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  • 2021-07-01 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版考点55极坐标与参数方程学案

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典型高考数学试题解读与变式2018版 考点55 极坐标与参数方程 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.‎ ‎4.了解参数方程,了解参数的意义.学! ‎ ‎5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.‎ ‎【命题规律】‎ ‎ 极坐标与参数方程近几年是在第22题解答题中考查,主要是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题.难度中等.‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎(一)参数方程与极坐标方程的综合运用 例1.【2017新课标3】在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ ‎【分析】(1)由题意得直线l1,l2的普通方程,然后消去参数即可得到曲线的普通方程;‎ ‎(2)联立两个极坐标方程可得,代入极坐标方程进行计算可得极径为.‎ ‎【解析】(1)消去参数得的普通方程;‎ 消去参数m得l2的普通方程.‎ 设,由题设得,消去k得.‎ 所以C的普通方程为.‎ ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用,重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.‎ ‎【变式1】【2018衡水联考】在平面直角坐标系中,已知曲线: (为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)过点,且与直线平行的直线交曲线于, 两点,求点到, 两点的距离之积.‎ ‎【解析】(1)由题知,曲线化为普通方程为,由,得,所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由题知,直线的参数方程为(为参数),‎ 代入曲线:中,化简,得,‎ 设, 两点所对应的参数分别为, ,则,所以.‎ ‎ 【变式2】【2018山西两校联考】在平面直角坐标系中,曲线 (为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)分别求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若分别为曲线上的动点,求的最大值.‎ ‎【解析】(1)因为曲线参数方程为,所以,‎ 因为,所以的普通方程为.‎ 因为曲线的极坐标方程为,即,‎ 故曲线的直角坐标方程为,即.‎ ‎(二)参数方程的运用 例2.【2017年新课标1】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ 为参数),直线l的参数方程为.‎ ‎(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.‎ ‎【分析】(1)先将曲线和直线l的参数方程化成普通方程,然后联立两方程即可求出交点坐标;(2)由直线的普通方程为,设上的点为,易求得该点到的距离为.对a再进行讨论,即当和时,求出a的值.‎ ‎【解析】(1)曲线的普通方程为.‎ 当时,直线的普通方程为.‎ 由解得或 从而与的交点坐标为,.‎ ‎[ :学 ]‎ ‎【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入法等等;在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时,通常将极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程 解决.‎ ‎【变式1】已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ 为参数).‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程;‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)消去参数t可得直线l的普通方程为2x-y-2a=0,‎ 消去参数θ可得圆C的普通方程为x2+y2=16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点,‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤2.‎ ‎【变式2】【2017云南省、四川省、贵州省联考】在平面直角坐标系中,已知曲线(为参数),直线.学 ! ‎ ‎(1)在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值;‎ ‎(2)过点且与直线平行的直线交于,两点,求点到,两点的距离之积.‎ ‎【解析】(1)设点,则点到直线的距离为 ‎,‎ 所以当时,,此时.‎ ‎【数学思想】‎ ①数形结合思想.‎ ②分类讨论思想.‎ ③转化与化归思想.‎ ‎【温馨提示】‎ ①在参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程互化的过程中,要注意等价性,注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变,如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线.‎ ②参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式,可以说是曲线的两种巧妙的表示形式,有时解决一些问题要借助参数的几何意义.‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1.以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线的参数方程是(为参数),曲线的极坐标方程是.‎ ‎(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线与曲线相交于,两点,点为的中点,点的极坐标为,求的值.‎ ‎【解析】(1)因为直线的参数方程是(为参数),消去参数得直线的普通方程为.‎ 由曲线的极坐标方程,得.‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由得,‎ 设,,则的中点,‎ 因为,所以,‎ 又点的直角坐标为,‎ 所以.‎ ‎2.【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程与圆的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线与圆相交于两点,求.‎ ‎3.【2017广东湛江市调研】已知极点与直角坐标系原点重合,极轴与轴的正半轴重合,圆的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).‎ ‎(1)若,直线与轴的交点为是圆上一动点,求的最大值;‎ ‎(2)若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,求的值.‎ ‎【解析】(1)当时,圆的极坐标方程为,可化为,‎ 化为直角坐标方程为,即.‎ 直线的普通方程为,与轴的交点的坐标为.‎ 因为圆心与点的距离为,‎ 所以的最大值为. ‎ ‎(2)由可得,‎ 所以圆的普通方程为.‎ 因为直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,‎ 所以由垂径定理及勾股定理得:圆心到直线的距离为圆半径的一半,‎ 所以.解得或.‎ ‎4.【2017河南省豫北名校联盟对抗赛】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).‎ ‎(1)求曲线的普通方程;‎ ‎(2)经过点(平面直角坐标系中点)作直线交曲线于两点,若恰好为线段的三等分点,求直线的斜率.[ ‎ ‎【解析】(1)由曲线的参数方程,得所以曲线的普通方程为.‎ ‎(2)设直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数).‎ 代入曲线的直角坐标方程,得,‎ 所以由题意可知.‎ 所以,即.解得.‎ 所以直线的斜率为.‎ ‎5.【2017河南省广东省佛山市检测】在极坐标系中,射线与圆交于点,椭圆的方程为,以极点为原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求点的直角坐标和椭圆的参数方程;学 ‎ ‎(2)若为椭圆的下顶点,为椭圆上任意一点,求的取值范围.‎ ‎(2)设,又,所以,,‎ 于是, ‎ 因为,所以,‎ 所以的取值范围是.‎ ‎6.【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (其中为参数).以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)把曲线的方程化为普通方程, 的方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线, 相交于两点, 的中点为,过点做曲线的垂线交曲线于两点,求.‎ ‎【解析】(1)曲线的参数方程为(其中为参数),消去参数可得.‎ 曲线的极坐标方程为,展开为,‎ 化为..‎ ‎(2)设,且中点为,‎ 联立,解得,‎ 所以.所以.‎ 线段的中垂线的参数方程为(为参数),代入,可得,‎ 所以,所以.学! ‎

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