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- 2021-07-01 发布
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基本不等式应用技巧之高级篇
基本不等式在不等式的证明、求最大值、最小值的有些问题上给我们带来了很大
的方便,但有时很想用基本不等式,却感到力不从心。这需要一点技巧,就是要能适
当的配凑,即把相关的系数做适当的配凑。比如下面的例题 1。
例题 1. 已知 5
4x ,求函数 14 2 4 5y x x
的最大值。
解:因 5
4x ,所以 4 5 0x 。
这可以先调整式子的符号,但 1(4 2) 4 5x x
不是常数,所以必须对 4 2x 进行拆分。
1 14 2 (5 4 ) 3 2 3 14 5 5 4y x xx x
当且仅当 15 4 5 4x x
,即 1x 时取等号。
故当 1x 时, max 1y
但是有些题目的配凑并不是这么显然。我们应该如何去配凑,又有何规律可循
呢?请看下面的例题 2.
例题 2.设 , , ,x y z w 是不全为零的实数,求 2 2 2 2
2xy yz zw
x y z w
的最大值。
显然我们只需考虑 0, 0, 0, 0x y z w 的情形,但直接使用基本不等式是不行的,
我们假设可以找到相应的正参数 , 满足:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) (1 ) 1
2 2 (1 ) 2 (1 )
x y z w x y y z z w
xy yz zw
( )
故依据取等号的条件得,
1 2 1
2 2 (1 ) 2 1
t
,参数t 就是我们要求的最大值。
消去 , 我们得到一个方程 24 4 1 0t t
此方程的最大根为我们所求的最大值
得到 2 1
2t
从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式
1 2 1
2 2 (1 ) 2 1
,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为
了取得最值。
我们再看一些类似的问题,请大家细心体会。
例题 3.设 , , ,x y z w 是不全为零的实数,求
316 9 2 9 3
2
x xy xyz
x y z
的最大值。
引入参数 , , 使其满足:
3
2 (1 ) (2 )
(1 ) 2 3 (2 )
x y z x x y x y z
x xy xyz
依据取等号条件,我们有
3
3
16 9 2 9 3
1 2 3 (2 )
t
xyz
消去参数 , , 我们得到一个方程
5 4 3 2( 18)(16 224 584 1440 1377 1458) 0t t t t t t
解得 18t
这就是我们所求的最大值。因此,
3
3
3 18 3616 3 1816 9 2 9 3 2
2 2
3( 18 ) 18 3616 2 2 182
x y zx x yx xy xyz
x y z x y z
x y x y zx
x y z
当且仅当 : : 1:18:36x y z 取等号。
再看看下面这个题目。
例题 4.设 , ,x y z 是正实数,求
2 2 210 10x y z
xy yz zx
的最小值。
解:引进参数 k ,使之满足:
2 2
2 2 2 2 2 2 210 10 (10 ) (10 )2 2
2 2(10 )( )
z zx y z kx ky k x k y
kxy k yz zx
依据取等号的条件,有: 2 2(10 ) 4k k t t
故
2 2 210 10x y z
xy yz zx
的最小值 4.
