数学(理)卷·2019届新疆兵团第二师华山中学高二下学期期末考试（2018-01） 9页

‎2017-2018学年第一学期高二年级期末考试 数学（理科） 试卷 ‎（考试时间：120分钟，满分：150分） 命题教师：陈瑾 一、选择题：（12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1、已知复数z满足iz=2+3i，则z对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 ‎ C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2、设命题p：∀x＞0，x-lnx＞0，则￢p为 A. ∃x0＞0，x0-lnx0＞0 B. ∃x0＞0，x0-lnx0≤0 C. ∀x＞0，x-lnx＜0 D. ∀x＞0，x-lnx≤0‎ ‎3、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（　　）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ 4、 已知命题p，q，“￢p为真”是“p∧q为假”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5、已知双曲线的一条渐近线为，则实数a的值为 A. B. 2 C. D. 4‎ ‎6、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. - D. - ‎ ‎7、函数f（x）=2x2-4lnx的单调减区间为 A. （-1，1） B. （1，+∞） C. （0，1） D. [-1，0）‎ ‎8、由曲线xy=1与直线y=x，y=3所围成的封闭图形面积为 A. 2-ln3 B. 4-ln3 C. 2 D. ln3‎ ‎9、若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则+的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎10、《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是 A. 合情推理 B. 归纳推理 C. 类比推理 D. 演绎推理 ‎11、已知F是椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎12、若函数f（x）=4-x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立，则a的取值范围是（　　）‎ A. {2} B. （，2] C. [2，3） D. （1，2]‎ 二、填空题：（4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13、 ‎ ‎14、统计某产品的广告费用x与销售额y的一组数据如表：‎ 广告费用x ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售额y ‎7‎ m ‎9‎ ‎12‎ 若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，则数据中的m的值应该是______．‎ ‎15、点P是双曲线x2-=1（b＞0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|=6，PF1⊥PF2，则双曲线的离心率为 ‎ 16、 若函数y=ex+ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ‎ 三、解答题：（6小题，共70分）‎ ‎17（10分）、设命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x-3）（x-2）≤0． （1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围． （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18（12分）、已知集合A={（x，y）︱x∈[0，2]，y∈[-1，1]}． （1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率； （2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．‎ ‎19（12分）、已知抛物线y2=-x与直线y=k（x+1）相交于A，B两点． （1）求证：OA⊥OB； （2）当AB的弦长等于时，求k的值．‎ ‎20（12分）、如图，在四棱锥P-ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M． （1）求证：AM⊥PD （2）求点D到平面ACM的距离． ‎ ‎ ‎ ‎21（12分）、已知点P（0，-2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线PF的斜率为2，O为坐标原点． （1）求椭圆E的方程； （2）直线l被圆O：x2+y2=3截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．‎ ‎22（12分）、已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=． （1）求f（x）的最小值； （2）求证：f（x）＞g（x）； （3）若f（x）+ax+b≥0，求的最小值．‎ ‎2017-2018高二期末考试数学（理科）试卷 一、 选择题：（12小题，每题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C A D A C B C A B A ‎3、解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件， 当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件， 当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件， 当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件， 故输出的n值为4，故选C． 4、解：若“￢p为真”，则p为假，“p∧q为假”， 若“p∧q为假”，则可能p真q假，则“￢p为真”不成立， 故“￢p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选：A． 5、解：∵双曲线的渐近线为，∴，解得a=4，故选D． 6、解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点， A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1）， =（-2，1，2），=（-2，0，1）， 设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ===． ∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．故选：A． 7、解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=4x-=， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故选：C．‎ ‎8、解：方法一：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3），由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，‎ ‎3）， ∴由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为 （3-）dx+（3-x）dx=（3x-lnx）+（3x-x2），=（3-1-ln3）+（9--3+）=4-ln3 故选：B． 