高考理科数学专题复习练习12.2古典概型与几何概型 6页

第十二章概率与统计 ‎12.2古典概型与几何概型 专题1‎ 古典概型的概率 ‎■(2015江西上饶一模,古典概型的概率,选择题,理6)将1,2,3,4四个数字随机填入如图所示的2×2方格中,每个方格中恰填一数字,但数字可重复使用.试问事件“A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字”的概率为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D.‎ 解析:根据题意,在题图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种.对于A,B两个方格,可在1,2,3,4中的任选2个,大的放进A方格,小的放进B方格,有=6种情况;‎ 对于另外两个方格,每个方格有4种情况,则共有4×4=16种情况;‎ 则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种.‎ 则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为P=.‎ 同理C方格的数字大于D方格的数字的概率为P=,‎ ‎∴A方格的数字大于B方格的数字且C方格的数字大于D方格的数字的概率为.‎ 答案:B 专题2‎ 古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等)‎ ‎■(2015江西新余一中高考模拟,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等),选择题,理10)已知函数f(x)=cos,a为抛掷一颗骰子所得的点数,则函数f(x)在[0,4]上零点的个数小于5或大于6的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:函数f(x)=cos的周期为T=.‎ ‎∵函数f(x)在[0,4]上零点的个数小于5或大于6,‎ ‎∴a=1,2,3,5,6,共计5个.‎ 故函数f(x)在[0,4]上零点的个数小于5或大于6的概率为.‎ 答案:B 专题3‎ 几何概型在不同测度中的概率 ‎■(2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理9)设k是一个正整数,的展开式中第四项的系数为,记函数y=x2与y=kx的图象所围成的阴影部分为S,任取x∈[0,4],y∈[0,16],则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:根据题意得,‎ 解得k=4或k=(舍去).‎ 解方程组 解得x=0或4.‎ ‎∴阴影部分的面积为(4x-x2)dx=.‎ 任取x∈[0,4],y∈[0,16],则点(x,y)对应区域面积为4×16=64,‎ 由几何概型概率求法得点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为.‎ 答案:C ‎■(2015江西新余一中高考模拟,几何概型在不同测度中的概率,填空题,理14)向曲线x2+y2-4x-2y+3=0内随机掷一点,则该点落在x轴下方的概率为　　　　　. ‎ 解析:∵x2+y2-4x-2y+3=0,‎ ‎∴(x-2)2+(y-)2=4,‎ 圆心(2,),半径为2,面积为π×22=4π,‎ 根据几何图形得出:AB=2,PA=PB=2,∠APB=,‎ 弧长l=2×,‎ 扇形ABP的面积为×l×r=×2=,‎ ‎△PAB的面积为×22×,‎ ‎∴阴影部分的面积为.‎ 根据几何概率的计算公式得出:该点落在x轴下方的概率为.‎ 答案:‎ ‎■(2015沈阳大连二模,几何概型在不同测度中的概率,填空题,理13)如图,设抛物线y=-x2+1的顶点为A,与x轴正半轴的交点为B,设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M,随机往M内投一点,则点P落在△AOB内的概率是　　　　　. ‎ 答案:‎ ‎■(2015江西三县部分高中一模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理10)若任取x,y∈(0,1],则点P(x,y)满足y≤的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:由题意可得,x,y∈(0,1)所对应区域是边长为1的正方形,面积为1.‎ 记“点P(x,y)满足y≤”为事件A,则A包含的区域由确定的区域的面积为 S=dx=.‎ ‎∴P(A)=.‎ 答案:D ‎12.4离散型随机变量的均值与方差 专题2‎ 离散型随机变量的均值与方差 ‎■(2015江西重点中学协作体一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)近年来,我国许多城市雾霾现象频发,PM2.5(即环境空气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物)是衡量空气质量的一项指标.据相关规定,PM2.5日均浓度值不超过35微克/立方米空气质量为优,在35微克/立方米至75微克/立方米之间的空气质量为良,某市环保局随机抽取了一居民区今年上半年中30天的PM2.5日均浓度监测数据,数据统计如下:‎ 组别 PM2.5日均浓度(微克/立方米)‎ 频数(天)‎ 第一组 ‎(15,35]‎ ‎3‎ 第二组 ‎(35,55]‎ ‎9‎ 第三组 ‎(55,75]‎ ‎12‎ 第四组 ‎(75,95]‎ ‎6‎ ‎(1)估计该样本的中位数和平均数;‎ ‎(2)将频率视为概率,用样本估计总体,对于今年上半年中的某3天,记这3天中该居民区空气质量为优或良的天数为X,求X的分布列及数学期望EX.‎ 解:(1)由已知得中位数为55+20×=60,‎ 平均数为25×0.1+45×0.3+65×0.4+85×0.2=59.‎ ‎(2)∵上半年中某一天的空气质量为优或良的概率为,‎ ‎∴X~N.‎ ‎∴P(X=0)=,‎ P(X=1)=,‎ P(X=2)=,‎ P(X=3)=.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望EX=3×=2.4.‎ ‎■(2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)近年来,随着地方经济的发展,劳务输出大省四川、河南、湖北、安徽等地的部分劳务人员选择了回乡就业,因而使得沿海地区出现了一定程度的用工荒.今年春节过后,沿海某公司对来自上述四省的务工人员进行了统计(如表):‎ 省份 四川 河南 湖北 安徽 人数 ‎45‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎15‎ 为了更进一步了解员工的来源情况,该公司采用分层抽样的方法从上述四省务工人员中随机抽取50名参加问卷调查.‎ ‎(1)从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名,求这两名来自同一省份的概率;‎ ‎(2)在参加问卷调查的50名务工人员中,从来自四川、湖北两省的人员中随机抽取两名,用ξ表示抽得四川省务工人员的人数,求ξ的分布列和数学期望.‎ 解:(1)由题意知,从上述四省抽取的人数分别为15,20,10,5.‎ 设“从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名,这两名人员来自同一个省份”为事件M,‎ 从参加问卷调查的50名务工人员中随机抽取两名的取法共有=1225种,‎ 这两名人员来自同一省份的取法共有=350.