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- 2021-07-01 发布
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第三章 导数及其应用
1.了解导数概念的实际背景．
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．
3．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．
4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．
①常见的基本初等函数的导数公式：
(C)′＝0(C为常数); (xn)′＝nxn－1(n∈N＋)；
(sinx)′＝cosx; (cosx)′＝－sinx；
(ex)′＝ex; (ax)′＝axlna(a>0，且a≠1)；
(lnx)′＝；(logax)′＝logae(a>0，且a≠1)．
②常用的导数运算法则：
法则1：′＝u′(x)±v′(x)．
法则2：′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．
法则3：′＝ (v(x)≠0)．
5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．
6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．
7．会用导数解决实际问题．
8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
9．了解微积分基本定理的含义．
3．1 导数的概念及运算
1．导数的概念
(1)定义
如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即＝.如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim ＝lim .
(2)导函数
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ lim .
(3)用定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法
①求函数的增量Δy＝ ；
②求平均变化率＝ ；
③取极限，得导数f′(x0)＝lim .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．
3．基本初等函数的导数公式
(1)c′＝ (c为常数)，
(xα)′＝ (α∈Q*)；
(2)(sinx)′＝____________，
(cosx)′＝____________；
(3)(lnx)′＝____________，
(logax)′＝____________；
(4)(ex)′＝____________，
(ax)′＝____________.
4．导数运算法则
(1)′＝__________________.
(2)′＝____________________；
当g(x)＝c(c为常数)时，即′＝____________.
(3)′＝____________ (g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)， u＝g(x)的导数间的关系为______________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
自查自纠：
1．(1)可导 f′(x0)
(3)①f(x0＋Δx)－f(x0)
②
2．f′(x0) y－y0＝f′(x0)(x－x0)
3．(1)0 αxα－1 (2)cosx －sinx
(3) (4)ex axlna
4．(1)f′(x)±g′(x)
(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x)
(3)
5．yx′＝y′u·u′x
()设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解：因为y′＝a－，所以切线的斜率为 a－1＝2，解得a＝3.故选D.
()函数y＝xex在其极值点处的切线方程为( )
A．y＝ex B．y＝(1＋e)x
C．y＝ D．y＝－
解：记y＝f(x)＝xex，则f′(x)＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，此时f(－1)＝－.故函数 y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.故选D.
()若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在此两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝x3 B．y＝lnx C．y＝ex D．y＝sinx
解：选项A、B、C中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，排除A、B、C.或由y′＝cosx，cos0cosπ＝－1知D正确，故选D.
()曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．
解：因为y′＝－5e－5x，所求切线的斜率为－5e0＝－5，故所求切线的方程为y－3＝－5x，即 y＝－5x＋3(或5x＋y－3＝0)．故填y＝－5x＋3(或5x＋y－3＝0)．
()已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
解：x>0时，－x<0，f(－x)＝lnx－3x＝f(x)，所以当x>0时，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，所以切线方程为y＋3＝－2(x－1)，整理得y＝－2x－1.故填y＝－2x－1(或2x＋y＋1＝0)．
类型一 导数的概念
用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在 x＝1处的导数．
解法一：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1)
＝x2＋2x·Δx＋Δx2－2x－2Δx－1－x2＋2x＋1
＝(2x－2)Δx＋Δx2，
所以 ＝lim ＝lim
＝2x－2.
所以函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数为
f′(x)|x＝1＝2×1－2＝0.
解法二：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1－1)
＝1＋2Δx＋Δx2－2－2Δx－1＋2＝Δx2，
所以 ＝ ＝Δx＝0.
故f′(x)|x＝1＝0.
点拨：
利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率，再化简平均变化率，最后判断当Δx→0时，无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．
航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4(单位：m)．
(1)求航天飞机在第1 s内的平均速度；
(2)用定义方法求航天飞机在第1 s末的瞬时速度．
解：(1)航天飞机在第1 s内的平均速度为
＝＝80 m/s.
(2)航天飞机第1 s末高度的平均变化率为
＝
＝
＝5Δt2＋45Δt＋120，
当Δt→0时，5Δt2＋45Δt＋120→120，
所以航天飞机在第1 s末的瞬时速度为 120 m/s.
类型二 求导运算
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝x2sinx；
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝；
(5)y＝ln(2x－5)．
解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
所以y′＝18x2－10x－4.
(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′
＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln3＋3xex－2xln2
＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.
(4)y′＝
＝＝.
(5)令u＝2x－5，y＝lnu，
则y′＝(lnu)′u′＝·2＝，
即y′＝.
