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- 2021-07-01 发布
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典型高考数学试题解读与变式2018版
考点55 极坐标与参数方程
【考纲要求】
1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
4.了解参数方程,了解参数的意义.学!
5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
【命题规律】
极坐标与参数方程近几年是在第22题解答题中考查,主要是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题.难度中等.
【典型高考试题变式】
(一)参数方程与极坐标方程的综合运用
例1.【2017新课标3】在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.
【分析】(1)由题意得直线l1,l2的普通方程,然后消去参数即可得到曲线的普通方程;
(2)联立两个极坐标方程可得,代入极坐标方程进行计算可得极径为.
【解析】(1)消去参数得的普通方程;
消去参数m得l2的普通方程.
设,由题设得,消去k得.
所以C的普通方程为.
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用,重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
【变式1】【2018衡水联考】在平面直角坐标系中,已知曲线: (为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)过点,且与直线平行的直线交曲线于, 两点,求点到, 两点的距离之积.
【解析】(1)由题知,曲线化为普通方程为,由,得,所以直线的直角坐标方程为.
(2)由题知,直线的参数方程为(为参数),
代入曲线:中,化简,得,
设, 两点所对应的参数分别为, ,则,所以.
【变式2】【2018山西两校联考】在平面直角坐标系中,曲线 (为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)分别求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若分别为曲线上的动点,求的最大值.
【解析】(1)因为曲线参数方程为,所以,
因为,所以的普通方程为.
因为曲线的极坐标方程为,即,
故曲线的直角坐标方程为,即.
(二)参数方程的运用
例2.【2017年新课标1】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ
为参数),直线l的参数方程为.
(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
【分析】(1)先将曲线和直线l的参数方程化成普通方程,然后联立两方程即可求出交点坐标;(2)由直线的普通方程为,设上的点为,易求得该点到的距离为.对a再进行讨论,即当和时,求出a的值.
【解析】(1)曲线的普通方程为.
当时,直线的普通方程为.
由解得或
从而与的交点坐标为,.
[ :学 ]
【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入法等等;在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时,通常将极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程 解决.
【变式1】已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ
为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)消去参数t可得直线l的普通方程为2x-y-2a=0,
消去参数θ可得圆C的普通方程为x2+y2=16.
(2)因为直线l与圆C有公共点,
故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤2.
【变式2】【2017云南省、四川省、贵州省联考】在平面直角坐标系中,已知曲线(为参数),直线.学 !
(1)在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值;
(2)过点且与直线平行的直线交于,两点,求点到,两点的距离之积.
【解析】(1)设点,则点到直线的距离为
,
所以当时,,此时.
【数学思想】
①数形结合思想.
②分类讨论思想.
③转化与化归思想.
【温馨提示】
①在参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程互化的过程中,要注意等价性,注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变,如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线.
②参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式,可以说是曲线的两种巧妙的表示形式,有时解决一些问题要借助参数的几何意义.
【典例试题演练】
1.以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的单位长度.已知直线的参数方程是(为参数),曲线的极坐标方程是.
(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线相交于,两点,点为的中点,点的极坐标为,求的值.
【解析】(1)因为直线的参数方程是(为参数),消去参数得直线的普通方程为.
由曲线的极坐标方程,得.
所以曲线的直角坐标方程为.
(2)由得,
设,,则的中点,
因为,所以,
又点的直角坐标为,
所以.
2.【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与圆的直角坐标方程;
(2)设直线与圆相交于两点,求.
3.【2017广东湛江市调研】已知极点与直角坐标系原点重合,极轴与轴的正半轴重合,圆的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).
(1)若,直线与轴的交点为是圆上一动点,求的最大值;
(2)若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,求的值.
【解析】(1)当时,圆的极坐标方程为,可化为,
化为直角坐标方程为,即.
直线的普通方程为,与轴的交点的坐标为.
因为圆心与点的距离为,
所以的最大值为.
(2)由可得,
所以圆的普通方程为.
因为直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,
所以由垂径定理及勾股定理得:圆心到直线的距离为圆半径的一半,
所以.解得或.
4.【2017河南省豫北名校联盟对抗赛】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的普通方程;
(2)经过点(平面直角坐标系中点)作直线交曲线于两点,若恰好为线段的三等分点,求直线的斜率.[
【解析】(1)由曲线的参数方程,得所以曲线的普通方程为.
(2)设直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数).
代入曲线的直角坐标方程,得,
所以由题意可知.
所以,即.解得.
所以直线的斜率为.
5.【2017河南省广东省佛山市检测】在极坐标系中,射线与圆交于点,椭圆的方程为,以极点为原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求点的直角坐标和椭圆的参数方程;学
(2)若为椭圆的下顶点,为椭圆上任意一点,求的取值范围.
(2)设,又,所以,,
于是,
因为,所以,
所以的取值范围是.
6.【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (其中为参数).以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线的极坐标方程为.
(1)把曲线的方程化为普通方程, 的方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线, 相交于两点, 的中点为,过点做曲线的垂线交曲线于两点,求.
【解析】(1)曲线的参数方程为(其中为参数),消去参数可得.
曲线的极坐标方程为,展开为,
化为..
(2)设,且中点为,
联立,解得,
所以.所以.
线段的中垂线的参数方程为(为参数),代入,可得,
所以,所以.学!