‎ ‎∴P(M)=.‎ ‎(2)由(1)知,在参加问卷调查的50名务工人员中,来自四川、湖北两省的人员人数分别为15,10.‎ ξ的可能取值为0,1,2.‎ P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=.‎ ‎∴ξ的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴Eξ=0×+1×+2×=1.2.‎ ‎■(2015江西新余一中高考模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)一个盒子中装有5张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1,2,3,4,5,现从盒子中随机抽取卡片.‎ ‎(1)从盒子中依次抽取两次卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率;‎ ‎(2)若从盒子中有放回地抽取3次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率;‎ ‎(3)从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当取到记有奇数的卡片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数X的分布列和期望.‎ 解:(1)因为1,3,5是奇数,2,4是偶数,‎ 设事件A为“两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数”,‎ 所以P(A)=.‎ ‎(2)设B表示事件“有放回地抽取3次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到的卡片上数字为奇数”.‎ 由已知,每次取到的卡片上数字为奇数的概率为,‎ 则P(B)=.‎ ‎(3)依题意,X的可能取值为1,2,3.‎ P(X=1)=,‎ P(X=2)=,‎ P(X=3)=,‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)=1×+2×+3×.‎ ‎■(2015江西重点中学十校二模联考,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某校从参加2014~2015学年高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)估计这次测试数学成绩的平均分;‎ ‎(2)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 解:(1)利用中值估算抽样学生的平均分:‎ ‎45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72,‎ ‎∴估计这次考试的平均分是72分.‎ ‎(2)从95,96,97,98,99,100中抽2个数的全部可能的基本结果数是=15,‎ 有15种结果,学生的成绩在[90,100]段的人数是0.005×10×80=4(人),‎ 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是=6,‎ 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P=.‎ 随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,且变量符合二项分布,‎ ‎∴P(ξ=k)=,k=0,1,2,3,‎ ‎∴变量ξ的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴Eξ=np=3×.‎ ‎+1×+2×+3×‎ ‎■(2015江西重点中学协作体二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)4月15日,亚投行意向创始成员国已经截止,意向创始成员国敲定57个,其中,亚洲国家34个,欧洲国家18个,非洲和大洋洲各2个,南美洲1个.18个欧洲国家中G8国家有5个(英法德意俄).亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构.假设理事会由9人组成,其中3人由欧洲国家等可能产生.‎ ‎(1)这3人中恰有2人来自于G8国家的概率;‎ ‎(2)设X表示这3人来自于G8国家的人数,求X的分布列和期望.‎ 解:(1)这3人中恰有2人来自于G8国家的概率:P=.‎ ‎(2)X可能的取值为0,1,2,3.‎ P(X=0)=,‎ P(X=1)=,‎ P(X=2)=,‎ P(X=3)=,‎ X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P EX=0×+1×+2×+3×.‎ 专题3‎ 均值与方差在决策中的应用 ‎12.5二项分布与正态分布 专题4‎ 正态分布下的概率 ‎■(2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,正态分布下的概率,选择题,理4)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.0.997 B.0.954 C.0.488 D.0.477‎ 解析:由随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2)可知正态密度曲线关于y轴对称,‎ 而P(ξ>2)=0.023,则P(ξ<-2)=0.023.‎ 故P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=0.954.‎ 答案:B ‎■(2015江西上饶一模,正态分布下的概率,理12)给出下列命题:‎ ‎(1)设随机变量X~N(1,52),且P(X≤0)=P(X>a-2),则实数a的值为4.‎ ‎(2)已知事件A,B是相互独立事件,若P(A)=0.15,P(B)=0.60,则P(B)=0.51(表示事件A的对立事件).‎ ‎(3)的二项展开式中,共有4个有理项.‎ ‎(4)由曲线y=3-x2和直线y=2x所围成的面积为.‎ 则其中真命题的序号是(　　)‎ A.(1)(2) B.(1)(3)‎ C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)‎ 解析:对于(1),∵随机变量X~N(1,52),‎ ‎∴P(X≤0)=P(X>2).‎ ‎∵P(X≤0)=P(X>a-2),‎ ‎∴a-2=2,解得a=4,即实数a的值为4,故(1)正确;‎ 对于(2),事件A,B是相互独立事件,P(A)=0.15,P(B)=0.60,‎ 则P(B)=P()P(B)=[1-P(A)]P(B)=0.85×0.60=0.51(表示事件A的对立事件),故(2)正确;‎ 对于(3),的二项展开式中,Tr+1=·()18-r·(0≤r≤18),‎ 当r=0,6,12,18时,6-为整数,即的二项展开式中共有4个有理项,故(3)正确;‎ 对于(4),由曲线y=3-x2和直线y=2x所围成的图形如下,设阴影部分的面积为S,‎ 由得x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1,‎ 则S=(3-x2-2x)dx=-(-9+9-9)=,故(4)正确.‎ 综上所述,其中真命题的序号是(1)(2)(3)(4).‎ 答案:D ‎■(2015江西新余一中高考模拟,正态分布下的概率,选择题,理2)设随机变量ξ服从正态分布N(3,7),若P(ξ>a+2)=P(ξa+2)=P(ξ