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- 2021-07-01 发布
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函数的单调性与导数
知识回顾
判断函数单调性有哪些方法?
比如:判断函数 的单调性。
x
y
o
函数在 上为
____
函数,
在 上为
____
函数。
图象法
定义法
减
增
如图:
图象是单调上升的
.
观察下列图象的单调区间
,
并求单调区间相应的导数
.
图象是单调下降的
.
在
x
∈(
-
∞,0)
内
图象是单调上升的
.
在
x
∈( 0,+∞)
内
图象是单调上升的
.
图象是单调下降的
.
在
x
∈(
-
∞,0)
内
图象是单调下降的
.
在
x
∈( 0,+∞)
内
函数的单调性与其导函数正负的关系
:
当函数
y
=
f
(
x
)
在某个区间内可导时,
如果
,
则
f
(
x
)
为增函数;
如果
,
则
f
(
x
)
为减函数。
单调性
导数的正负
函数及图象
x
y
o
x
y
o
切线斜率
的正负
x
y
o
函数单调性与导数的关系?
函数单调性与导数正负的关系
注意:
应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义, 它必是定义域内的某个区间。
1
.应用导数求函数的单调区间
(
选填
:“
增”
,“
减”
,“
既不是增函数
,
也不是减函数”
)
(1)
函数
y=x
-
3
在
[
-
3
,
5]
上为
__________
函数。
(2)
函数
y = x
2
-
3x
在
[2
,
+∞)
上为
_____
函数,
在
(
-
∞
,1]
上为
______
函数,在
[1,2]
上为
__
__________________________________
函数。
基础训练:
应用举例
增
增
减
既不是增函数
,
也不是减函数
求函数 的单调区间。
例
1
变
1
:
求函数 的单调区间。
理解训练:
解
:
的单调递增区间为
单调递减区间为
解
:
的单调递增区间为
单调递减区间为
变
3
:
求函数 的单调区间。
变
2
:
求函数 的单调区间。
巩固提高:
解
:
解
:
例
2
、已知导函数 的下列信息:
当
1<
x
<4
时,
当
x
>4,
或
x
<1
时,
当
x
=4,
或
x
=1
时,
试画出函数
f
(
x
)
图象的大致形状。
4
1
解:由题意可知
当
1<
x
<4
时,
f
(
x
)
为增函数
当
x
>4,
或
x
<1
时,
f
(
x
)
为减函数
当
x
=4,
或
x
=1
时,
两点为“临界点”
其图象的大致形状如图。
例
3
、判断下列函数的单调性,并求出
单调区间:
(1)
f
(
x
)=
x
3
+3
x
;
解:
=3
x
2
+3=3(
x
2
+1)>0
从而函数
f
(
x
)=
x
3
+3
x
在
x
∈
R
上单调递增,
见右图。
(2)
f
(
x
)=
x
2
-
2
x
-
3 ;
解:
=2
x
-
2=2(
x
-
1)>0
图象见右图。
当
>0
,即
x
>1
时,函数单调递增;
当
<0
,即
x
<1
时,
函数单调递减;
(3)
f
(
x
)=sin
x
-
x
;
x
∈(0,
p)
解:
=cos
x
-
1<0
从而函数
f
(
x
)=sin
x
-
x
在
x
∈(0,
)
单调递减,
见右图。
(4)
f
(
x
)=2
x
3
+3
x
2
-
24
x
+
1 ;
解:
=6
x
2
+
6
x
-
24=6(
x
2
+
x
-
4)>0
当
>0
,
即 时,
函数单调递增;
图象见右图。
当
<0
,
即 时,
函数单调递减;
总结
:
当遇到三次或三次以上的
,
或图象很难
画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。
纳
①
求定义域
②
求
③
令
④
求定义域
1°
什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、
单调区间较简便?
2°
试总结用“导数法” 求单调区间的步骤?
归
高
考
试
(04
年全国理
)
B
x
y
o
尝
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
1
2
x
y
o
2
(A)
(B)
(C)
(D)
C
高
考
试
尝
设
是函数
的导函数,
的图象如
右图所示
,
则 的图象最有可能的是
(
)
例
3
、如图,水以常速
(
即单位时间内注入水的体积相同
)
注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度
h
与时间
t
的函数关系图象。
通过这堂课的研究,你明确了
,
你的收获与感受是
,
你存在的疑惑之处有
。
课堂小结