专题2-7 几何体与球切、接的问题（测）-2018年高考数学（理）二轮复习讲练测 12页

‎2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标理科数学】‎ 测---能力提升 热点七 几何体与球切、接的问题 总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______‎ 一、选择题（12*5=60分）‎ ‎1．【2018届福建省福州市高三上学期期末】已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设球半径为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上， 可得，球的表面积为，故选D.‎ ‎2．【2018届安徽省皖西高中教学联盟三上学期期末】已知球面上有A、B、C三点，且AB=AC=，BC=，球心到平面ABC的距离为，则球的体积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3．【2018届福建省福州市高三上学期期末】已知圆锥的高为3，它的底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图：‎ 设球心到底面圆心的距离为，则球的半径为，由勾股定理得 解得，故半径， ‎ 故选.‎ ‎4．【2018届安徽省皖西高中教学联盟三上学期期末】正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱侧面面积最大值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎5．【2018届福建省三明市A片区高中联盟校高三上学期期末】几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】由题可知该几何体为轴截面为正三角形的圆锥，底面圆的直径为2，高为 ‎∴外接球半径 ‎∴外接球表面积 故选A ‎6．已知球面上的三个点，且，球的半径为，则球心到平面的距离等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，得球心在面的射影为的外心，因为，所以，即是以为钝角的等腰三角形，则外心在高 的延长线上，设，则，解得，即.故选B. ‎ ‎7．【2018届四川省乐山四校第三学期半期联考】如图，在等腰梯形中， , 为中点.将与分别沿、折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎8．已知直角三角形的三个顶点在半径为的球面上，两直角边的长分别为和 ‎，则球心到平面的距离为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，直角三角形的斜边为直角三角形所在小圆的直径，其直径为： ，‎ 在大圆内应用勾股定理可得：球心到平面的距离为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎9.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，， ，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ）‎ ‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎10.【2018届”超级全能生”高考全国卷26省9月联考】若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设外接球半径为R,由题意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R,设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r,由等体积法，所以选A.‎ ‎11.【2018届云南民族大学附属中学高三上学期期末】已知一个球的表面上有A、B、C三点，且，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，‎ 设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=4，解得r=2，‎ 设球O的半径为R，∵球心到平面ABC的距离为1，‎ ‎∴由勾股定理可得r2+12=R2，解得R2=5，‎ ‎∴球O的表面积S=4πR2=20π。‎ 故答案为：A。‎ ‎12.已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 在中，由正弦定理,即,所以,,所以,，由得球心到平面的距离为,由于为直角三角形,设斜边中点为,则面,在中,球的半径,所以球的表面积,选D.‎ 二、填空题（4*5=20分）‎ ‎13.【2018届山东省寿光市高三上学期期末】已知正四棱柱的顶点在同一球面上，且球的表面积为，当正四棱锥的体积最大时，正四棱柱的高为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】球的表面积为，故得到球的半径为正四棱柱的外接球球心在体对角线上的中点处，设底面边长为a,高为h,则得到 ‎ 当h=2时，体积最大。‎ 故答案为：2.‎ ‎14.【2018届福建省宁德市高三第一次质量检查】若正三棱台的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示， 分别为上下底面的外心，则外接球球心O则在线上，‎ 连接并延长交于D1，连接C并延长交AB于D，‎ ‎∵等边三角形的边长为cm,∴，‎ ‎∵等边三角形ABC的边长为cm,∴C=CD=cm，‎ 若点在线段由上，则，‎ 得，无解.‎ 若点在线段由外，则，‎ 得，，解得.‎ 则该正三棱台的外接球的表面积为.‎ 故答案为： .‎ ‎15.【2018届河南省南阳市第一中学校高三第七次】已知四面体，则该四面体外接球的大圆的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16.已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为.‎ 三、 解答题（共6道小题，共70分）‎ ‎17. 过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件可抓住是正四面体，、、、为球上四点，则球心在正四面体中心，设，则截面与球心的距离，过点、、的截面圆半径，所以得．‎ ‎18. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．如图作轴截面，设球未取出时水面高，球取出后，水面高 ‎∵，，‎ 则以为底面直径的圆锥容积为，‎ 球取出后水面下降到，水体积为．‎ 又，则， 解得．‎ ‎19. 【改编自浙江高考题】已知球的面上四点A、B、C、D，，，，求球的体积.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】本题用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于，，联想长方体中的相应线段关系，构造如图所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.‎ ‎20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，求三棱锥的外接球的体积.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】如图，因为，，所以 ‎，即三棱锥为正四面体，至此，不难求得三棱锥外接球的体积是.‎ ‎21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】设外接球半径为R，在△OO1A中有解得.‎ ‎∴.‎ ‎22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为，求这个球的半径．‎ ‎【答案】．‎