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  • 2021-07-01 发布

数学(文)卷·2019届吉林省长春市十一高中等九校高二下学期期初考试(2018-03)

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长春市第九教育联盟2017-2018学年度高二下学期期初考试 ‎ 数学(文科)试题 ‎ 第Ⅰ卷(共 60 分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的 ‎1.若复数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.在区间上任取一个实数,则的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知命题的否定是,命题双曲线的离心率为2,则下列命题中为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.命题“”是命题“直线与直线平行”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎5.某中学有高中生960人,初中生480人,为了了解学生的身体状况,采用分层抽样的方法,从该校学生中抽取容量为的样本,其中高中生有24人,那么等于( )‎ A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 ‎ ‎6.已知双曲线 的离心率为,则的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.空间两条直线、与直线都成异面直线,则、的位置关系是( ).‎ A. 平行或相交 B. 异面或平行 C. 异面或相交 D. 平行或异面或相交 ‎8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. 64 B. 32 C. 96 D. 48‎ ‎9.函数f(x)=x2-lnx的最小值为(  )‎ A. B. 1 C. 0 D. 不存在 ‎10.已知直线与抛物线: 相交于, 两点,若线段的中点为,则直线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知抛物线: 经过点,过焦点的直线与抛物线交于, 两点, ,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(共90 分)‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知直线与圆有公共点,则实数的取值范围是_____.‎ ‎14.已知两个球的表面积之比为,则这两个球的半径之比为__________.‎ ‎15.观察下列各式: , , , , ‎ ‎,…,则= _________. ‎ ‎16.已知函数在点处的切线方程为,则函数 在点处的切线方程为__________.‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分. ‎ ‎17.(本题满分12分)已知函数,求:‎ ‎(1)函数的图象在点处的切线方程;‎ ‎(2)的单调递减区间.‎ ‎18.(本题满分12分)某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩,分组为 ‎[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率分布直方 图如图所示:‎ ‎(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1);‎ ‎(2)年级决定在成绩[70,100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组,对高一年级学 生课外学习数学的情况做一个调查,则在[70,80),[80,90),[90,100]这三组分别 抽取了多少人?‎ ‎(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有 ‎1人当选为正、副小组长的概率.‎ ‎[]‎ ‎19.(本题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,‎ PA=2,∠PDA=450,点E、F分别为棱AB、PD的中点.‎ ‎(1)求证:AF∥平面PCE;‎ ‎(2)求三棱锥C-BEP的体积.‎ ‎20.(本题满分12分)已知椭圆的两个焦点为,,离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线与椭圆交于,两点,线段的垂直平分线交轴于 点,当变化时,求面积的最大值.‎ ‎21.(本题满分12分)已知函数, .‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)当时,证明.‎ ‎22.(本题满分10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数, ),以原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线与的直角坐标方程;‎ ‎(2)当与有两个公共点时,求实数的取值范围.‎ 长春市第九教育联盟第一学程高二数学(文科)参考答案 一、 选择题 ‎1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.D 8.A ‎ ‎9 A 10.D 11.A 12. B 二、填空题 ‎13. 14. 15.199 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)∵‎ ‎∴, ∴, 又,‎ ‎∴函数的图象在点处的切线方程为,‎ 即。 ………………6分 ‎(2)由(1)得,‎ 令,解得或。‎ ‎∴函数的单调递减区间为。 ………………12分 ‎18.解:(1)由频率分布直方图得:众数为:=65.‎ 成绩在[50,70)内的频率为:(0.005+0.035)×10=0.4,‎ 成绩在[70,80)内的频率为:0.03×10=0.3,‎ ‎ ∴中位数为:70+×10≈73.3. ………………4分 ‎ ‎(2)成绩为[70,80)、[80,90)、[90,100]这三组的频率分别为0.3,0.2,0.1,‎ ‎∴[70,80)、[80,90)、[90,100]这三组抽取的人数分别为3人,2人,1人.‎ ‎…………………8分 ‎(3)由(2)知成绩在[70,80)有3人,分别记为a,b,c;‎ 成绩在[80,90)有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]有1人,记为f.‎ ‎∴从(2)中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有种,分别为:‎ ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,‎ dc,ce,ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe,‎ 记“成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q,‎ 则事件Q包含的基本事件有18种,‎ ‎∴成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率P(Q)=.‎ ‎…………………12分 ‎19.解:(1)证明:取PC的中点G,连接GF,因为F为PD的中点,‎ 所以,GF∥CD且又E为AB的中点,ABCD是正方形,‎ 所以,AE∥CD且故AE∥GF且 所以,AEGF是平行四边形,故AF∥EG,而平面,[]‎ 平面,所以,AF∥平面. ………………6分 ‎(2)因为PA⊥底面ABCD,所以,PA是三棱锥P-EBC的高,PA⊥AD,PA=2,‎ ‎∠PDA=450,所以,AD=2,正方形ABCD中,E为AB的中点,所以,EB=1,故 的面积为1,故.‎ 故三棱锥C-BEP的体积为. ………………12分 ‎20.解:(1)由离心率,半焦距,解得.‎ 所以,所以椭圆的方程是. ………………4分 ‎(2)解:设,,‎ 据得 ‎∵直线与椭圆有两个不同的交点,‎ ‎∴,又,所以且.‎ 由根与系数的关系得, …………6分 设线段中点为,点横坐标,,∴,‎ ‎∴线段垂直平分线方程为,∴点坐标为,‎ 点到直线的距离, ……………… 9分 又,‎ 所以,‎ 所以当时,三角形面积最大,且. …………………12分 ‎21.解:(1)函数的定义域为,且.………1分 当时, , 在上单调递增; ………………3分 当时,若时,则,函数在上单调递增;若时,则,函数在上单调递减. ………………5分 ‎(2)由(1)知,当时, .…………7分 要证,只需证,即只需证 构造函数,则.‎ 所以在单调递减,在单调递增.‎ 所以.‎ 所以恒成立,所以 . …………12分 ‎22.解:(1)∵曲线的参数方程为(为参数, ),‎ ‎∴曲线的普通方程为: (, ),‎ ‎∵曲线的极坐标方程为,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为. …………5分 ‎(2)∵曲线的普通方程为: (, )为半圆弧,由曲线于有两个公共点,则当与相切时,得,整理得 ‎,‎ ‎∴或(舍去),‎ 当过点时, ,所以t=-1.‎ ‎∴当与有两个公共点时, . …………10分 若复数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.在区间上任取一个实数,则的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知命题的否定是,命题双曲线的离心率为2,则下列命题中为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.命题“‎