点拨：
求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．
求下列函数的导数：
(1)y＝excosx；
(2)y＝x；
(3)y＝；
(4)y＝ln.
解：(1)y′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝ ex(cosx－sinx)．
(2)因为y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－.
(3)y′＝
＝＝＝.
(4)y＝ln＝ln(1＋x2)，
所以y′＝·(1＋x2)′
＝··2x＝.
类型三 导数的几何意义
已知曲线y＝x3＋.
(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；
(2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程．
解：(1)y′＝x2，设切点为(x0，y0)，
故切线的斜率为k＝x＝1，
解得x0＝±1，故切点为，(－1，1)．
故所求切线方程为y－＝x－1和y－1＝x＋1，
即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
(2)因为y′＝x2，且P(2，4)在曲线y＝x3＋ 上，
所以在点P(2，4)处的切线的斜率k＝ y′|x＝2＝4.
所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(3)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，又因为切线的斜率k＝ y′|x＝x0＝x，
所以切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝xx－x＋.
因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，所以x＋x－4x＋4＝0，
所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋ 2＝0.
点拨：
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．
()设直线l1，l2分别是函数f(x)＝ 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，2)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解：设P1(x1，lnx1)，P2(x2，－lnx2)(不妨设 x1＞1，0＜x2＜1)，则由导数的几何意义易得切线l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝－.由已知得 k1k2＝－1，所以x1x2＝1，所以x2＝.所以切线l1的方程为y－lnx1＝(x－x1)，切线l2的方程为y＋lnx2＝－(x－x2)，即y－lnx1＝－x1.分别令 x＝0得A(0，－1＋lnx1)，B(0，1＋lnx1)．易得l1与l2的交点P的横坐标xP＝，因为x1＞1，所以S△PAB＝|yA－yB|·|xP|＝＜1，所以0＜ S△PAB＜1.故选A.
1．“函数在点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系
(1)函数在点x0处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的两种常用求法
(1)利用导数的定义，即求 lim 的值；
(2)求导函数在x0处的函数值：先求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数f′(x)，再将x0(x0∈(a，b))代入导函数f′(x)，得f′(x0)．
3．关于用导数求曲线的切线问题
(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．
(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．
(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一，如本节例3(3)，就极易漏掉切线x－y＋2＝0.
1．()曲线y＝1－在点 (－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解：因为y＝1－＝，所以y′＝＝，y′|x＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.故选A.
2．()若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( )
A．2 B．0 C．－2 D．－4
解：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则 f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以 f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.故选D.
3．()已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
解：设切点坐标为(x0，y0)，由y′＝知 ＝＝1，即x0＋a＝1.解方程组 得 故选B.
4．()设a为实数，函数 f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为( )
A．9x－y－16＝0 B．9x＋y－16＝0
C．6x－y－12＝0 D．6x＋y－12＝0
解：f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3，由于f′(x)是偶函数，所以a＝0，此时f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝9，f(2)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.故选A.
5．下面四个函数图象中，有函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝( )
A. B．－ C. D．－或
解：因为f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，所以f′(x)的图象开口向上，则排除②④.若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，所以a＝－1，所以f(－1)＝－.故选D.
6．()若存在过点O(0，0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是( )
A．－1 B. C．1或 D．1或－
解：易知点O(0，0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，
(1)当O(0，0)是直线l与曲线f(x)的切点时，易求出切线方程y＝2x，联立消y后，令Δ＝0，得a＝1.
(2)当O(0，0)不是直线l与曲线f(x)的切点时，设切点为P(x0，y0)，
则y0＝x－3x＋2x0，
且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2.①
又k＝＝x－3x0＋2，②
由①②联立，得x0＝或x0＝0(舍)，
所以k＝－，
所以所求切线l的方程为y＝－x.
由 得x2＋x＋a＝0.
依题意，Δ＝－4a＝0，所以a＝.
综上，a＝1或a＝.故选C.
7．若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解：因为f(x)＝x2－ax＋lnx，
所以f′(x)＝x－a＋.
因为f(x)存在垂直于y轴的切线，
所以f′(x)存在零点，
即x＋－a＝0有解，x＞0，则a＝x＋≥2.
故填上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在上单调递增，则________为函数在上的最小值， 为函数在上的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则 为函数在上的最大值， 为函数在上的最小值．
(3)设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．
自查自纠：
1．单调递增 单调递减 常数函数
2．(1)②f′(x)＜0 f′(x)＞0
(2)②f′(x)＝0 ③极大值 极小值
3．(2)f(a) f(b) f(a) f(b)
(3)②f(a) f(b) 最大值 最小值
()函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(e，＋∞)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R
解：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调递增区间是(0，＋∞)．故选A.