例题 5.设 , ,x y z 是正实数且满足 3x y z ,求 2 2 3x y z 的最小值。
解:观察题目的结构考虑到 , ,x y z 的对称性,引进参数 ,k l
2 2
2 2
3 3 3 2
2
2
3
x k xk
y k yk
z l l zl
2 2 3 2 2 22( ) 2 ( ) 3x y z k l k x y l z
由取等号的条件有: 2 22 3 , , , 2 3k l k x k y z l k l
解得 19 37
12k , 1 37
6l
所以, 2 2 3 2 2 22 ( ) 3 2( )x y z k x y l z k l 2 2 317 43 376 2( ) 108k k l
例题 6.设 ,x y 是正实数且满足 1x y ,求 2 2
1 8
x y
的最小值。
解:考虑到 1x y ,为了使用基本不等式,我们引进参数k : ( )k k x y
则 2 2 2 2
1 8 1 8 ( )k k x yx y x y
2
3
2 2
1 8 92 2 2 2 4
kx kx ky ky k
x y
由取等号的条件:
2
3
2
1
2
8 2 1 542 3
1
kx
x
ky ky k
x y
所以
2
3
2 2
1 8 9 274
k kx y
例题 7.若 2 ( )x xy a x y 对任意的正实数 ,x y 恒成立,求a 的最小值。
解: 2 ( )x xy a x y 对任意的正实数 ,x y 恒成立,
所以 2x xy ax y
对任意的正实数 ,x y 恒成立。
设 (1 ) (1 ) 2x y k x kx y k x kxy
由取等号条件: 1 2
1 tk k
消去k ,可以得到: 2 1 0t t 解得: 5 1
2t
因此a 的最小值为 5 1
2
。
例题 8.若 1 1,2 2a b 且 1a b ,求证: 2 1 2 1 2 2a b
分析:使用柯西不等式很简单处理了,但我们还是玩一下基本不等式。
设
2
2
2
2
2
2
2 1
2 12 1 2
2 1
2 12 1 2
ama ma m m
bmb mb m m
2 2
2 2 2
2
2 1 2 1
22 1 2 1 2 2
a bm mm ma b m m
考虑到取等号的条件,有
2
2
2 2
2
2 1
2 1 1 , 22
1
am m
bm a b mm
a b
所以, 2
2
22 1 2 1 2 2a b m m
例题 9.有一边长为 ,a b (a b )的长方形纸板,在四个角各裁出一个大小相同的正方
形,把四边折起做成一个无盖的盒子,要使盒子的容积最大,问裁去的正方形的
边长应为多少?
分析:这是一个高考题,很古老了。可以利用函数和导数来解决。但我们也可以用基
本不等式来处理它。
解:设裁去的正方形的边长为 x ,则做成的无盖长方体容积为
V= ( )( 2 )x a x b x ,(0 )2
bx
引入参数 ,m n ,则
1V= ( )( 2 ) ( ) ( 2 )( 2 )x a x b x mx n a x b xmn
3
3
( 2 ) ( 2 )( ) ((m 2n 2) x na b)3
27
mx n a x b x
mn mn
由取等号的条件得 ( 2 ) 2mx n a x b x
当 2 2 0m n 时,右边为常数。
故当二者同时成立时,函数有最大值。
消去参数得到: 212 4( ) 0x a b x ab
解之得
2 2( )
6
a b a ab bx (0 )2
bx
故
2 2( )
6
a b a ab bx
3
3 2 2 2
max max
(na b) [(a b)(2a b) ( )]V =[ ( )( 2 )] 27 54
a ab bx a x b x mn
例题 10. 求函数 2 1 ( 0)2y x x xx
的最小值。
分析:单变量函数优选求导 2 21 1
2 2 2y x x x xx x x
数用单调性的方法。但
本题也是可以使用基本不等式的。
解:引进参数 >0,
则 2 21 1
2 2 2y x x x xx x x
2
2
3
1( ) ( )4 4 2
13 216 2
x xx x x
由取等号的条件得: 2
4x x
, 1
2x x
消去参数 得, 3 24 2 1 0x x
化简得, 2(2 1)(2 2 1) 0x x x
解之得 1
2x
此时 1
2
, min
7
4y
例题 11. 问 ( 0 2
)取何值时, 2cos siny 取最大值。
解:引进参数 , 0a b ,
由 2 1cos sin (1 sin ) (1 sin )siny a bab
3( ( 1 )sin )
27
a b b a
ab
由取等号成立的条件得:
(1 sin ) (1 sin ) sin
1 0
a b
b a
2 1sin ,3
0 2
3sin ,3are
所以 3 1,2a 3 1;2b
所以
3
2 ( ) 2 3cos sin 27 9
a by ab
基本不等式是一个非常有用的结论,从上面的例子中我们可以看出,适当的配凑
可以解决很多看似无法使用基本不等式解决的一些问题。同学们在学习基本不等式时
时要细心体会,才能达到灵活应用的。