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- 2021-07-01 发布
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长春市第九教育联盟2017-2018学年度高二下学期期初考试
数学(文科)试题
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项
是符合题目要求的
1.若复数,则( )
A. B. C. D.
2.在区间上任取一个实数,则的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知命题的否定是,命题双曲线的离心率为2,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
4.命题“”是命题“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
5.某中学有高中生960人,初中生480人,为了了解学生的身体状况,采用分层抽样的方法,从该校学生中抽取容量为的样本,其中高中生有24人,那么等于( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
6.已知双曲线 的离心率为,则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.空间两条直线、与直线都成异面直线,则、的位置关系是( ).
A. 平行或相交 B. 异面或平行 C. 异面或相交 D. 平行或异面或相交
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. 64 B. 32 C. 96 D. 48
9.函数f(x)=x2-lnx的最小值为( )
A. B. 1 C. 0 D. 不存在
10.已知直线与抛物线: 相交于, 两点,若线段的中点为,则直线的方程为( )
A. B. C. D.
11.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知抛物线: 经过点,过焦点的直线与抛物线交于, 两点, ,若,则( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90 分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知直线与圆有公共点,则实数的取值范围是_____.
14.已知两个球的表面积之比为,则这两个球的半径之比为__________.
15.观察下列各式: , , , ,
,…,则= _________.
16.已知函数在点处的切线方程为,则函数
在点处的切线方程为__________.
三、解答题:本题共6小题,共70分.
17.(本题满分12分)已知函数,求:
(1)函数的图象在点处的切线方程;
(2)的单调递减区间.
18.(本题满分12分)某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩,分组为
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率分布直方
图如图所示:
(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1);
(2)年级决定在成绩[70,100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组,对高一年级学
生课外学习数学的情况做一个调查,则在[70,80),[80,90),[90,100]这三组分别
抽取了多少人?
(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有
1人当选为正、副小组长的概率.
[]
19.(本题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,
PA=2,∠PDA=450,点E、F分别为棱AB、PD的中点.
(1)求证:AF∥平面PCE;
(2)求三棱锥C-BEP的体积.
20.(本题满分12分)已知椭圆的两个焦点为,,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于,两点,线段的垂直平分线交轴于
点,当变化时,求面积的最大值.
21.(本题满分12分)已知函数, .
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明.
22.(本题满分10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数, ),以原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线与的直角坐标方程;
(2)当与有两个公共点时,求实数的取值范围.
长春市第九教育联盟第一学程高二数学(文科)参考答案
一、 选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.D 8.A
9 A 10.D 11.A 12. B
二、填空题
13. 14. 15.199 16.
三、解答题
17.解:(1)∵
∴, ∴, 又,
∴函数的图象在点处的切线方程为,
即。 ………………6分
(2)由(1)得,
令,解得或。
∴函数的单调递减区间为。 ………………12分
18.解:(1)由频率分布直方图得:众数为:=65.
成绩在[50,70)内的频率为:(0.005+0.035)×10=0.4,
成绩在[70,80)内的频率为:0.03×10=0.3,
∴中位数为:70+×10≈73.3. ………………4分
(2)成绩为[70,80)、[80,90)、[90,100]这三组的频率分别为0.3,0.2,0.1,
∴[70,80)、[80,90)、[90,100]这三组抽取的人数分别为3人,2人,1人.
…………………8分
(3)由(2)知成绩在[70,80)有3人,分别记为a,b,c;
成绩在[80,90)有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]有1人,记为f.
∴从(2)中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有种,分别为:
ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,
dc,ce,ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe,
记“成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q,
则事件Q包含的基本事件有18种,
∴成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率P(Q)=.
…………………12分
19.解:(1)证明:取PC的中点G,连接GF,因为F为PD的中点,
所以,GF∥CD且又E为AB的中点,ABCD是正方形,
所以,AE∥CD且故AE∥GF且
所以,AEGF是平行四边形,故AF∥EG,而平面,[]
平面,所以,AF∥平面. ………………6分
(2)因为PA⊥底面ABCD,所以,PA是三棱锥P-EBC的高,PA⊥AD,PA=2,
∠PDA=450,所以,AD=2,正方形ABCD中,E为AB的中点,所以,EB=1,故
的面积为1,故.
故三棱锥C-BEP的体积为. ………………12分
20.解:(1)由离心率,半焦距,解得.
所以,所以椭圆的方程是. ………………4分
(2)解:设,,
据得
∵直线与椭圆有两个不同的交点,
∴,又,所以且.
由根与系数的关系得, …………6分
设线段中点为,点横坐标,,∴,
∴线段垂直平分线方程为,∴点坐标为,
点到直线的距离, ……………… 9分
又,
所以,
所以当时,三角形面积最大,且. …………………12分
21.解:(1)函数的定义域为,且.………1分
当时, , 在上单调递增; ………………3分
当时,若时,则,函数在上单调递增;若时,则,函数在上单调递减. ………………5分
(2)由(1)知,当时, .…………7分
要证,只需证,即只需证
构造函数,则.
所以在单调递减,在单调递增.
所以.
所以恒成立,所以 . …………12分
22.解:(1)∵曲线的参数方程为(为参数, ),
∴曲线的普通方程为: (, ),
∵曲线的极坐标方程为,
∴曲线的直角坐标方程为. …………5分
(2)∵曲线的普通方程为: (, )为半圆弧,由曲线于有两个公共点,则当与相切时,得,整理得
,
∴或(舍去),
当过点时, ,所以t=-1.
∴当与有两个公共点时, . …………10分
若复数,则( )
A. B. C. D.
2.在区间上任取一个实数,则的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知命题的否定是,命题双曲线的离心率为2,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
4.命题“