()已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
解：由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象从左到右先增后减，知y＝f(x)图象切线的斜率对应先增后减．故选B.
()函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时， (x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则( )
A．a0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，因此有f(－1)2时，f(x)在内单调递增，在 内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
(2)()若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
解：因为f(x)＝x2－ex－ax，所以f′(x)＝ 2x－ex－a，因为函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，所以f′(x)＝2x－ex－a≥0，即a≤2x－ex有解，设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln2，则当x0，g(x)单调递增；当x>ln2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以当x＝ln2时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，所以a≤2ln2－2.故填(－∞，2ln2－2]．
类型三 导数法研究函数的极值问题
()已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f
(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝ x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.
点拨：
找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数的零点就是极值点(如y＝x3)，还要保证该零点为变号零点．
设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2.
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)f′(x)＝2a(x－5)＋，
依题意，f′(1)＝6－8a＝2，得a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝2或3.
x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，2)
2
(2，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
故f(x)的单调增区间为(0，2)和(3，＋∞)，
单调减区间为(2，3)．
f(x)的极大值f(2)＝＋6ln2，
极小值f(3)＝2＋6ln3.
类型四 导数法研究函数的最值问题
()已知函数 f(x)＝xlnx.
(1)求函数y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间(t>0)上的最小值．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝lnx＋1，
所以f′(1)＝1，f(1)＝0，
所以所求切线方程为y－0＝1×(x－1)，即y＝x－1.
(2)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
①当t≥时，在区间上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(t)＝tlnt.
②当00，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝时取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.
因此f>2a－2，等价于lna＋a－1<0.
令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)单调递增，g(1)＝0.
于是，当01时，g(a)>0.
因此，a的取值范围是(0，1)．
类型五 实际应用问题(优化问题)
()某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的统计经验，
预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
解：(1)由题意，该产品一年的销售量为y＝.
将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.
故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.
所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－ a)e40－x(35≤x≤41)．
(2)由(1)得，L′(x)＝500＝500e40－x(31＋a－x)．
①当2≤a≤4时，
L′(x)≤500e40－35(31＋4－35)＝0，
当且仅当a＝4，x＝35时取等号．
所以L(x)在上单调递减．
因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.
②当40⇔35≤x<31＋a，
L′(x)<0⇔31＋a0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0，5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
故V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，
此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
1．用导数判断单调性
用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．
2．导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件．
3．极值与最值的区别
(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．
(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．
(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值．
4．实际问题中的最值
(1)要从问题的实际意义出发确定函数的定义域．
(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
1．()函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解：由条件知由q可推出p，而由p推不出q.故选C.
2．()函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间上的最大值是( )
A．1＋ B．1 C．e＋1 D．e－1
解：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.
令f′(x)＝0，得x＝0.且当x＞0时，
f′(x)＝ex－1＞0；x＜0时，f′(x)＝ex－1＜0，即函数f(x)在x＝0处取得极小值，f(0)＝1，
又f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，
比较得函数f(x)＝ex－1在区间上的最大值是e－1.故选D.
3．()函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0
B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0
D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
解：f(0)＝d＞0；当x无限增大时f(x)无限增大，因此a＞0；f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由图知x1及x2均大于0，而x1与x2为f′(x)＝0的两根，所以x1＋x2＝－＞0且x1x2＝＞0，结合a＞0得 b＜0，c＞0.所以a＞0，b＜0，c＞0，d＞0.故选A.
4．()若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间上单调递减，则实数t的取值范围是( )
A. B．(－∞，3]
C. D．上单调递减，则有f′(x)≤0在上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥在上恒成立，因为y＝在上单调递增，所以t≥ ＝.故选C.
5．()已知函数f(x)＝x，若f(x1)x2 B．x1＋x2＝0
C．x10.
若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0， f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0.
所以，f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在单调递减，在单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条件是： 即①，设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1.当t<0时，g′(t)<0；当t>0时，g′(t)>0.故g(t)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0，故当t∈时，g(t)≤0.当m∈时，g(m)≤0， g(－m)≤0，即①式成立．当m>1时，由g(t)的单调性知，g(m)>0，即em－m>e－1；当m<－1时，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1.综上，m的取值范围是．
3．3 导数的应用(二)
1．当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝________，当x≠0时，f′(x)＞0，而f(x)＝x3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．
2．可导函数求最值的方法
f′(x)＝0⇒x＝x1，x2，…，xn，x∈．
直接比较f(a)，f(b)，f(x1)，…，f(xn)，找出__________和____________即可．在此基础上还应注意：
(1)结合____________可减少比较次数．
(2)含参数的函数求最值时分类：
①按____________分类；
②按____________分类．
3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形：
(1)加速度是速度关于________的导数；
(2)线密度是质量关于________的导数；
(3)功率是功关于________的导数；
(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数；
(5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数；
(6)边际成本是成本关于________的导数．
4．N型曲线与直线y＝k的位置关系问题
如图，方程f(x)＝0有三个根x1，x2，x3时，极大值f(a)＞0且极小值f(b)＜0.
