=2+3i-1=1+3i,∴z=1-3i.
方法二 设z=a+bi(a,b∈R),∴=a-bi,
∴=2+i,∴,z=1-3i.
(2)i为虚数单位,则2 011等于( )
A.-i B.-1
C.i D.1
答案 A
解析 因为==i,所以2 011=i2 011=i4×502+3=i3=-i,故选A.
题型二 复数的几何意义的应用
例2 已知点集D={z||z+1+i|=1,z∈C},试求|z|的最小值和最大值.
解 点集D的图像为以点C(-1,
-)为圆心,1为半径的圆,圆上任一点P对应的复数为z,则||=|z|.
由图知,当OP过圆心C(-1,-)时,与圆交于点A、B,则|z|的最小值是|OA|=|OC|-1=-1=2-1=1,即|z|min=1;|z|的最大值是|OB|=|OC|+1=2+1=3,即|z|max=3.
反思与感悟 复数和复平面内的点,以原点为起点的向量一一对应;复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则:|z1-z2|表示复数z1,z2对应的两点Z1,Z2之间的距离.
跟踪训练2 已知复数z1,z2满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=,求|z1+z2|的值.
解 如图所示,设z1,z2对应点分别为A,B,以,为邻边作▱OACB,则对应的复数为z1+z2.这里||=3,||=5,||=.
∴cos ∠AOB=
==.
∴cos ∠OBC=-.又||=||=3,
∴|z1+z2|=||
==.
题型三 有关两个复数相等的问题
例3 设复数z和它的共轭复数满足4z+2=3+i,求复数z.
解 设z=a+bi(a,b∈R).
因为4z+2=3+i,所以2z+(2z+2)=3+i.
2z+2=2(a+bi)+2(a-bi)=4a,整体代入上式,
得2z+4a=3+i.所以z=+.
根据复数相等的充要条件,得
解得所以z=+.
反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具.“复数相等”可以得到两个实数等式,为应用方程思想提供了条件,常用于确定系数,解复数方程等问题.
跟踪训练3 是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z等于( )
A.1+i B.-1-i
C.-1+i D.1-i
答案 D
解析 方法一 设z=a+bi,a,b为实数,则=a-bi.
∵z+=2a=2,∴a=1.
又(z-)i=2bi2=-2b=2,∴b=-1.故z=1-i.
方法二 ∵(z-)i=2,∴z-==-2i.
又z+=2,∴(z-)+(z+)=-2i+2,
∴2z=-2i+2,∴z=1-i.
1.若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
2.已知复数z=1+,则1+z+z2+…+z2 014为( )
A.1+i B.1-i
C.i D.1
答案 C
3.设复数z满足关系:z+||=2+i,那么z等于( )
A.-+i B.+i C.--i D.-i
答案 B
解析 设z=a+bi(a,b∈R),
由已知a+bi+=2+i
由复数相等可得,∴,
故z=+i.
4.已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数,则实数m的值为________.
答案
解析 z1z2=(1+2i)[m+(m-1)i]=[m-2(m-1)]+[2m+(m-1)]i=(2-m)+(3m-1)i,所以2-m=3m-1,即m=,且能使2-m=3m-1>0,满足题意.
5.设复数z=1+i,且=1-i,求实数a,b的值.
解 因为z=1+i,
所以z2+az+b=(a+2)i+a+b,z2-z+1=i,
所以==(a+2)-(a+b)i.
又=1-i.
所以解得
[呈重点、现规律]
1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算,其中除法运算的关键是将分母实数化;
2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现;
3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.
一、基础过关
1.复数+的虚部是( )
A.i B.
C.-i D.-
答案 B
解析 +=+=-+i.故选B.
2.设z=,则z的共轭复数为( )
A.-1+3i B.-1-3i
C.1+3i D.1-3i
答案 D
解析 由z===1+3i,
得=1-3i.
3.若(m2-5m+4)+(m2-2m)i>0,则实数m的值为( )
A.1 B.0或2 C.2 D.0
答案 D
解析 由,得m=0.
4.设a,b∈R且b≠0,若复数(a+bi)3是实数,则( )
A.b2=3a2 B.a2=3b2
C.b2=9a2 D.a2=9b2
答案 A
解析 若(a+bi)3=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i是实数,则3a2b-b3=0.由b≠0,得b2=3a2.故选A.
5.设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a=______.
答案 2
解析 设=bi(b∈R且b≠0),则1+ai=bi(2-i)=b+2bi,所以b=1,a=2.
6.复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD,则||=________.
答案
解析 设D点对应复数为z,∵=,
∴1-i=-z+(4+2i),∴z=3+3i,
∴对应的复数为2+3i,∴||=.
7.已知a∈R,则z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z对应的点的轨迹是什么?
解 ∵a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,
-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,
∴复数z的实部为正数,虚部为负数,∴复数z的对应点在第四象限.设z=x+yi(x、y∈R),
则消去a2-2a得:y=-x+2(x≥3).
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线,方程为y=-x+2(x≥3).
二、能力提升
8.在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
解析 (2-i)2=4-4i+i2=3-4i,∴对应点坐标(3,-4),位于第四象限.
9.设i是虚数单位.是复数z的共轭复数.若z·i+2=2z,则z等于( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
答案 A
解析 设z=a+bi,a,b∈R
代入z·i+2=2z,整理得:(a2+b2)i+2=2a+2bi
则解得因此z=1+i.
10.已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b=________.
答案 -1
解析 由题意或
因为a≠b,ab≠0,
或
因此a+b=-1.
11.设复数z=,若z2+a·z+b=1+i,求实数a,b的值.
解 z===
==1-i.
因为z2+a·z+b=1+i,
所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i.
所以(a+b)-(a+2)i=1+i.
所以解得a=-3,b=4.
即实数a,b的值分别是-3,4.
12.在复平面内,O是原点,向量对应的复数是2+i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为B,求向量对应的复数;
(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C,求点C对应的复数.
解 (1)设所求向量对应的复数为z1=a+bi(a,b∈R),则点B的坐标为(a,b).
已知A(2,1),由对称性可知a=2,b=-1.
所以对应的复数为z1=2-i.
(2)设所求点C对应的复数为z2=c+di(c,d∈R),
则C(c,d).由(1),得B(2,-1).
由对称性可知,c=-2,d=-1.
故点C对应的复数为z2=-2-i.
三、探究与拓展
13.是否存在复数z,使其满足·z+2i=3+ai?如果存在,求实数a的取值范围;如果不存在,请说明理由.
解 设z=x+yi(x,y∈R),则原条件等式可化为x2+y2+2i(x-yi)=3+ai.
由复数相等的充要条件,得
消去x,得y2+2y+-3=0.
所以当Δ=4-4=16-a2≥0,即-4≤a≤4时,复数z存在.
故存在满足条件的复数z,且实数a的取值范围为-4≤a≤4.