2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题20 三角形中的不等和最值问题（测）（解析版） 9页

专题20 三角形中的不等和最值问题 ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ ‎(一)选择题(12*5=60分)‎ ‎1、在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于(　　)‎ A．4 B．14 C．4或14 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为a－b＝4，所以b＝a－4且a>b.又a＋c＝2b，所以c＝a－8，所以a大于c，则A＝120°.‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(a－4)2＋(a－8)2－2(a－4)·(a－8)·，所以a2－18a＋56＝0.‎ 所以a＝14或a＝4(舍去)．‎ ‎2、椭圆E：＋＝1(a>0)的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，若△FAB周长的最大值是8，则m的值等于(　　)‎ A．0 B．1‎ C. D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】设椭圆的左焦点为F′，则△FAB的周长为AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a＝8，所以 a＝2，当直线AB过焦点F′(－1,0)时，△FAB的周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.‎ ‎3.【2020届重庆市九校联盟高三联考】已知分别是内角的对边， ，当时， 面积的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，故(当且仅当时取等号)，故选：C．‎ ‎4、在中，角所对的边长分别为．若，，则 A． B． C． D．与的大小关系不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】因为，，所以，‎ 所以，因为，所以，所以．‎ ‎5.在中，的对边分别是，其中，则角A的取值范围一定属于( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理： ,得： ‎ 因为 ，所以， 或，故选B.‎ ‎6.【齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2020 届高联考】在中，角所对的边分别为，若,则当取最小值时， =( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理得 , ,‎ ‎ ,当 ，即时取最小值.故答案为：C.‎ ‎7.【2020届江西省赣州市高三期末】在中，内角的对边分别为，满足，且，则的最小值为( )‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，得，由余弦定理 ‎，即，所以的最小值为2.故选A.‎ ‎8.【山东省日照一中220届高三上学期第二次检测】已知M是△ABC内的一点，且=4，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，则的最小值是(　　)‎ A．20 B．18 C．16 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为=4，∠BAC=30°，所以.‎ 所以. 因为△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，所以，所以 .所以.‎ 当且仅当 即时，上式取“=”号.所以时，取最小值9.‎ ‎9. 在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝，S为△ABC的面积，则S＋cos Bcos C的最大值为(　　)‎ A. 1 B. ＋1 C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵a2＝b2＋c2＋bc，∴cos A＝∴A＝.设△ABC外接圆的半径为R，则2R＝＝2，∴R＝1，∴S＋cosBcosC＝bcsinA＋cosBcosC＝bc＋cos Bcos C＝sin Bsin C＋cos Bcos C＝cos(B－C)，故S＋cos Bcos C的最大值为.故选C ‎10.在中，角所对边的长为，设为边上的高，且，则的最大值是( )‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】，.‎ ‎11．在非直角中 “”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】在非直角中 ， 由“”不能推出“”，如0此时满足，但，不满足，所以不充分；反之，当时，也不能推出，如A为锐角，B为钝角时有，但，所以也不必要．故选D．‎ ‎12.在中，内角所对的边分别为，已知， ， ，设的面积为， ，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理得 ‎ 因为，所以 ， ‎ ‎ ，当且仅当时取等.‎ 二、填空题(4*5=20分)‎ ‎13. 【安徽省黄山市2020届高三“八校联考”】在中，,，则当取最大值时=__________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理，，设，即 代入上式可得，，故，当时，此时，‎ 符合题意故由正弦定理得，解得故答案为 ‎14. 【贵州省2020届高三上学期测评卷】设的内角的对边分别为 ，若，且的面积为25，则周长的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，由余弦定理可得：，‎ 即，即，即，所以三角形的面积为，则的周长为，当时取得等号，所以的周长最小值为.‎ ‎15. 已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为1＋，则AC边的长的最小值是________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝3B，又A＋B＋C＝π，∴B＝.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由S△ABC＝acsin B＝1＋得ac＝2(2＋)，由余弦定理及a2＋c2≥2ac，得b2≥(2－)ac，即b2≥(2－)×2(2＋)，∴b≥2(当且仅当a＝c时等号成立)，∴AC边的长的最小值为2.‎ ‎16. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】因为，的平分线交于点，所以，由三角形的面积公式可得，化简得，又，，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为9．‎ 三、解答题(6*12=72分)‎ ‎17.在中，内角所对的边为，满足.‎ ‎(1)求；(2)若，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)由正弦定理和可得：‎ ‎ ‎ 因为为三角形内角，故， ，∵，∴‎ ‎(2)由条件， ，故，即，‎ 故的面积的最大值为.‎ ‎18.已知的角所对的边分别是，设向量，，.‎ ‎(I)若∥，求角B的大小； (II)若，边长，求的面积的最大值．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】(1)∵∥ ，，‎ ‎(2)由得，由均值不等式有(当且仅当时等号成立)，‎ 又,‎ 所以,从而(当且仅当时等号成立)，‎ 于是，即当时，的面积有最大值．‎ ‎19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)求的最小值．‎ 解析】(Ⅰ)由，得，‎ 所以，由正弦定理，得．‎ ‎(Ⅱ)由．‎ 所以的最小值为．‎ ‎20.【河北省唐山一中2020届高三期中】已知函数 ‎(1)求函数的对称轴；对称中心；单调递增区间；‎ ‎(2)在中，分别是所对的边，当时，求内切圆面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)对称轴为，对称中心为，‎ 单调递增区间为 ； (2).‎ ‎【解析】(1)，对称轴为，对称中心为 单调递增区间为 ‎(2) 由 ，由得 由余弦定理,即， ‎ 由基本不等式得，，内切圆面积最大值为 ‎21．【2020届四川省广元市高三第一次高考适应性统考】设函数 .‎ ‎(1)求的最大值，并写出使取最大值时的集合；‎ ‎(2)已知中，角的对边分别为，若， ，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) 的最大值为2, 的集合为； (2) ‎ ‎【解析】(1)由题意得 ‎ ，∵，∴，‎ ‎∴的最大值为2．此时，即，‎ 所以的集合为.‎ ‎(2)由题意得，∴，‎ ‎∵∴，∴，∴‎ 在中， ， ，由余弦定理得 又，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为.‎ ‎22、已知椭圆的左顶点为，离心率为．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】(1)由题意可得：，，得，则.所以椭圆.‎ ‎(2)当直线与轴重合时，不妨取，此时；‎ 当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，‎ 联立得，显然，，.‎ 所以 ‎.‎ 当时，取最大值.此时直线方程为，‎ 不妨取，所以.又，所以的面积 ‎【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题.(1)由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程.(2)设l的直线方程为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标和，进而得到关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积.‎