专题21+分类与整合思想、化归与转化思想（命题猜想）-2019年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 10页

‎【考点定位】分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大.‎ ‎【命题热点突破一】分类与整合思想 分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论. ‎ 方法一、公式、定理分类整合法 公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法．此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况．破解此类题的关键点：‎ ‎①分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准．‎ ‎②依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解．‎ ‎③汇总结论，汇总分类结果，得结论．‎ 例1、若一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为(　　)‎ A.x＋y－7＝0‎ B.2x－5y＝0‎ C.x＋y－7＝0或2x－5y＝0‎ D.x＋y＋7＝0或2y－5x＝0‎ 答案　C 解析　设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，求得a＝7，则直线方程为x＋y－7＝0.‎ ‎【变式探究】已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为(　　)‎ A.8 B.10　C.16 D.32‎ 答案　D 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.‎ 因为Sn＝2an－2，‎ 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，‎ 两式相减得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，‎ 则数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，‎ 则S5－S4＝a5＝25＝32.‎ ‎【变式探究】已知集合A＝，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若A∩B＝B，则所有符合条件的实数m组成的集合是(　　)‎ A.{0，－1，2} B. C.{－1，2} D. 答案　A 解析　因为A∩B＝B，所以B⊆A.若B为∅，则m＝0；‎ 若B≠∅，则－m－1＝0或m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{0，－1，2}.故选A.‎ ‎【变式探究】设函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则实数a的所有可能取值的集合是________. ‎ ‎③得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．‎ 例2、已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为(　　)‎ A. B.4　C. D.4或 答案　D 解析　当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×××4＝4 ；‎ 当长、宽分别为4和6时，体积V＝×××6＝.‎ ‎【变式探究】已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于(　　)‎ A.－ B.　C.0 D.0或－ 答案　D 解析　不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足.‎ 结合图形可知斜率k的值为0或－.‎ ‎【变式探究】设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率为________.‎ 答案　或 解析　不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t>0.‎ 若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，‎ ‎|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；‎ 若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，‎ ‎|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.‎ 综上，曲线C的离心率为或.‎ ‎【变式探究】抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________.‎ 答案　4‎ 解析　当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，‎ 若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，‎ 又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，‎ 当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.‎ ‎∴符合要求的点P有4个.‎ ‎【变式探究】在约束条件下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是(　　)‎ A．[6,15] B．[7,15]‎ C．[6,8] D．[7,8]‎ 解析　由可得 由图，可得A(2,0)，‎ B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．‎ ‎①当3≤s<4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC及其内部，此时，z＝3x＋2y在点B处取得最大值，且zmax＝3(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤zmax<8.‎ ‎②当4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△OAC′及其内部，此时z＝3x＋2y在点C′处取得最大值，且zmax＝8.‎ 综上可知，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]，故选D.‎ 答案　D ‎【特别提醒】　(1)在解析几何位置关系的研究中，不能仅仅关注直线与圆锥曲线的位置关系中的相交、相离和相切三种情况，还要注意焦点在不同位置时的关系的探究．‎ ‎(2)在几何图形的相关问题中，要充分发挥空间想象能力，将所有可能出现的关系“一网打尽”．如本题随着s取值的变化，目标函数值是会随着变化的，如果考虑不全，就会得出错误结论．‎ ‎【变式探究】抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________．‎ 答案　4‎ 解析　当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝，‎ 若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，‎ 又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，‎ 当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P有4个．‎ 方法三　含参问题的分类整合法 含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类．此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，因此要分类讨论．破解此类题的关键点：‎ ‎①确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．‎ ‎②确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．