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  • 2021-07-01 发布

【数学】2019届一轮复习人教B版第4章三角函数解三角形第5节学案

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第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).‎ 知 识 梳 理 ‎1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin__αcos__β±cos__αsin__β.‎ cos(α∓β)=cos__αcos__β±sin__αsin__β.‎ tan(α±β)=.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin__αcos__α.‎ cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.‎ tan 2α=.‎ ‎3.函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=·cos(α-φ).‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).‎ ‎2.cos2α=,sin2α=.‎ ‎3.1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,‎ sin α±cos α=sin.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( )‎ ‎(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( )‎ ‎(3)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β ‎=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( )‎ ‎(4)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( )‎ 解析 (3)变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠+kπ,k∈ .‎ 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α-cos α=,则sin 2α=( )‎ A.- B.- C. D. 解析 sin 2α=2sin αcos α==-.‎ 答案 A ‎3.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ=-,则cos 2θ=( )‎ A.- B.- C. D. 解析 cos 2θ=cos2θ-sin2θ===.‎ 答案 D ‎4.(教材习题改编)tan 20°+tan 40°+tan 20°·tan 40°=________.‎ 解析 ∵tan 60°=tan(20°+40°)=,‎ ‎∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)‎ ‎=-tan 20°tan 40°,‎ ‎∴原式=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=.‎ 答案 ‎5.(教材习题改编)sin 347°cos 148°+sin 77°·cos 58°=________.‎ 解析 sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°‎ ‎=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58°‎ ‎=(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58°‎ ‎=sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77°‎ ‎=sin(58°+77°)=sin 135°=.‎ 答案 考点一 三角函数式的化简 ‎【例1】 (1)( 教材习题原题)化简:sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=________.‎ ‎(2)化简:(0<α<π)=________.‎ 解析 (1)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)‎ ‎=sin(α+β)cos (β-γ)-cos(α+β)sin(β-γ)‎ ‎=sin[(α+β)-(β-γ)]=sin(α+γ).‎ ‎(2)原式= ‎==.‎ 因为0<α<π,所以0<<,所以cos>0,所以原式=cos α.‎ 答案 (1)sin(α+γ) (2)cos α 规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.‎ ‎【训练1】 (1)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=( )‎ A.sin(α+2β) B.sin α C.cos(α+2β) D.cos α ‎(2)化简:=________.‎ 解析 (1)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α.‎ ‎(2)原式= ‎== ‎==cos 2α.‎ 答案 (1)D (2)cos 2α 考点二 三角函数式的求值 ‎【例2】 (1)[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·=________.‎ ‎(2)(2018·包头一模)若sin=,则cos=________.‎ ‎(3)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为________.‎ 解析 (1)原式=·‎ sin 80°=(2sin 50°+2sin 10°·)·‎ cos 10°=2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)]‎ ‎=2sin(50°+10°)=2×=.‎ ‎(2)依题意得cos=-cos=-cos =2sin2-1=2‎ ‎×-1=-.‎ ‎(3)∵tan α=tan[(α-β)+β]= ‎==>0,又α∈(0,π),‎ ‎∴0<α<,又∵tan 2α===>0,‎ ‎∴0<2α<,‎ ‎∴tan(2α-β)===1.‎ ‎∵tan β=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,‎ ‎∴2α-β=-.‎ 答案 (1) (2)- (3)- 规律方法 1.已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子,再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手),最后将已知条件及其变形代入所求式子,化简求值.‎ ‎2.通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·湖南十三校联考)已知x∈(0,π),且cos=sin2x,则 tan=( )‎ A. B.- C.3 D.-3‎ ‎(2)(一题多解)(2018·石家庄质检)已知α∈,cos=-,则cos α=________.‎ 解析 (1)由cos=sin2x得sin 2x=sin2x,‎ ‎∵x∈(0,π),∴tan x=2,∴tan==.‎ ‎(2)法一 因为α∈,所以α+∈,‎ 所以sin=,所以cos α=cos ‎=coscos+sinsin=-×+×=.‎ 法二 cos=cos αcos-sin αsin= cos α-=‎ ‎-,α∈,解得cos α=.‎ 答案 (1)A (2) 考点三 三角变换的简单应用 ‎【例3】 已知△ABC为锐角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量q=(sin A-cos A,1+sin A)是共线向量.‎ ‎(1)求角A;‎ ‎(2)求函数y=2sin2B+cos的最大值.‎ 解 (1)因为p,q共线,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A),‎ 则sin2A=.‎ 又A为锐角,所以sin A=,则A=.‎ ‎(2)y=2sin2 B+cos=2sin2B+cos=2sin2B+cos=1-cos 2B+cos 2B+sin 2B=sin 2B-cos 2B+1=sin+1.‎ 因为B∈,B+A>,所以