2019-2020学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一上学期期末数学（理）试题（解析版） 15页

‎2019-2020学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．与45°终边相同的角是下列哪个角（ ）‎ A．-45° B．135° C．-315° D．215°‎ ‎【答案】C ‎【解析】由终边相同角的定义判断．‎ ‎【详解】‎ 与45°终边相同的角为：，时，，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同的角，掌握终边相同角的表示方法是解题基础．‎ ‎2．已知角的终边上有一点，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用任意角的三角函数定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为角的终边上有一点，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎3．（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由诱导公式和两角和公式得即为所求.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础题.‎ ‎4．下面叙述正确的是（ ）‎ A．正弦函数在第一象限是增函数 B．只有递增区间，没有递减区间 C．的最大值是2 D．若，则或 ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，正弦函数在区间上递增，不能说在第一象限递增，要分开区间，故A选项错误.‎ 对数B选项，根据正切函数的性质可知，B选项正确.‎ 对于C选项，，即最大值是，故C选项错误.‎ 对于D选项，由于，所以D选项错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数的单调性、最值、特殊角的三角函数值（诱导公式）等知识，考查辅助角公式，属于基础题.‎ ‎5．在下列各个区间中，函数的零点所在区间是 (   )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为连续函数，所以，，，,所以，函数的零点所在区间是,故选C.‎ ‎6．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】已知原式分子分母同除以，然后解方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角间的三角函数关系，属于基础题.关于的齐次式或等都可转化为的分式，然后求解.‎ ‎7．下列四种变换方式，其中能将的图象变为的图象的是（　　） ‎ ‎①向左平移，再将横坐标缩短为原来的； ②横坐标缩短为原来的，再向左平移；‎ ‎③横坐标缩短为原来的，再向左平移； ④向左平移，再将横坐标缩短为原来的．‎ A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④‎ ‎【答案】A ‎【解析】将y=sinx的图象向左平移,可得函数y=sin(x+)的图象，‎ 再将横坐标缩短为原来的,可得y=sin()的图象，故①正确。‎ 或者是：将y=sinx的图象横坐标缩短为原来的，可得y=sin2x的图象，‎ 再向左平移个单位,可得y=sin(的图象，故②正确，故选A.‎ ‎8．幂函数在上单调递增，则的值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．2或4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由幂函数的定义得到方程，求的值，再根据函数的单调性检验的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意得： ,解得 ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的单调性，即当时，它在单调递增.‎ ‎9．如图是函数（，，），在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数图像知函数过点，排除得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据函数图像知：函数经过点，排除 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图像，取特殊点排除可以快速得到答案，是解题的关键.‎ ‎10．的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用复合函数单调性的判断原则“同增异减”可求得函数的单调区间，结合对数的真数大于0，即可求得整个函数的单调递增区间。‎ ‎【详解】‎ 根据复合函数单调性的判断原则，即求的单调递减区间，且 由二次函数的图象可知单调递减区间为x<1‎ 解不等式得或 综上可知，的单调递增区间为 即x∈‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数单调性的判断，注意对数函数的真数部分对x的特殊要求，属于基础题。‎ ‎11．已知角均为锐角，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】∵角α,β均为锐角,且cosα=,sinβ=，‎ ‎∴sinα=,cosβ=，‎ 则sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=−=‎ 再根据α−β∈(−,),可得α−β=−，‎ 故选：C.‎ ‎12．已知函数关于直线对称 , 且,则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D.‎ 二、填空题 ‎13．半径为的圆上，弧长为的弧所对圆心角的弧度数为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据弧长公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由弧长公式可得 ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题.‎ ‎14．______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎．试题分析：‎ ‎【考点】倍角的正切．‎ ‎15．已知奇函数f(x)的定义域为R，且当x>0时，f(x)＝x2－3x＋2，若函数y＝f(x)－a 有2个零点 ，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2+3x+2，‎ ‎∵f（x）是奇函数，‎ ‎∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣3x﹣2．