‎ ‎③分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解．‎ ‎④得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论．‎ 例3、已知实数a，x，a>0且a≠1，则“ax>1”的充要条件为(　　)‎ A.01，x>0　C.(a－1)x>0 D.x≠0‎ 答案　C 解析　由ax>1知，ax>a0，当01时，x>0.‎ 故“ax>1”的充要条件为“(a－1)x>0”.‎ ‎【变式探究】若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)‎ C.(－∞，0) D.(0，＋∞)‎ 答案　B 解析　当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.‎ 当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋4x－3＝a2－3－，其对称轴为x＝－.‎ 当a>0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.‎ 当a<0时，只有当－≥2，即－1≤a<0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.‎ 综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2).‎ 故选B.‎ ‎【变式探究】设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(7，＋∞) B.(－∞，－2)∪(6，＋∞)‎ C.(－∞，－2) D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)‎ 答案　A 解析　由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过点(2，0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.‎ 由函数的图象知，当a>6时，若g(x0)<0，则x0<2，‎ ‎∴要使f(x0)<0，则需解得a>7.‎ 当a<－2时，若g(x0)<0，则x0>2，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝<－1，‎ 故函数f(x)在区间上为增函数，‎ 又f(1)＝4，∴f(x0)<0不成立.‎ 综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).‎ ‎【变式探究】函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)‎ C．(－∞，0) D．(0，＋∞)‎ 解析　方法一　当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．‎ 当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋4x－3＝a2－3－，其对称轴为x＝－.‎ 当a>0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．‎ 当a<0时，只有当－≥2，即－1≤a<0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．‎ 综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)．‎ 故选B.‎ ‎【特别提醒】对于含参问题的分类讨论主要有以下三种类型：(1)概念型，即问题所涉及的数学概念是分类进行定义的，如|a|的定义分a>0，a＝0，a<0三种情况．‎ ‎(2)性质型，即问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制、或者是分类给出的，如等比数列的前n项和公式，分q＝1和q≠1两种情况．‎ ‎(3)含参型，求解含有参数的问题时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性．‎ ‎【变式探究】已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且F2到直线x－y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t>0)，且经过F1，F2两点，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值．‎ 解　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 依题意可得2b＝＝4，‎ 所以b＝2，又c＝1，所以a2＝b2＋c2＝5，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设Q(x，y)，‎ 圆P的方程为x2＋(y－t)2＝t2＋1，‎ 连接PM，因为QM为圆P的切线，‎ 所以PM⊥QM，‎ 所以|QM|＝ ‎＝ ‎＝ .‎ ‎①若－4t≤－2，即t≥时，‎ 当y＝－2时，|QM|取得最大值，‎ 且|QM|max＝＝，‎ 解得t＝<(舍去)．‎ ‎②若－4t>－2，即00)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于(　　)‎ A.2a B.　C.4a D. 答案　C 解析　抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)，焦点F.‎ 过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，∴＋＝4a.‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－1] B.[12，＋∞)‎ C.[－1，12] D. 答案　D 解析　当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A，B；‎ 当a＝－时，函数f(x)＝x3－x，‎ f′(x)＝x2－＝(x2－1)，‎ 当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上为减函数，‎ 所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，满足条件，故排除C.‎ 综上，选D.‎ ‎【变式探究】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.‎ 答案　 解析　令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝，‎ 代入所求式子，得＝＝.‎ 二、命题的等价转化 将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.‎ 例2.由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是(　　)‎ A.(－∞，1) B.(－∞，2)‎ C.1 D.2‎ 答案　C 解析　命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，‎ 可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，‎ 可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.‎ ‎【变式探究】如图所示，已知三棱锥P－ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC的体积为(　　) ‎ 答案　 ‎【变式探究】已知函数f(x)＝ln x.若不等式mf(x)≥a＋x对所有m∈[0，1]，x∈都成立，则实数a的取值范围为________.‎ 答案　(－∞，－e2]‎ 解析　由题意得，a≤mln x－x对所有的m∈[0，1]，x∈都成立，‎ 令H(m)＝ln x·m－x，m∈[0，1]，x∈是关于m的一次函数，‎ 因为x∈，所以－1≤ln x≤2，‎ 所以所以所以 令g(x)＝ln x－x，所以g′(x)＝，‎ 所以函数g(x)在上是增函数，在[1，e2]上是减函数，‎ 所以g(x)min＝g(e2)＝2－e2，所以a≤2－e2.‎ 综上知a≤－e2.‎