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  • 2021-07-01 发布

人教版高中数学选修1-1课件:5_导数在研究函数中的应用

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函数的单调性与导数 知识回顾 判断函数单调性有哪些方法? 比如:判断函数 的单调性。 x y o 函数在 上为 ____ 函数, 在 上为 ____ 函数。 图象法 定义法 减 增 如图: 图象是单调上升的 . 观察下列图象的单调区间 , 并求单调区间相应的导数 . 图象是单调下降的 . 在 x ∈( - ∞,0) 内 图象是单调上升的 . 在 x ∈( 0,+∞) 内 图象是单调上升的 . 图象是单调下降的 . 在 x ∈( - ∞,0) 内 图象是单调下降的 . 在 x ∈( 0,+∞) 内 函数的单调性与其导函数正负的关系 : 当函数 y = f ( x ) 在某个区间内可导时, 如果 , 则 f ( x ) 为增函数; 如果 , 则 f ( x ) 为减函数。 单调性 导数的正负 函数及图象 x y o x y o 切线斜率 的正负 x y o 函数单调性与导数的关系? 函数单调性与导数正负的关系 注意: 应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义, 它必是定义域内的某个区间。 1 .应用导数求函数的单调区间 ( 选填 :“ 增” ,“ 减” ,“ 既不是增函数 , 也不是减函数” ) (1) 函数 y=x - 3 在 [ - 3 , 5] 上为 __________ 函数。 (2) 函数 y = x 2 - 3x 在 [2 , +∞) 上为 _____ 函数, 在 ( - ∞ ,1] 上为 ______ 函数,在 [1,2] 上为 __ __________________________________ 函数。 基础训练: 应用举例 增 增 减 既不是增函数 , 也不是减函数 求函数 的单调区间。 例 1 变 1 : 求函数 的单调区间。 理解训练: 解 : 的单调递增区间为 单调递减区间为 解 : 的单调递增区间为 单调递减区间为 变 3 : 求函数 的单调区间。 变 2 : 求函数 的单调区间。 巩固提高: 解 : 解 : 例 2 、已知导函数 的下列信息: 当 1< x <4 时, 当 x >4, 或 x <1 时, 当 x =4, 或 x =1 时, 试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 4 1 解:由题意可知 当 1< x <4 时, f ( x ) 为增函数 当 x >4, 或 x <1 时, f ( x ) 为减函数 当 x =4, 或 x =1 时, 两点为“临界点” 其图象的大致形状如图。 例 3 、判断下列函数的单调性,并求出 单调区间: (1) f ( x )= x 3 +3 x ; 解: =3 x 2 +3=3( x 2 +1)>0 从而函数 f ( x )= x 3 +3 x 在 x ∈ R 上单调递增, 见右图。 (2) f ( x )= x 2 - 2 x - 3 ; 解: =2 x - 2=2( x - 1)>0 图象见右图。 当 >0 ,即 x >1 时,函数单调递增; 当 <0 ,即 x <1 时, 函数单调递减; (3) f ( x )=sin x - x ; x ∈(0, p) 解: =cos x - 1<0 从而函数 f ( x )=sin x - x 在 x ∈(0,  ) 单调递减, 见右图。 (4) f ( x )=2 x 3 +3 x 2 - 24 x + 1 ; 解: =6 x 2 + 6 x - 24=6( x 2 + x - 4)>0 当 >0 , 即 时, 函数单调递增; 图象见右图。 当 <0 , 即 时, 函数单调递减; 总结 : 当遇到三次或三次以上的 , 或图象很难 画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。 纳 ① 求定义域 ② 求 ③ 令 ④ 求定义域 1° 什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便? 2° 试总结用“导数法” 求单调区间的步骤? 归 高 考 试 (04 年全国理 ) B x y o 尝 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 2 (A) (B) (C) (D) C 高 考 试 尝 设 是函数 的导函数, 的图象如 右图所示 , 则 的图象最有可能的是 ( ) 例 3 、如图,水以常速 ( 即单位时间内注入水的体积相同 ) 注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象。 通过这堂课的研究,你明确了         , 你的收获与感受是                         , 你存在的疑惑之处有                  。 课堂小结

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