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- 2021-07-01 发布
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辽宁省葫芦岛市 2020 届高三 5 月联合考试数学(理)试卷全国版 I
理科数学
本试卷 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效。
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡,上对应题目的答案标号涂黑如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用 0.5mm 黑色笔迹
签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 M={x|x2+x>0},N={x|ln(x-1)>0},则
A.M N B.M N C.M∩N=(1,+∞) D.M∪N=(2,+∞)
2.已知复数 z=(2+i)2,则 z 的虚部为
A.3 B.3i C.4 D.4i
3.以下统计表和分布图取自《清华大学 2019 年毕业生就业质量报告》。
则下列选项错误..的是
A.清华大学 2019 年毕业生中,大多数本科生选择继续深造,大多数硕士生选择就业
B.清华大学 2019 年毕业生中,硕士生的就业率比本科生高
C.清华大学 2019 年签三方就业的毕业生中,本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散
D.清华大学 2019 年签三方就业的毕业生中,留北京人数超过一半
4.若圆(x-2)2+(y-1)2=5 关于直线 ax+by-1=0(a>0,b>0)对称,则 2 1
a b
的最小值为
A.4 B.4 2 C.9 D.9 2
5.要使得满足约束条件 4
2
y x
x y
y x
,的变量 x,y 表示的平面区域为正方形,则可增加的一个
约束条件为
A.x+y≤4 B.x+y≥4 C.x+y≤6 D.x+y≥6
6.若{an}是公比为 q(q≠0)的等比数列,记 Sn 为{an}的前 n 项和,则下列说法正确的是
A.若{an}是递增数列,则 a1<0,q<0 B.若{an}是递减数列,则 a1>0,0
0,则 S4+S6>2S5 D.若 bn= 1 na ,则{bn}是等比数列 7.为了得到函数 g(x)=sinx 的图象,需将函数 f(x)=sin( 6 -x)的图象 A.向左平移 6 个单位长度 B.向右平移 6 个单位长度 C.向左平移 5 6 个单位长度 D.向右平移 5 6 个单位长度 8.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x- 1 3 sin2x。若 a=f(tan 2 5 ),b= f(log3cos 2 5 ),c=f(cos 2 5 ),则 a,b,c 的大小关系为 A.a0)的焦点到双曲线 2y2-x2=2p2 的一个焦点的距离为 13 ,则 p 的值 为 。 16.已知函数 f(x)=(kx+2k)ex-x-1,若 f(x)<0 的解集中恰有三个整数,则实数 k 的取值范围 为 。 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 ccosB=bcosC,BC 边上的高 AD=12,sin∠BAC= 4 5 。 (1)求 BC 的长; (2)过点 A 作 AE⊥AB,垂足为 A,且∠CAE 为锐角,AE=3 5 ,求 sin∠ACE。 18.(12 分) 如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB⊥平面 BCD,E 为棱 AC 上的一点,且 BE⊥平面 ACD。 (1)证明:BC⊥CD; (2)设 BC=CD=1,BC 与平面 ACD 所成的角为 45°,求二面角 B-AD-C 的大小。 19.(12 分) 2020 年 1 月 10 日,中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获 2019 年度国家最高 科学技术奖。曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一,他的算法是世界数值天气预报核 心技术的基础。在气象预报中,过往的统计数据至关重要。右图是根据甲地过去 50 年的气象 记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到 35℃及以上,则称之为高温天)的频率分布直方 图。若某年的高温天达到 15 天及以上,则称该年为高温年。假设每年是否为高温年相互独立, 以这 50 年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率。 (1)求今后 4 年中,甲地至少有 3 年为高温年的概率。 (2)某同学在位于甲地的大学里勤工俭学,成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长。为了减少 高温年带来的损失,该同学现在有两种方案选择: 方案一:不购买遮阳伞,一旦某年为高温年,则预计当年的收入会减少 6000 元; 方案二:购买一些遮阳伞,费用为 5000 元,可使用 4 年,一旦某年为高温年,则预计当年的 收入会增加 1000 元。 以 4 年为期,试分析该同学是否应该购买遮阳伞? 20.(12 分) 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b 的左、右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2 3 。过椭圆的右焦 点 F2 作长轴的垂线,与椭圆在第一象限交于点 P,且满足 1 2 7PF PF 。 (1)求椭圆的标准方程; (2)若矩形 ABCD 的四条边均与椭圆相切,求该矩形面积的取值范围。 21.(12 分) 已知函数 f(x)=ex+x-2。g(x)=lnx+x,若 x1 是函数 f(x)的零点,x2 是函数 g(x)的零点。 (1)比较 x1 与 x2 的大小; (2)证明:f(x2)+g(x1)<0。 (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题 计分。 22.[选修 4——4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 2 2 2y t t t x (t 为参数),曲线 C 上异于原点的两 点 M,N 所对应的参数分别为 t1,t2。以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线 D 的极坐标方程为ρ=2asinθ。 (1)当 t1=1,t2=3 时,直线 MN 平分曲线 D,求 a 的值; (2)当 a=1 时,若 t1+t2=2+ 3 ,直线 MN 被曲线 D 截得的弦长为 3 ,求直线 MN 的方程。 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)=|x+1|+2|x-3|,g(x)=a|x-1|。 (1)求 f(x)≤8 的解集; (2)当 x∈[-1,3]时,f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围。