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；
曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.
以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．
自查自纠：
1．0
2．最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性 极值点
3．(1)时间 (2)长度 (3)时间 (4)时间 (5)时间
(6)产量
4．＜ ＞ ＝ ＝
()函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e B．－1 C．－e D．0
解：因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.故选B.
()若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．上有解，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解：方程x3－3x＋m＝0在上有解，等价于m＝3x－x3在上有解，故m的取值范围即为函数f(x)＝3x－x3在上的值域，求导可得f′(x)＝3－3x2＝3(1－x2)，从而f(x)在(－1，1)上单调递增，在(－∞，－1)及(1，＋∞)上单调递减，故当x∈时，f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝min{f(0)，f(2)}＝f(2)＝－2，故m的取值范围为 ．故选A.
()函数f(x)＝x3－3ax＋b(a＞0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
解：令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
从而 解得
所以f(x)的单调递减区间是(－1，1)．故填(－1，1)．
()已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在上不单调，则实数t的取值范围是________．
解：由题意知f′(x)＝－x＋4－＝－，
由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1，3，两极值点间的距离大于区间的长度，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间上就不单调，
由t<10.
f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0，
所以f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当x＝－3或x＝2时，f(x)取得极小值；当x＝0时，f(x)取得极大值，
所以f(x)的极小值为f(－3)＝－37e－3和 f(2)＝－2e2，
f(x)的极大值为f(0)＝2.
(2)f′(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)＋ex(3x2＋ 2mx－2)
＝xex．
因为f(x)在上单调递增，
所以当x∈时，f′(x)≥0.
又因为当x∈时，xex<0，
所以当x∈时，x2＋(m＋3)x＋2m－2≤0，
所以 解得m≤4，
所以当m∈(－∞，4]时，f(x)在上单调递增．
类型二 极值与最值的进一步讨论
()已知函数f(x)＝ ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝(x＞0)．
①当a≤0时，x＞0，ax－1＜0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，＋∞)．
②当0＜a＜时，＞2，在区间(0，2)和上，f′(x)＞0；在区间上f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是(0，2)和，单调递减区间是.
③当a＝时，f′(x)＝，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．
④当a＞时，0＜＜2，
在区间和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间 上，f′(x)＜0，
故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是.
(2)由已知，在(0，2]上有f(x)max＜g(x)max.
由已知，g(x)max＝0，由(1)可知，
①当a≤时，f(x)在(0，2]上单调递增，
故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝ －2a－2＋2ln2，
所以－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1.故ln2－1＜a≤.
②当a＞时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)max＝f＝－2－－2lna.
由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1，2lna＞－2，－2lna＜2，所以－2－2lna＜0，f(x)max＜0，
综上所述，a的取值范围是(ln2－1，＋∞)．
点拨：
(1)研究函数问题定义域应优先；(2)对任意x1∈(0，2]，指的是对区间内的任意一个自变量；存在x2∈(0，2]，指的是区间内存在一个自变量，故本题是恒成立问题和有解问题的综合，解题时注意最值的化归．
()设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R，讨论函数f
(x)极值点的个数．
解：f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝＋a(2x－1)
＝
＝，
当a＝0时，f′(x)＝>0，函数f(x)在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．
当a≠0时，设g(x)＝2ax2＋ax＋1－a，g(－1)＝1，
Δ＝a2－8a(1－a)＝9a2－8a，
若Δ＝a(9a－8)≤0，即00，即a>或a<0，
而当a<0时，g(－1)≥0，此时方程g(x)＝0在(－1，＋∞)只有一个实数根，此时函数f(x)只有一个极值点；
当a>时，方程g(x)＝0在(－1，＋∞)总有两个不相等的实数根，此时函数f(x)有两个极值点．
综上可知，当0≤a≤时，f(x)的极值点个数为0；当a<0时，f(x)的极值点个数为1；当a>时，f(x)的极值点个数为2.
类型三 方程根的讨论
()已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
(1)求a；
(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ ax＋2.
由题设得－＝－2，所以a＝1.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4，
由题设知1－k＞0.
