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- 2021-07-01 发布
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典型高考数学试题解读与变式2018版
考点一:集合
【考纲要求】
(1)集合的含义与表示
①了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
②在具体情境中,了解全集与空集的含义.
(3)集合的基本运算.
①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
【命题规律】
集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查函数、不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.
预计2017年的高考将会继续保持稳定,坚持考查集合运算,命题形式会更加灵活、新颖.
【典型高考试题变式】
(一)判断集合间的关系
例1.【2015高考重庆】已知集合A=,B=,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【变式1】【例题中的集合、改变,选项不变】已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为 , 而,故选D.
【变式2】【例题的条件不变,结论变为,题型变为填空题】已知集合A=,B=,若,则实数的取值集合为_______.
【答案】
【解析】因为B=,又A=,,所以实数的取值集合为.
(二)集合运算问题
1.【2017新课标】已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得,则,即,
所以,,
故选A.
【方法技巧归纳】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再运算,常常借助数轴或韦恩图进行处理.
【变式1】【例题中集合中的指数不等式改为对数不等式】已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得,所以,所以,故选B.
【变式2】【例题的条件不变,结论变为求,题型改为填空题】已知集合,,则_______.
【答案】
【解析】由可得,则,即,所以,
因为,所以.
(三)集合元素的个数问题
例3.【2015新课标】已知集合,则集合中的元素个数为( )
A. 5 B.4
C.3 D.2
【答案】D
【解析】由条件知,当时,;当时,,故,故选D.
【方法技巧归纳】集合中元素具有:互异性、确定性、无序性.有限集合的子集个数是;真子集个数是;非空子集个数是;非空真子集个数是.
【变式1】【改变例题中的集合,结论不变】已知集合,则集合中的元素个数为_______.
【答案】2
【解析】由条件知,当时,;当时,;当时,,
故,故集合中的元素个数为2.
【变式2】【改例题中的条件和结论】已知集合,,则集合中元素的个数为_______.
【答案】5
【解析】则集合中元素的个数为5个.
(四)集合中的创新题
例4.【2015·湖北】已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则AB
中元素的个数为( )
A.77 B.49
C.45 D.30
【答案】C
【解析】如图,集合A表示如图所示的所有圆点“”,集合B表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”,集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”+所有圆点“”,共45个.故AB中元素的个数为45.故选C.
【方法技巧归纳】解决集合创新型问题的方法:
①紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.
②用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.
【变式1】对于任意两个正整数m,n,定义运算(用⊕表示运算符号):当m,n都是正偶数或都是正奇数时,m⊕n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m⊕n=m×n.例如4⊕6=4+6=10,3⊕7=3+7=10,3⊕4=3×4=12.在上述定义中,集合M={(a,b)|a⊕b=12,a,b∈N*}的元素有________个.
【答案】15
【解析】m,n同奇同偶时有11组:(1,11),(2,10),…,(11,1);m,n一奇一偶时有4组:(1,12),(12,1),(3,4),(4,3),所以集合M的元素共有15个.
【变式2】如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A#B
为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=},B={y|y=3x,x>0},则A#B为( )
A.{x|02}
【答案】D
【解析】因为A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|12},故选D.
【数学思想】
1.数形结合思想
数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解题.
2.转化与化归思想
在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系,在一定的情况下可以相互转化,如A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅,在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程.
【处理集合问题注意点】
1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
2.要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系.
3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.
4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.
5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,
否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
【典例试题演练】
1.【2017云南、四川、贵州百校大联考】设集合,,则等于( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ,,.故选C.
2.【2017湖北省黄石市调研】已知集合,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】,故选D.
3.【2017江西南昌市模拟】集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,,所以,,故选B.
4.【2017江西九江地区联考】已知集合,,若,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为,,所以,故选C.
5.【2017广东海珠区测试】已知集合,,若,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
6.【2017河北省衡水中学第三次调】已知集合,集合中至少有3个元素,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为集合中至少有3个元素,所以,所以,故选C.
7.【湖北2017届百所重点校高三联考】已知集合,若,则等于( )
A.2 B.3
C.2或3 D.2或4
【答案】C
【解析】因为且,故,故选C.
8.【2017四川巴中“零诊”】已知全集,集合,,则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图可知,,故选A.
9.已知全集,集合,是的子集,且,则必有( )
A. B.
C. D.
【答案】A
10.已知集合,则满足条件的集合的个数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】D
11.【2017湖北百所重点校高三联考】已知集合,
,则的元素个数是___________.
【答案】
【解析】由于集合是圆心在坐标原点,半径为的圆周,集合是开口向上顶点在圆上的点上的抛物线,结合图象可知两个曲线的交点有三个.故应填.
12.【2017河北唐山模拟】已知集合,则
中元素的个数是( )
【答案】3
【解析】当时,;当时,;当时,;当时,,所以,所以,故中元素的个数是3.
13.已知集合,,则 .
【答案】
【解析】由可得,则,即,因为,
所以,所以.
14.【2017江西九江地区联考】设,是非空集合,定义且,已知,,则_________.
【答案】
【解析】,,,所以.
15.设集合,,若,则实数的取值范围是 .
【答案】