【数学】2019届一轮复习人教B版第4章三角函数解三角形第5节学案 14页

第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).‎ 知 识 梳 理 ‎1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.‎ cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ tan 2α＝.‎ ‎3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).‎ ‎2.cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，‎ sin α±cos α＝sin.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )‎ ‎(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β ‎＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )‎ ‎(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )‎ 解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ，k∈ .‎ 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝( )‎ A.－ B.－ C. D. 解析 sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.‎ 答案 A ‎3.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )‎ A.－ B.－ C. D. 解析 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.‎ 答案 D ‎4.(教材习题改编)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________.‎ 解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，‎ ‎∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)‎ ‎＝－tan 20°tan 40°，‎ ‎∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.‎ 答案 ‎5.(教材习题改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.‎ 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°‎ ‎＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.‎ 答案 考点一 三角函数式的化简 ‎【例1】 (1)( 教材习题原题)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.‎ ‎(2)化简：(0<α<π)＝________.‎ 解析 (1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)‎ ‎＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)‎ ‎＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝.‎ 因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cos α.‎ 答案 (1)sin(α＋γ) (2)cos α 规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.‎ ‎【训练1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )‎ A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α ‎(2)化简：＝________.‎ 解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝ ‎＝＝cos 2α.‎ 答案 (1)D (2)cos 2α 考点二 三角函数式的求值 ‎【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.‎ ‎(2)(2018·包头一模)若sin＝，则cos＝________.‎ ‎(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.‎ 解析 (1)原式＝·‎ sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)·‎ cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]‎ ‎＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ ‎(2)依题意得cos＝－cos＝－cos ＝2sin2－1＝2‎ ‎×－1＝－.‎ ‎(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ‎＝＝>0，又α∈(0，π)，‎ ‎∴0<α<，又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 答案 (1) (2)－ (3)－ 规律方法 1.已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.‎ ‎2.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·湖南十三校联考)已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，则 tan＝( )‎ A. B.－ C.3 D.－3‎ ‎(2)(一题多解)(2018·石家庄质检)已知α∈，cos＝－，则cos α＝________.‎ 解析 (1)由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，‎ ‎∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，∴tan＝＝.‎ ‎(2)法一 因为α∈，所以α＋∈，‎ 所以sin＝，所以cos α＝cos ‎＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.‎ 法二 cos＝cos αcos－sin αsin＝ cos α－＝‎ ‎－，α∈，解得cos α＝.‎ 答案 (1)A (2) 考点三 三角变换的简单应用 ‎【例3】 已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量.‎ ‎(1)求角A；‎ ‎(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.‎ 解 (1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，‎ 则sin2A＝.‎ 又A为锐角，所以sin A＝，则A＝.‎ ‎(2)y＝2sin2 B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin＋1.‎ 因为B∈，B＋A>，所以