当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)单调递增，
g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，
所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．
当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，
则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0，
所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．
综上，g(x)＝0在R有唯一实根，
即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
点拨：
本题通过作差构造出新的函数，求出新函数的单调区间、极值点、区间端点处的函数值、特殊点(如图象与x轴，y轴交点)，来判断交点的个数，这是函数与方程思想的体现，也是解这类问题的基本方法．
已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不相等的实数解，求a的取值范围．
解：(1)F(x)＝ax2－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，
所以F′(x)＝2ax－＝(x>0)．
①当a>0时，由ax2－1>0，得x>.
由ax2－1<0，得00时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
②当a≤0时，F′(x)<0(x>0)恒成立．
故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)原式等价于方程a＝在区间[，e]上有两个不相等的实数解，令φ(x)＝(x∈[，e])．
因为φ′(x)＝，易判断φ(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数
，则φ(x)max＝φ()＝，
而φ(e)＝<φ(2)＝＝＝φ()，所以φ(x)min＝φ(e)，
故a的取值范围为≤a<.
类型四 导数法证明不等式
()已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx(a＞0，b∈R)．
(1)设a＝1，b＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x＞0，f(x)≥f(1)，试比较lna与－2b的大小．
解：(1)由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，
得f′(x)＝.
因为a＝1，b＝－1，
所以f′(x)＝＝(x＞0)．
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)．
(2)由题意可知，f(x)在x＝1处取得最小值，即x＝1是f(x)的极值点，
所以f′(1)＝0，所以2a＋b＝1，
即b＝1－2a，－2b＝－2＋4a，
令g(x)＝lnx－(－2＋4x)＝2－4x＋lnx(x＞0)，
则g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝.
当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(x)≤g＝1＋ln＝1－ln4＜0，
所以g(a)＜0，即2－4a＋lna＝2b＋lna＜0，
故lna＜－2b.
点拨：
①
用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；②由作差或者作商来构造函数是最基本的方法；③本题通过作差得证，难点在于发现b＝1－2a，并由此构建函数g(x)，再证g(x)的最大值小于0.
()已知f(x)＝lnx－x＋a＋1.
(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；
(2)求证：当x>1时，在(1)的条件下，x2＋ ax－a>xlnx＋成立．
解：f(x)＝lnx－x＋a＋1(x>0)．
(1)原题即为存在x∈(0，＋∞)，使得lnx－x＋a＋1≥0，
所以a≥－lnx＋x－1，令g(x)＝－lnx＋x－1，
则g′(x)＝－＋1＝.
令g′(x)＝0，解得x＝1.
因为当01时，g′(x)>0，所以g(x)为增函数，
所以g(x)min＝g(1)＝0.所以a≥g(1)＝0.
所以a的取值范围为 D．(0，1)
解：因为f′(x)＝3x2－2ax－1，
又f(x)在(0，1)内单调递减，
所以不等式3x2－2ax－1≤0在(0，1)内恒成立，
所以f′(0)≤0，且f′(1)≤0，所以a≥1.故选A.
4．()若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D.
解：f′(x)＝3x2－6b，因为f(x)在(0，1)内有极小值，所以b＞0，
令3x2－6b＝0得x＝±，
从而只要0＜＜1，得0＜b＜.故选D.
5．()已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)< － xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(1，2) D．(2，＋∞)
解：因为f(x)＋xf′(x)<0，所以(xf(x))′<0，xf(x)在(0，＋∞)上为减函数，
由已知易得(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)·f(x2－1)，所以02.故选D.
6．()设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时， xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
解：设函数g(x)＝，则g′(x)＝.因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，所以函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.故当00，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0.综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A.
7．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为____________．
解：f′(x)＝2mx＋－2，根据题意得f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，有m≥－，x∈(0，＋∞)．令g(x)＝－，x∈(0，＋∞)，易求得g(x)max＝g(1)＝，所以m≥.故填.
8．()设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝2017，则不等式exf(x)>ex＋2016(其中e为自然对数的底数)的解集为________．
解：令F(x)＝exf(x)－ex－2016，因为f(x)＋f′(x)>1，所以F′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex(f(x)＋f′(x)－1)>0，所以F(x)在R上为增函数，又F(0)＝e0f(0)－e0－2016＝2017－1－2016＝0，所以由F(x)>F(0)得x>0，即exf(x)＞ex＋2016的解为x>0.故填(0，＋∞)．
9．()证明：当x∈时，x≤sinx≤x.
证明：记F(x)＝sinx－x，
则F′(x)＝cosx－.
当x∈时，F′(x)＞0，F(x)单调递增；
当x∈时，F′(x)＜0，F(x)单调递减．
又F(0)＝0，F(1)＞0，所以当x∈时，F(x)≥0，即sinx≥x.
