2019届二轮复习专题十三　推理与证明课件（16张）（全国通用） 16页

考向基础 　         考点一    合情推理与演绎推理 考点清单 例     (2018山东淄博部分学校摸底考,10)《聊斋志异》中有这样一首诗: “挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不 悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2   =   ,3   =   ,4   =   ,5   =   ,则按照以上规律,若8   =   具有 “穿墙术”,则 n =   (　　) A.35　    B.48　    C.63　    D.80 考向    合情推理与演绎推理 考向突破 解析 　根据规律得3=1 × 3,8=2 × 4,15=3 × 5,24=4 × 6, …… ,所以 n =7 × 9=63,选C. 答案     C 考向基础 1.直接证明 考点二    直接证明与间接证明 原命题成立,这样的证明方法叫反证法. 2.间接证明—反证法 一般地,假设原命题⑤ 　 不成立      (即在原命题的条件下,结论不成立), 经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明⑥ 　 假设错误      ,从而证明了 例1　 已知 x + y + z =1,求证: x 2 + y 2 + z 2 ≥   . 考向一    综合法和分析法求解 考向突破 证明 　∵ x 2 + y 2 ≥ 2 xy , x 2 + z 2 ≥ 2 xz , y 2 + z 2 ≥ 2 yz , ∴2 x 2 +2 y 2 +2 z 2 ≥ 2 xy +2 xz +2 yz , ∴3 x 2 +3 y 2 +3 z 2 ≥ x 2 + y 2 + z 2 +2 xy +2 xz +2 yz , 即3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 , ∵ x + y + z =1,∴( x + y + z ) 2 =1, ∴3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 1,即 x 2 + y 2 + z 2 ≥   . 例2　 直线 y = kx + m ( m ≠ 0)与椭圆 W :   + y 2 =1相交于 A , C 两点, O 是坐标原点. (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形. 考向二    用反证法证明数学命题 解析 　(1)因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 设 A   ,代入椭圆方程得   +   =1,即 t = ±   . 所以| AC |=2   . (2)证法一:假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC ⊥ OB ,所以 k ≠ 0. 由   消 y 并整理得 (1+4 k 2 ) x 2 +8 kmx +4 m 2 -4=0. 设 A ( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ), 则   =-   ,   = k ·   + m =   . 所以 AC 的中点为 M   . 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m ≠ 0, k ≠ 0, 所以直线 OB 的斜率为-   . 因为 k ·   ≠ -1,所以 AC 与 OB 不垂直. 所以四边形 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. 证法二(反证法):假设四边形 OABC 为菱形,则有 OA = OC . 设 OA = OC = r ,则 A 、 C 为圆 x 2 + y 2 = r 2 与椭圆 W :   + y 2 =1的交点. 故   = r 2 -1,即 x 2 =   ( r 2 -1). 则 A 、 C 两点的横坐标相等或互为相反数,从而得到点 B 是椭圆 W 的顶点, 与题设矛盾,故得证. 考向基础 　　1.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法.根 据推理过程中考察的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法 和不完全归纳法. 2.数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n = n 0 ( n 0 ∈N * )时,命题成立. (2)(归纳递推)假设 n = k ( k ≥ n 0 , k ∈N * )时,命题成立,证明当 n = k +1时命题也 成立. 只要完成这个步骤,就可以断定命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立. 考点三    数学归纳法 例　 已知数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足: S n =   +   -1,且 a n >0, n ∈N * . (1)求 a 1 , a 2 , a 3 ,并猜想{ a n }的通项公式; (2)证明通项公式的正确性. 考向    数学归纳法的应用 考向突破 解析 　(1)当 n =1时, 由已知得 a 1 =   +   -1,   +2 a 1 -2=0. ∵ a 1 >0,∴ a 1 =   -1. 当 n =2时,由已知得 a 1 + a 2 =   +   -1, 将 a 1 =   -1代入并整理得   +2   a 2 -2=0. ∵ a 2 >0,∴ a 2 =   -   . 同理可得 a 3 =   -   . 猜想 a n =   -   ( n ∈N * ). (2)证明:①由(1)知,当 n =1,2,3时,通项公式成立. ②假设当 n = k ( k ≥ 3, k ∈N * )时,通项公式成立, 即 a k =   -   . a k +1 = S k +1 - S k =   +   -   -   , 将 a k =   -   代入上式并整理得   +2   a k +1 -2=0, ∵ a k +1 >0,∴ a k +1 =   -   . 即当 n = k +1时,通项公式也成立. 由①和②可知,对所有 n ∈N * , a n =   -   都成立. 方法    归纳推理与类比推理的应用 1.归纳推理的一般步骤 2.类比推理的一般步骤 方法技巧 例 　(1)(2018湖北孝感模拟,7)二维空间中,圆的一维测度(周长) l =2π r ,二 维测度(面积) S =π r 2 ,三维空间中,球的二维测度(表面积) S =4π r 2 ,三维测度 (体积) V =   π r 3 ,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度 V =8π r 3 ,则其四维测度 W =       (　　) A.2π r 4 　    B.3π r 4 　    C.4π r 4 　    D.6π r 4 (2)(2017山东淄博桓台二中4月模拟,14)德国数学家莱布尼兹发现了下 面的单位分数三角形,单位分数是分子为1,分母为正整数的分数,根据前 6行的规律,第7行的第3个数是 　　　     .                                                                                                                          ……      ……      …… 　     …… 解题导引        解析　 (1)二维空间中,圆的一维测度(周长) l =2π r ,二维测度(面积) S =π r 2 , (π r 2 )'=2π r ,三维空间中,球的二维测度(表面积) S =4π r 2 ,三维测度(体积) V =   π r 3 ,   '=4π r 2 ,四维空间中,“超球”的三维测度 V =8π r 3 , ∵(2π r 4 )'=8π r 3 , ∴“超球”的四维测度 W =2π r 4 ,故选A. (2)第7行的第一个数和最后一个数都是   ,第2个数加   要等于   ,所以第 2个数是   ,同理第3个数加   等于   ,故第3个数是   ,故答案为   . 答案 　(1)A　(2)