方法二：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3），由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1）， 由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3）， 对y积分，则S=（y-）dy=（y2-lny）=-ln3-（-0）=4-ln3， 故选B． 9、解：函数f（x）=4x3-ax2-2bx的导数为f′（x）=12x2-2ax-2b， 由函数f（x）=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，可得f′（1）=0，即12-2a-2b=0，即为a+b=6，（a，b＞0），则+=（a+b）（+）=（5++）≥•（5+2）=•（5+4）=． 当且仅当=，即有a=2b=4时，取得最小值．故选：C． 11、解：根据椭圆几何性质可知|PF|=，|AF|=a+c，所以=（a+c），即4b2=3a2-3ac， 因为b2=a2-c2，所以有4a2-4c2=3a2-3ac，整理可得4c2+3ac-a2=0，两边同除以a2得：4e2+3e-1=0， 所以（4e-1）（e+1）=0，由于0＜e＜1，所以e=．故选：B ‎ ‎12、解：函数f（x）=4-x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立⇔x2-1-alnx≥0对∀x＞0恒成立． 令g（x）=x2-1-alnx，， ①当a≤0时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在（0，+∞）单调递增，而g（1）=0，故不符合题意； ②当a＞0时，令g′（x）=0，x，g（x）在x=处有极小值，而g（1）=0 ∴，∴a=2， 故选：A 二、填空题：（4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13、解：（x2+x）|=6； 14、解：由题意，=4，=7+，∵y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，∴7+=4.4+4.6，∴m=8‎ ‎15、解：根据题意，点P是双曲线x2-=1（b＞0）上一点，则有||PF1|-|PF2||=2a=2， 设|PF1|＞|PF2|，则有|PF1|-|PF2|=2，又由|PF1|+|PF2|=6，解可得：|PF1|=4，|PF2|=2， 又由PF1⊥PF2，则有|PF1|2+|PF2|2=4c2=20，则c=， 又由a=1，则双曲线的离心率e==； 16、解：∵y=ex+ax，∴y'=ex+a．由题意知ex+a=0有大于0的实根，由ex=-a，得a=-ex， ∵x＞0，∴ex＞1．∴a＜-1． 三、解答题：（6小题，共70分）‎ ‎17解：（1）由（x-1）（x-3）＜0，得P={x|1＜x＜3}，由（x-3）（x-2）≤0，可得Q={x|2≤x≤3}， 由p∧q为真，即为p，q均为真命题，可得x的取值范围是2≤x＜3； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件， 由题意可得P={x|a＜x＜3a}， Q={x|2≤x≤3}，由Q⊊P，可得a＜2且3＜3a，解得1＜a＜2．‎ ‎18、解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[-1，1]，即y=-1，0，1． 则基本事件有：（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，1）共9个． 其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=． 故x，y∈Z，x+y≥0的概率为． （2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B， ∵x∈[0，2]， y∈[-1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分． 基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S-= ∴P（B）==．‎ ‎19、解：（1）证明：由方程y2=-x，y=k（x+1）消去x后，整理得ky2+y-k=0． 设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=-1． ∵A、B在抛物线y2=-x上，∴y12=-x1，y22=-x2，y12•y22=x1x2．∵kOA•kOB=•===-1，∴OA⊥OB． （2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0）． ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|•|y1-y2|， ∴S△OAB=•1•=．∵S△OAB=，∴=．解得k=±．‎ ‎20、证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， ∴AB⊥AD，AB⊥PA，∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵BM⊥PD于点M，AB∩BM=B，∴PD⊥平面ABM，∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD． 解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴， 建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，2，0），P（0，0，2），D（0，2，0），M（0，1，1）， =（0，2，0），=（1，2，0），=（0，1，1）， 设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，-1，1）， ∴点D到平面ACM的距离：d===．‎ ‎21、解：（1）设F（c，0），由已知得，直线PF的斜率k=，得c=1，又， 则，b=1，故椭圆E的方程为 （2）记点O到直线l的距离为d，则， ①当直线l与y轴平行时，直线l的方程为，易求，∴， ②当直线l与y轴不平行时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由已知得，∴，．‎ ‎ 由得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，又△=10k2+2＞0， ∴，，∴， ，当且仅当k=±1时取等号， 综上当k=±1时，△AOB面积的最大值为 ‎22、（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1-=， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1， 令f′（x）＞0，解得：x＞1， ∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）的最小值是f（1）=1； （2）证明：g（x）=，g′（x）=， 令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e， 故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故g（x）max=g（e）=， 由（1）f（x）min=f（1）=1＞g（e）=，故f（x）＞g（x）； （3）解：f（x）+ax+b≥0，即x-lnx+ax+b≥0．∴b≥lnx-ax-x， 令h（x）=lnx-ax-x，h′（x）==， 若a+1≤0，则h′（x）＞0，h（x）为增函数，无最大值； 若a+1＞0，由h′（x）＞0，得0＜x＜，由h′（x）＜0，得x＞， ∴h（x）在（0，）上为增函数，在（）上为减函数， ∴h（x）≤h（）=-1-ln（a+1）．∴b≥-1-ln（a+1），∴． 设φ（a）=．则φ′（a）=， 由φ′（a）＞0，得a＞e-1；由φ′（a）＜0，得-1＜a＜e-1． ∴φ（a）≥φ（e-1）=．∴的最小值为．‎