记H(x)＝sinx－x，则H′(x)＝cosx－1.
当x∈时，H′(x)≤0，H(x)单调递减．
所以H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.
综上，x≤sinx≤x，x∈．
10．()已知函数 f(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以f′(x)＝.
当f′(x)＝0时，x＝1.
f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
－
0
＋
f(x)
↘
↘
极小值
↗
故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)．
(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)，
所以g′(x)＝ex－a，
①当a≤1时，g′(x)＝ex－a>0，即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点．
②当a>1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，
令g′(x)＝ex－a>0，得x∈(lna，＋∞)；
令g′(x)＝ex－a<0，得x∈(0，lna)．
故g(x)在(0，lna)上递减，在(lna，＋∞)上递增，
所以g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x＝lna.
故实数a的取值范围是a>1.
11．()已知函数f(x)＝alnx (a＞0)，e为自然对数的底数．
(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；
(2)当x＞0时，求证：f(x)≥a；
(3)若在区间(1，e)上e－ex＜0恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝，f′(2)＝＝2，
所以a＝4.
(2)证明：令g(x)＝f(x)－a＝a，则g′(x)＝a.
令g′(x)＞0，得x＞1，令g′(x)<0，得00)；若f(x)是奇函数，则 f(x)dx＝__________(其中a>0)．
5．定积分在物理中的简单应用
(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间上所经过的路程S＝____________.
(2)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿力F的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所做的功W＝____________.
(3)在变力F＝F(x)的作用下，物体沿与力F的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x＝a运动到x＝b(a＜b)，则力F对物体所做的功W＝____________.
自查自纠：
1．(1)f(x)dx 被积函数 积分变量 被积式 积分区间
(2)分割 取极限
2．(1)kf(x)dx (2)f1(x)dx±f2(x)dx
(3)f(x)dx＋f(x)dx
3．F(b)－F(a) F(x)| F(b)－F(a) F(x)|
4．(1)f(x)dx (2)－f(x)dx
(3)dx (4)2f(x)dx 0
5．(1)V(t)dt (2)F(x)dx
(3)F(x)cosθdx
()已知(x2＋mx)dx＝0，则实数m的值为( )
A．－ B．－ C．－1 D．－2
解：根据题意有(x2＋mx)dx＝|＝ ＋m＝0，解得m＝－.故选B.
()由y＝x2，y＝，y＝1所围成的图形的面积为( )
A. B．1 C. D．2
解：因为曲线所围成的图形关于y轴对称，如图所示，面积S满
足S＝dx＋dx＝，所以S＝.故选C.
()若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则 f(x)dx＝( )
A．－1 B．－ C. D．1
解：f(x)dx为常数，不妨设a＝f(x)dx.则f(x)＝x2＋2a，所以a＝(x2＋2a)dx＝|，所以a＝＋2a，所以a＝－.故选B.
()曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形面积是________．
解：由 得或 则所求面积为(－x2)dx＝|＝.故填.
()(－x)dx＝________.
解：(－x)dx＝dx－xdx＝ －x2|＝－.故填－.
类型一 计算简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)(3x2－2x＋1)dx；
(2)dx；
(3)(sinx－cosx)dx.
解：(1)(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x) |＝24.
(2)dx＝|＝－ln2.
(3)(sinx－cosx)dx＝sinxdx－cosxdx
＝(－cosx)|－sinx|＝2.
点拨：
求定积分的步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；④利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值．
计算下列定积分：
(1)x(x＋1)dx；
(2)dx；
(3)(1－cosx)dx.
解：(1)x(x＋1)dx＝(x2＋x)dx＝x2dx＋xdx＝x3|＋x2|＝＋＝.
(2)dx＝exdx＋dx＝ex|＋lnx|
＝e2－e＋ln2.
(3)(1－cosx)dx＝1dx－cosxdx＝x|－sinx|＝π.
类型二 计算分段函数的定积分
求|x2－2x|dx.
解：因为|x2－2x|＝
所以|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋ (－x2＋2x)dx＝|＋|＝8.
点拨：
对分段函数f(x)求定积分，关键是找到分段点c后利用定积分性质f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx求解．
求函数f(x)＝ 在区间上的定积分．
解：f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx
＝(x2＋x)|＋|＝.
类型三 利用定积分求平面图形的面积
(1)dx＝________.
解：根据定积分的几何意义，可知 dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的(如图中阴影部分)．
故dx＝.故填.
(2)由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．
解：如图所示，由y＝x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点分别为(－1，0)和(1，0)．
所以S＝|x2－1|dx
＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝|＋|
＝＋＝2.故填2.