‎ ‎∴f（x）=．‎ 作出f（x）的函数图象，如图：‎ ‎∵y=f（x）﹣a有两个零点，‎ ‎∴f（x）=a有两解，‎ ‎∴﹣2＜a＜﹣或．‎ 故答案为（﹣2，﹣）∪（，2）．‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎16．有下列说法：①函数的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③在同一直角坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x 的图象有三个公共点；④函数在[0，π]上是增函数．其中正确的说法是__________．（填序号）‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】由余弦型函数最小正周期求法可知①正确；通过反例可排除②；由函数图象可确定交点个数，排除③；利用诱导公式将所求函数化为，结合余弦函数的单调性可确定④正确.‎ ‎【详解】‎ ‎①的最小正周期，①正确；‎ ‎②当时，，终边不在轴上，②错误；‎ ‎③由和图象（如下图）可知，两函数图象有且仅有个公共点，③错误；‎ ‎④，当时，单调递减，则单调递增，④正确.‎ 故答案为：①④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图象与性质相关命题的判定，涉及到余弦型函数的最小正周期及单调性的判断、轴线角的表示、函数图象的应用等知识；是对于三角函数部分知识的综合考查和应用.‎ 三、解答题 ‎17．（1）求值 ‎（2）化简 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）先利用诱导公式化简成特殊角的三角函数，然后根据特殊角的三角函数值进行计算；‎ ‎（2）直接用诱导公式化简即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数式的化简，熟练运用诱导公式进行计算是关键，诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”，属于常考题.‎ ‎18．已知，，α，β均为锐角．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）先计算出，再利用二倍角公式计算得到答案.‎ ‎（2）先计算出，根据利用和差公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得 为锐角，则．‎ ‎（2）由得 ‎，β均为锐角．，则 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数值的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求函数的对称轴和单调减区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值和最大值.‎ ‎【答案】（1）对称轴为；单调递减区间为；（2）最小值为，最大值为.‎ ‎【解析】（1）令，求得即为对称轴；令，求得的范围即为所求单调递减区间；‎ ‎（2）由范围求得的范围，结合余弦函数图象，可确定时取得最大值；时取得最小值，代入求得最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，解得：‎ 的对称轴为 令，解得：‎ 的单调递减区间为 ‎（2）当时，‎ 当，即时，取得最大值，最大值为 当，即时，取得最小值，最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查余弦型函数的性质与最值的求解，涉及到对称轴、单调区间的求解、给定区间内函数最大值和最小值的求解问题；关键是能够熟练应用整体对应的方法，结合余弦函数的图象与性质来进行求解.‎ ‎20．设函数的最小正周期为．‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）当时，求方程的解集．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）将函数化简整理为，利用周期求出，然后令，求出的范围即为单调增区间；‎ ‎（2）通过，求出的范围，进而可求出方程的解.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 由已知，得 故 ‎（1）令，解得：，‎ 的单调递增区间为，；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ 或，‎ 即或，‎ 所以方程的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查的性质及三角方程，考核学生计算能力，是基础题.‎ ‎21．已知函数 ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）记函数求函数的值域；‎ ‎（3）若不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）由函数有意义，确定不等式组，即可求出定义域；‎ ‎（2）利用对数恒等式，化简，转化为求二次函数的值域；‎ ‎（3）不等式有解，转化为与的最值关系，即可求出的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数有意义，须满足，∴， ‎ ‎∴所求函数的定义域为. ‎ ‎（2）由于，∴，‎ ‎ 而 ‎∴函数， ‎ 其图象的对称轴为，‎ 所以所求函数的值域是；‎ ‎（3）∵不等式有解，∴ ，‎ 令，由于，∴‎ ‎∴的最大值为 ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域、值域、不等式有解求参数，属于基本运算，是基础题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及其单调增区间;‎ ‎（Ⅱ）当时,对任意不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）应用公式化简函数，注意定义域，。（2）多个变量恒成立问题，先把x作变量，求出，，转化为关于t的不等式恒成立问题，对系数t分类讨论。‎ 试题解析：（Ⅰ）因为 函数的定义域为 ‎,‎ 所以的递增区间为 ‎（Ⅱ）因为,‎ 所以当时,‎ 所以恒成立,‎ 即恒成立,‎ ‎①当时,‎ 显然成立;‎ ‎②当时,‎ 若对于恒成立,‎ 只需成立,‎ 所以,‎ 综上,的取值范围是 ‎【点睛】‎ 对于函数化简一定要注意定义域是化简前的定义域，也就是函数做题是先求定义域，再求解。这是学生容易忽略的问题。‎ 对于多个变量的恒成立问题，一般我们先把一个当变量，其余当参量，逐步减少变量个数。‎