点拨：
用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．
(1)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C
所围成的图形的面积等于( )
A. B．2 C. D.
解：由已知得l：y＝1，解方程组 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．
如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，所以所求面积S＝2dx＝2|＝2＝.故选C.
(2)()曲线＋＝1与两坐标轴所围成图形的面积是________．
解：将曲线＋＝1转化为y＝(1－)2，且x≥0，y≥0.令y＝0，可知曲线与x轴交点为(1，0)，则曲线与两坐标轴所围成的面积S＝(1－)2dx＝(1－2＋x)dx＝|＝ 1－＋＝.故填.
类型四 定积分在物理中的简单应用
一质点在直线上从时刻t＝0开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s)做减速运动，则质点初次减速到0时经过的路程为________ m.
解：由v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)＝0，
得t＝1或3(舍去)．所以路程
s＝(t2－4t＋3)dt＝(t3－2t2＋3t)|＝(m)．
故填.
点拨：
物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．
()设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．
解：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝ (x2＋1)dx＝|＝342(J)．故填342.
1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．
1．定积分3xdx的值为( )
A．3 B．1 C. D.
解：3xdx＝x2|＝.故选C.
2.|x|dx等于( )
A．－1 B．1 C. D.
解：|x|dx＝(－x)dx＋xdx＝－x2|＋x2|＝2＋＝.故选D.
3．()曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为( )
A．2ln2 B．2－ln2
C．4－ln2 D．4－2ln2
解：由曲线y＝与直线y＝x－1联立，解得 x＝－1，或x＝2，
如图所示，故所求图形的面积为S＝(x－1－)dx＝|＝4－2ln2.故选D.
4．()已知f(x)为偶函数且 f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )
A．0 B．4 C．8 D．16
解：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，因为原函数为偶函数，即其图象关于y轴对称，所以对应的面积相等，即f(x)dx＝f(x)dx，故所求为8×2＝16.故选D.
5．()一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)＝5－ t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )
A．55ln10 m B．55ln11 m
C．12＋55ln7 m D．12＋55ln6 m
解：令5－t＋＝0，注意到t>0，得t＝10，即经过的时间为10 s；行驶的距离s＝ dt＝|＝55ln11，即紧急刹车后火车继续行驶的路程为55ln11 m．故选B.
6．()在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y＝kx(k>0)所围成的平面区域为A，向区域M内随机投一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为( )
A. B. C. D.
解：令x－x2＝0得x＝0或x＝1，令kx＝x－x2得x＝0或x＝1－k.所以M的面积为(x－x2)dx＝(x2－x3)|＝，A的面积为(x－x2－kx)dx＝ (x2－x3－x2)|＝(1－k)3，所以＝，所以k＝.故选A.
7．()设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝________.
解：因为f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝ |＝9a＋3b，3f(x0)＝3ax＋3b，所以 9a＋3b＝3ax＋3b，所以x＝3，x0＝±.故填±.
8.dx＝________.
解：dx＝dx＋xdx，xdx＝，dx表示四分之一单位圆的面积，为，所以计算结果是.故填.
9．计算下列定积分的值：
(1)dx；
(2)|x2－x|dx.
解：(1)被积函数y＝，即x2＋y2＝1， y≥0.根据定积分的几何意义，所围成的图形如图所示，dx＝.
(2)|x2－x|dx
＝(x2－x)dx＋(x－x2)dx＋(x2－x)dx
＝|＋|＋|
＝＋＋＝.
10．有一动点P，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(m/s)．求从t＝0到t＝4时，点P经过的路程．
解：由v(t)＝8t－2t2＝2t(4－t)，
可知当0≤t≤4时，v(t)≥0.
因此，路程S＝(8t－2t2)dt＝|＝(m)．
11．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．
解：如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x.
令y＝0，得x＝，即C.
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，
S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝x3＝x，
S△ABC＝·＝·x＝x.
所以S＝x－x＝x＝.
所以x0＝1，从而切点A(1，1)，切线方程为y＝2x－1.
抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．
解：如图所示，所求面积S＝SA＋SB，
解方程组 得交点坐标为(2，2)，(8，－4)．
A部分：由于抛物线的上半支方程为y＝，下半支方程为y＝－，所以：
SA＝[－(－)]dx＝2xdx
＝2·x|＝.
B部分：SB＝dx
＝|＝.
于是S＝＋＝18.故填18.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．()已知曲线y＝x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．4 B．3 C．2 D.
解：y′＝x＝⇒x＝2.故选C.
2．()已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝＋x，则f′(1)＝( )
A．－1 B．－ C. D．1
解：由f(x)＝＋x，
得f′(x)＝－＋1，
故f′(1)＝－f′(1)＋1，即f′(1)＝.
故选C.
3．()函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间上的最大值是( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
解：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2.所以f(x)在上是减函数．所以f(x)在区间上的最大值为f(0)＝2.故选C.
4．()由曲线y＝，直线y＝x所围成的封闭图形的面积是( )
A. B. C. D．1
解：由 解得交点为(0，0)，(1，1)，故所求面积为∫(－x)dx＝|
＝－＝.故选A.
5．()已知f(x)＝ x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
解：f(x)＝x2＋cosx，所以f′(x)＝x－sinx，令g(x)＝f′(x)，则g(x)为奇函数，排除B，D；由g′(x)＝－cosx知g(x)在上单调递减，排除C.故选A.
6．()等差数列{an}中的a1， a4 033是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－1的极值点，则log2a2 017等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解：f′(x)＝x2－8x＋6，因此a1，a4 033是方程x2－8x＋6＝0的两根，由韦达定理有a1＋a4 033＝8，所以2a2 017＝8，a2 017＝4，故log2a2 017＝log24＝2.故选A.
7．()若函数f(x)＝－x2＋ x＋1在区间上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D．．故选B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．()以函数y＝cos2x的图象为曲边的曲边形(如图阴影部分)的面积为________．
解：令2x＝＋kπ(k∈Z)，得曲线与x轴正半轴的交点依次为，，….因此，
由定积分的几何意义知曲边形的面积S＝cos2xdx－cos2xdx＝sin2x|－sin2x|＝.故填.
14．()已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)＞0的解集为________．
解：由y＝f(x)的图象可得y＝f′(x)的大致图象如图．
f′(x)＞0⇔x＞1或x＜－1；
f′(x)＜0⇔－1＜x＜1.
而x2－2x－3＞0的解为x＞3或x＜－1；
x2－2x－3＜0的解为－1＜x＜3.
所以原不等式的解为x＞3或x＜－1或－1＜ x＜1.
故填(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)．
15．()若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
解：f′(x)＝2x－ex－a，因为f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，所以f′(x)＝2x－ex－a>0，即a<2x－ex有解，令g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，所以当x0；当x>ln2时，g′(x)<0，当x＝ln2时，g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，所以a<2ln2－2.故填(－∞，2ln2－2)．
16．()设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)＜0，则a的取值范围是________．
解：由a＜1，易知存在整数x0＝0，使得
ex0(2x0－1)＜ax0－a.设g(x)＝ex(2x－1)，
h(x)＝ax－a，则g′(x)＝ex(2x＋1)．
可得g(x)在上单调递减，
在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，若存在唯一整数x0，使得 f(x0)＜0，还须满足 即 所以≤a＜1.故填.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)()如图，求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
解：联立 得A(1，1)，联立 得B(3，－1)，所以阴影部分的面积 S＝∫dx＋×1×1＋×1×2＝x|＋＝.
18．(12分)已知函数y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在 x＝2处有极值，且其图象在x＝1处的切线斜率为－3.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极大值与极小值的差．
解：(1)因为y′＝3x2＋6ax＋3b，
由题意得y′|x＝2＝12＋12a＋3b＝0，
y′|x＝1＝3＋6a＋3b＝－3，
解得a＝－1，b＝0，所以y＝x3－3x2＋c，y′＝3x2－6x.
令y′＞0，得x＜0或x＞2，
所以函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(0，2)．
(2)由(1)可知函数在x＝0处取得极大值c，
在x＝2处取得极小值c－4，
所以函数的极大值与极小值的差为c－(c－4)＝4.
19．(12分)()设函数f(x)＝(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在时，h(x)＜0.
又h(2)＝3ln2－＝ln8－＞1－1＝0，
所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.
因为h′(x)＝lnx＋＋1＋，
所以当x∈(1，2)时，h′(x)＞1－＞0，
当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0，
所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增．
所以k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根．
(3)由(2)知，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0，且x∈(0，x0)时，f(x)＜g(x)，x∈(x0，＋∞)时，f(x)＞g(x)，
所以m(x)＝
当x∈(0，x0)时，若x∈(0，1]，m(x)≤0；
当x∈(1，x0)时，由m′(x)＝lnx＋＋1＞0，
可知0＜m(x)≤m(x0)，故m(x)≤m(x0)．
当x∈(x0，＋∞)时，由m′(x)＝，
可得x∈(x0，2)时，m′(x)＞0，m(x)单调递增，x∈(2，＋∞)时，m′(x)＜0，m(x)单调递减，
可知m(x)≤m(2)＝，且m(x0)＜m(2)．
综上可得，函数m(x)的最大值为.
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